2222双曲线方程及性质的应用（共73张PPT）

第2课时双曲线方程及性质的应用1.进一步掌握双曲线的标准方程和几何性质，能解决与双曲线有关的综合问题.2.掌握直线和双曲线的位置关系的判断方法，能利用直线和双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题，提高知识的综合应用能力.1.本节的重点是直线和双曲线的位置关系中的弦长、中点弦问题.2.本节的难点是与双曲线有关的综合问题.直线与双曲线的位置关系及判定直线：Ax+By+C=0，双曲线：两方程联立消去y，得mx2+nx+q=0.位置关系相交相切相离公共点个数判定方法2个或1个m=0或1个m≠0且Δ=00个m≠0且Δ＜01.研究直线和双曲线位置关系时，联立直线和双曲线的方程消元后得到的方程一定是二次方程吗？提示：不一定，可能是一次的，也可能是二次的.当得到一次方程时，直线一定和双曲线的渐近线平行.2.直线和双曲线有一个公共点，能否判断直线和双曲线一定相切？提示：不能，当直线和双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相交.3.直线2x-y-10=0与双曲线的交点是_______.【解析】由得3x2-32x+84=0,解得x=6或将其分别代入直线方程得即交点坐标为（6,2）和 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 :（6，2）和正确理解直线与双曲线位置关系及判定一般地，设直线l：y=kx+m（m≠0）,①双曲线C：②把①代入②得（b2-a2k2）x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.（1）当b2-a2k2=0，即时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点.（2）当b2-a2k2≠0，即时，Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).Δ＞0⇒直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ=0⇒直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ＜0⇒直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离.直线和双曲线位置关系的判定【技法点拨】直线与双曲线位置关系的判定方法及应注意的问题直线与双曲线的位置关系的判定，通常是利用方程的观点，即把直线与双曲线的方程联立，讨论方程组解的个数，方程组有几个解，那么直线与双曲线就有几个公共点．但判定直线与双曲线是否相交、相切、相离时应注意：（1）直线与双曲线相交时，有一个交点或两个交点之分；（2）直线与双曲线有一个公共点时，有相交或相切之分．故直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件．【典例训练】1.已知双曲线过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，则这样的直线l有_______条.2.已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.(1)若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，求k的取值范围；(2)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围．【解析】1.（1）当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相切，符合题意；（2）当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0.①当4－k2＝0，即k＝±2时，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；②当4－k2≠0时，令Δ＝0，所以综上所述，当或k＝±2或斜率不存在时满足题意，所以这样的直线一共有4条.答案:42.(1)联立方程组消去y得方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0，由题意得，此方程有两个不等的正根．(2)由得(1－k2)x2＋2kx－5＝0,由题意知此方程无解．则k的取值范围为【互动探究】第2题中若直线与双曲线只有一个公共点，试求k的值.【解析】联立方程组得方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0，由直线与双曲线只有一个公共点知方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0只有一个解①当1-k2=0,即k=±1时，方程只有一解；②当1-k2≠0时，需满足Δ=4k2+20(1-k2)=0,解得综上可知,k的值为±1或【思考】求解第1题时容易忽略哪种情形？“直线与双曲线有两相异交点”和“直线与双曲线的右支有相异两交点”有何区别？提示：(1)求解第1题时容易忽略直线l的斜率不存在的情形而出错；(2)直线与双曲线的右支有相异两交点是直线与双曲线有两相异交点的一种情形，消y之后的方程有两正根.【变式训练】已知直线kx-y+1=0与双曲线相交于两个不同点A、B.（1）求k的取值范围；（2）若x轴上的点M（3，0）到A、B两点的距离相等，求k的值．【解题指南】由于直线与双曲线相交于两个不同的点，所以可直接利用判别式Δ＞０求得k的范围，但注意一元二次方程的二次项系数不能为0；解答(2)的关键是建立关于k的方程，可以从“点M（3，0）到A、B两点的距离相等”上突破，利用中点坐标公式和直线的斜率间关系解答．