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模拟1PAGE1/NUMPAGES1[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]陕西省专升本考试高等数学模拟1陕西省专升本考试高等数学模拟1第一部分选择题一、单项选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．问题:1.设函数f(x)在点x0处连续，则下列结论正确的是______A．B．存在C．当x→x0时，f(x)-f(x0)为无穷小D．当x→x0时，f(x)-f(x0)不是无穷小答案:C[解析]f(x)在x=x0连续，则，所以A错，B即f'(x0)存在，这和“连续不一定可导”矛盾，所以B错，由于，所以C正确．问题:2.设函数y=lnsinx，则dy=______A．B．-cotxdxC．cotxdxD．tanxdx答案:C[解析]因，故dy=cotxdx，故选C．问题:3.设f'(x)=1，且f(0)=0，则______A．x+CB．C．D．-x+C答案:B[解析]因f'(x)=1，故f(x)=x+C，(C为任意常数)，又f(0)=0，则f(x)=x，从而．选项B正确．问题:4.若在x=-1处收敛，则此级数在x=2处______A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性不能确定答案:B[解析]令x-1=t，已知级数可化为，由已知条件，已知级数在x=1处收敛，即级数在t=-2处收敛；由绝对收敛原理，幂级数在|t|＜2时总绝对收敛；又x=2时，对应的t=1，该点在(-2，2)的区间内，故此时级数绝对收敛，相应地，级数在x=2处也绝对收敛．选项B正确．问题:5.已知区域D是由y=x，y=0，x2+y2=1围成的第一象限区域，则______A．πB．C．D．答案:B[解析]，选项B正确．第二部分非选择题二、填空题问题:1.定积分答案:0[解析]因为y=sin6x·arctanx为上的奇函数，故问题:2.极限答案:e2[解析]问题:3.已知两点A(0,1,2)和B(-1,0,1)，则与同向的单位向量a=______．答案:[解析]因，于是，故与向量同向的单位向量为：问题:4.通解为y=C1ex+C2的二阶线性常系数齐次微分方程是______．答案:y"-y'=0[解析]由题设知特征根r1=0，r2=1，故特征方程为r(r-1)=0，∴y"-y'=0为所求．问题:5.设l的方向角分别为60°，45°，60°，则f(x,y,z)=xy2+z3-xyz在点(1,1,2)处沿方向l的方向导数为______．答案:5[解析]与l同向的单位向量为因为函数f(x，y，z)可微分，且fx(1，1，2)=(y2-yz)|(1，1，2)=-1，fy(1，1，2)=(2xy-xz)|(1，1，2)=0，fz(1，1，2)=(3z2-xy)|(1，1，2)=11，所以．三、计算题本大题共10小题，每小题8分，共80分．计算题要有计算过程．问题:1.求极限答案:问题:2.已知参数方程，求答案:，所以则问题:3.讨论函数的单调性．答案:(1)函数f(x)的定义域为(-∞，+∞)．(2)f'(x)=x2-5x+4．令f'(x)=0，得x1=1，x2=4，函数f(x)无不可导点．(3)以x1=1和x2=4为分界点划分定义域，列表讨论如下：x(-∞，1)1(1，4)4(4，+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗↘↗所以，函数f(x)在(-∞，1)和(4，+∞)内是递增的，在(-1，4)内是递减的．问题:4.设，求．答案:因，于是问题:5.，f可微，求．答案:设，，则z=f(u，v)问题:6.计算，其中D是第一象限中由直线y=x和y=x3围成的封闭区域．答案:积分区域如图：因为二重积分的被积函数f(x，y)=ex2，它适宜于“先对y积分，后对x积分”，故D可用不等式表示为：于是，问题:7.将函数展开成(x-1)的幂级数，并指出收敛区间．答案:因又所以，即，收敛区间为(-1，3)．问题:8.求与x轴交点处的切线方程和法线方程．答案:令y=0,x=±1，所以所求切线为y=2(x±1)，即2x-y±2=0；所求法线方程为，即x+2y±1=0．问题:9.计算，其中L为：(1)抛物线y=x2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；(2)抛物线x=y2上从O(0,0)到B(1,1)的一段弧；(3)有向折线OAB，这里O，A，B依次是点(0，0)，(1，0)，(1，1)．答案:(1)化为对x的定积分．L：y=x2，x从0变到1．如图所示，所以(2)化为对y的定积分．L：x=y2，y从0变到1．所以(3)在OA上，y=0，x2从0变到1，所以在AB上，x=1，y从0变到1，所以从而问题:10.已知连续函数f(x)满足，求f(x)．答案:方程两端对x求导，则f'(x)=2f(x)+2e2x，即：y'=2y+2e2x为常系数一阶线性非齐次微分方程，由公式可得由于f(1)=0，故，四、应用题与证明题本大题共2小题，每小题10分，共20分．应用题的计算要有计算过程，证明题要有证明过程．问题:1.已知曲线(a＞0)与曲线在点(x0，y0)处有公切线，试求：(1)常数a和切点(x0，y0)；(2)两曲线与x轴围成的平面图形的面积S．答案:(1)由已知条件知：求解，得：，切点为：(e2，1)；(2)两曲线与x轴围成的平面图形如图．于是所求的面积为：问题:2.证明：当时，sinx+tanx≥2x．答案:[证明]设f(x)=sinx+tanx-2x，则在内，所以f(x)单增，x＞0，则f(x)＞f(0)=0，故sinx+tanx＞2x，显然x=0时，sinx+tanx=2x．于是时，sinx+tanx≥2x．
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