【解析】（1）由得（1-2k2）x2-4kx-4=0.解得：-1＜k＜1且（2）设A（x1,y1），B(x2,y2),则设P为AB中点，则即∵M(3,0)到A、B两点的距离相等，∴MP⊥AB，∴kMP·kAB=-1,即解得或k=-1（舍去），直线与双曲线的相交弦问题【技法点拨】1.直线和双曲线相交所得弦长的两种求法方法一：利用距离公式求出直线和双曲线的两个交点坐标，利用两点间距离公式求弦长.方法二：利用弦长公式设斜率为k(k≠0)的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则2.解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法（1）根与系数的关系法：联立直线方程和双曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；（2）点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入双曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，可求斜率这是解决与中点有关问题的简便而有效的方法．求弦中点轨迹问题，此方法依然有效．【典例训练】1.已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为()(A)(B)(C)(D)2.(2012·武威高二检测)经过点M(2,2)作直线l交双曲线x2-于A,B两点，且M为AB中点.（1）求直线l的方程；（2）求线段AB的长.【解析】1.选B.由c＝3，设双曲线方程为设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①－②，得又N(－12，－15)为AB中点，∴x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30.∴a2＝4.∴双曲线方程为2.（1）设A（x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程得两式相减得∵M为AB的中点，∴x1+x2=4,y1+y2=4,∴l的方程为y-2=4(x-2)，即y=4x-6.(2)将y=4x-6代入到中得3x2-12x+10=0,故x1+x2=4,【思考】双曲线弦的中点坐标（x0,y0)与弦所在直线斜率k的关系.提示：利用点差法可得双曲线中弦的中点坐标与弦所在直线的斜率关系是：（1）当双曲线的焦点在x轴上时（2）当双曲线的焦点在y轴上时【变式训练】已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．【解析】∵a＝1，又直线l过点F2(2,0)，且斜率k＝tan45°＝1，∴l的方程为y＝x－2，由消去y并整理得2x2＋4x－7＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝∴A，B两点分别位于双曲线的左、右两支上．∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝与双曲线有关的综合问题【技法点拨】与双曲线有关的综合问题的几点认识（1）双曲线的综合问题往往涉及双曲线的离心率、渐近线、范围等性质的综合应用，需要综合上述性质解决问题.（2）双曲线的综合问题往往与向量、三角、不等式等知识结合，考查综合运用数学知识的能力.（3）双曲线的综合问题多以直线与双曲线相交的形式出现.因此常常需联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程根与系数的关系构造相关数量关系.【典例训练】1.(2011·山东高考)已知双曲线的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为()(A)(B)(D)2.设双曲线C：与直线l:x+y=1相交于两个不同点A，B.（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；（2）设直线l与y轴的交点为P，若求a的值.【解析】1.选A.∵双曲线的渐近线方程为圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，∴圆心为C(3,0)．又渐近线方程与圆C相切，即直线bx－ay＝0与圆C相切，又的右焦点为圆心C(3,0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为2.（1）将y=-x+1代入双曲线方程得（1-a2）x2+2a2x-2a2=0.所以解得又双曲线的离心率所以（2）设A（x1,y1），B（x2,y2）,P(0,1),因为所以所以由于x1,x2是方程(1-a2)x2+2a2x-2a2=0的两根，且1-a2≠0,所以消去x2,得【总结】由2题中问题的解答你学会了哪些分析和解决问题的方法？提示：将题干中已知的向量关系转化为几何条件，通过几何条件进一步转化为方程研究问题，这是解决本题的主导思想和方法，也是我们研究与椭圆、双曲线有关的综合问题的主要思路.【变式训练】已知双曲线的离心率e＝直线l过A(a,0)，B(0，－b)两点，原点O到直线l的距离是(1)求双曲线的方程；(2)过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若求直线m的方程．【解析】(1)依题意，直线l方程为即bx－ay－ab＝0，由原点O到l的距离为故所求双曲线方程为(2)显然直线m不与x轴垂直，设直线m方程为y＝kx－1，点M、N坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2),联立方程组消去y，得(1－3k2)x2＋6kx－6＝0.①依题意，1－3k2≠0，由根与系数的关系，知又当时，方程①有两个不相等的实数根，∴方程为【 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 解答】利用根与系数的关系判断直线和双曲线位置关系【典例】（12分）（2012·赣州高二检测）已知双曲线C：2x2-y2=2与点P（1，2）.（1）求过点P（1，2）的直线l的斜率的取值范围，使l与C有两个交点.（2）若Q（1，1），试判断以Q为中点的弦是否存在.【解题指导】【规范解答】（1）当直线l的斜率不存在时①，l的方程为x=1，与双曲线C只有一个交点.……………………………1分当l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x-1)，代入C的方程，并整理得（2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0.①………………………3分（ⅰ）当2-k2=0,即时，方程①有一个根，l与C只有一个交点.………………………………………………………4分（ⅱ）当2-k2≠0,即Δ=［2（k2-2k）］2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k)，……6分当Δ＞0，即时，又故当时，方程①有两不等实根，l与C有两个交点.…8分（2）假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A（x1,y1）,B(x2,y2)，则……………………9分两式相减得：2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)又∵x1+x2=2,y1+y2=2,∴2(x1-x2)=y1-y2,即才………………………………………10分由（1）可知直线AB与双曲线C无交点③，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.……………12分【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：（注：此处的①②③见规范解答过程）失分警示①②解题过程中假设掉去对①处当直线l的斜率不存在时的讨论，会使解题过程变得不完整，出现这种情况会酌情作适当的扣分处理.解题中若掉去②处(ⅱ)当2-k2≠0,即时,这个前提，就会得出的错误结论，出现这种情况最多会得到5分.失分警示解题启示③解决与双曲线有关的位置关系时，要注意两个方面：（1）在直线方程与双曲线方程联立所得的一元二次方程中,若二次项系数中含有参数时,应讨论其是否为0,只有二次项系数不为0时,才能利用Δ及根与系数的关系解题.（2）求出参数的值（或范围）要注意检验.解题时假设利用点差法求出k的值而求出直线的方程，不进行③处由（1）可知直线AB与双曲线C无交点,的检验，会出现“直线存在”的错误结论,出现这种情况会得到10分.【规范训练】（12分）已知双曲线上存在关于直线l：y＝kx＋4的对称点，求实数k的取值范围．【解题设问】双曲线上两对称点的中点是否在直线l上？____.是【规范答题】(1)当k＝0时，显然不成立．…………………1分(2)当k≠0时，在双曲线上任意取两点A，B，设AB的中点M的坐标为M(x0，y0)，由l⊥AB,可设直线AB的方程为将其代入3x2－y2＝3中，得(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0.…………………………4分显然3k2－1≠0，Δ>0,即k2b2＋3k2－1>0.①由根与系数的关系得AB的中点M的坐标为………………………………6分因为M平分AB，所以M(x0，y0)在直线l上，从而有………………………………8分即k2b＝3k2－1，④将④代入①得k2b2＋k2b>0，∴b>0或b<－1，即且k≠0，…………………12分1.如图，ax－y＋b＝0和bx2＋ay2＝ab(ab≠0)所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的曲线只可能是()【解析】选C.直线ax－y＋b＝0可化为y＝ax＋b，曲线bx2＋ay2＝ab可化为若ab>0，则A中曲线错误，B中曲线不存在．若ab<0，则D中曲线错误，故选C.2.已知双曲线的两条渐近线的夹角是60°，则其离心率是()(A)(B)(C)(D)2【解析】选A.双曲线中渐近线的倾斜角α的正切值满足：0＜tanα＜1，0＜α＜又两渐近线的夹角是60°，故α=30°，由tan30°=可求得答案.3.过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为()（A）（B）（C）（D）【解析】选B.如图，不妨设F为右焦点，向渐近线所作垂线的垂足为P，则由题知|PO|=|PF|，∴∠POF=45°，即∴双曲线的离心率故选B.4.直线y=x+1与双曲线相交于A，B两点，则|AB|=_______.【解析】联立方程得得x2-4x-8=0,有x1+x2=4,x1·x2=-8,所以答案:5.已知双曲线过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点．若P为AB的中点，(1)求直线AB的方程；(2)求弦AB的长．【解析】(1)易知直线AB的斜率存在．设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入双曲线方程3x2－y2＝3，得两式相减得：3(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，即所以直线AB的斜率所以直线AB的方程为6x－y－11＝0.(2)将y＝6x－11代入3x2－y2＝3，得33x2－132x＋124＝0.由弦长公式得所以