直角坐标系中平移变换与伸缩变换

直角坐标系中平移变换与伸缩变换直角坐标系中平移变换与伸缩变换直角坐标系中平移变换与伸缩变换1.1直角坐标系中的平移变换与伸缩变换目标：平移变换与伸缩变换的应用与理解一.直角坐标系1.直线上，取定一个点为原点，规定一个长度为单位长度，规定直线的一个方向为正方向。这样我们就建立了直线上的坐标系(即数轴)。它使直线上任意一点P都可以由唯一的实数x来确立。2.平面上，取定两条相互垂直的直线作为x、y轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这两条直线的正方向。这样我们就建立了平面直角坐标系。它使平面上任意一点P都可以由唯一的二元有序实数对(x,y)来确立。3.在空间中，选择三条两两垂直且交于一点的直线，以这三条直线分别作为x、y、z轴，它们的交点作为坐标原点，并规定好长度单位和这三条直线的正方向。这样我们就建立了空间直角坐标系。它使空间中任意一点P都可以由唯一的三元有序实数对(x,y,z)来确立。事实上，直线上全部点的会集与全体实数的会集一一对应；平面上所有点的会集与全体二元有序数对(x,y)的会集一一对应；空间中全部点的会集与全体三元有序数对(x,y,z)的会集一一对应..平面直角坐标系中图形的平移变换1.平移变换在平面内，将图形F上全部点依据同一个方向，挪动相同长度，称为图形F的平移。若以向量a表示挪动的方向和长度，我们也称图形F按向量a平移．F上任意一点P的坐标为(x,y)，向量在平面直角坐标系中，设图形(h,k)，平移后的对应点为P(x,y).则有：(x,y)(h,k)(x,y)xhx即有：yky.所以，我们也可以说，在平面直角坐标系中，由xhx所确立的变换yky是一个平移变换。由于平移变换仅改变图形的地址，不改变它的形状和大小．所以，在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。例1.①.已知点P(4,3)按向量a(1,5)平移至点Q，求点Q的坐标；②.求直线l:3x2y120按向量a(2,3)平移后的方程。一般地我们有以下关于平移变换的结论：①.将点P(x,y)按向量a(x0,y0)平移，所得点P的坐标为：P(xx0,yy0).②.将曲线C:f(x,y)0按向量a(x0,y0)平移，所得曲线C的方程为C:f(xx0,yy0)0.注：点P(4,3)按向量a(1,5)平移，得点P(41,35)，即：P(3,8)；直线l:3x2y120按向量a(2,3)平移，得直线l:3(x2)2(y3)120，即：l:3x2y0.2.有关曲线平移的一般性结论①.直线l:axby0，按向量a(x0,y0)平移后得.直线:()(0)0.过点byy(x0,y0)laxx0②.曲线C:x2y2r2，按向量a曲线C:(xx0)2(yy0)2r2③.曲线C:x2y21，按向量a22ab曲线C:(xx0)2(yy0)21a2b2④.曲线C:x222y21，按向量aab曲线C:(xx0)2(yy0)21a2b2(x0,y0)平移后得中心为(x0,y0).(x0,y0)平移后得中心为(x0,y0).(x0,y0)平移后得中心为(x0,y0).⑤.曲线C:y22px，按向量a(x0,y0)平移后得.曲线C:(yy0)22p(xx0)极点为00(x,y)例2.说明方程4x29y216x18y110表示什么曲线，求这个曲线的极点、中心、焦点、渐近线和离心率.三.平面直角坐标系中的伸缩变换伸缩变换3.我们已经知道，方程ysin2x所表示的曲线可以看作由方程ysinx所表示的曲线上全部点的纵坐标不变，横坐标变成本来的1得2到的曲线；同理，将方程ysin2x所表示的曲线上全部点的纵坐标保持不变，而横坐标变成本来的2倍，也可以获取方程ysinx所表示的曲.这也就是说，方程ysin2x所表示的曲线可以经过伸缩变换获取方程ysinx所表示的曲线．实质上，设2xx,yy，则ysin2x可以化为ysinx.由2xx，所确立的变换，是曲线上全部点的纵坐标不变，横坐标变成yy向着y轴的伸缩变换(这里本来的2倍，也可以称为曲线按伸缩系数为2P(x,y)是变换前的点，P(x,y)是变换后的点)．一般地，由xyxy，所确立的伸缩变换，是按伸缩系数为向着y轴的伸缩变换(当>1时，表示伸长；当有点的纵坐标不变，横坐标变成本来的<1时，表示压缩)，即曲线上所倍(这里P(x,y)是变换前的点，P(x,y)是变换后的点).同理，由xxy，所确立的伸缩变换，是按伸缩系数为向着x轴y的伸缩变换(当>1时，表示伸长；当<1时，表示压缩)，即曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标变成本来的倍(这里P(x,y)是变换前的点，P(x,y)是变换后的点).由xyxy，所确立的伸缩变换，是按伸缩系数向着x轴和按伸缩系数向着y轴的伸缩变换(当1时，表示伸长，1时，表示压缩；1时，表示伸长，当<1时，表示压缩)，即曲线上全部点的横坐标和纵坐标分别变成本来的倍和倍(这里P(x,y)是变换前的点，P(x,y)是变换后的点).在伸缩变换中，曲线上任意两点间距离的不变性已不存在．那么缩变换有什么特色呢?我们来观察直线与圆在伸缩变换作用下的变化．例4.对以下曲线向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数是k14..2x3y60；②.x2y216.(设P(x,y)是变换前的点，P(x,y)是变换后的点).注：①.直线2x3y60经过伸缩变换后的方程为x6y30，它依旧表示一条直线；②.圆x2y216经过伸缩变换后的方程为x2y21，它变成椭圆.162.有关曲线伸缩变换的一般性结论.直线经过伸缩变换后，还是直线．所以，在伸缩变换作用下，点的共线性质保持不变。②.曲线C:f(x,y)0在伸缩变换xx（或xx或xx）作用yyyyyy下（,1时表示拉伸，,1时表示压缩），所得曲线C的方程为：C:f(1x,y)0（或f(x,1y)0或f(1x,1y)0）.③.曲线C:f(x,y)0上各点的横坐标（或纵坐标、或横坐标和纵坐标）压缩为本来的1，可得曲线C:f(x,y)0（或f(x,y)0或f(x,y)0，1时表示压缩，1时表示拉伸）.例5.设曲线C:ylog2x，12x，C2:y2log2x，C:ylog13C3:y2log2xlog29.由曲线C经过何种变换可以获取曲线C1、C2、C3.例6.设M1是A1(x1,y1)与B1(x2,y2)的中点，经过伸缩变换k1xx后，它k2yy们分别为M2,A2,B2，求证：M2是A2B2的中点．(设P(x,y)是变换前的点，P(x,y)是变换后的点).四.典型例题1.两个定点的距离为则点M的轨迹是A.圆4，点B.椭圆M到这两个定点的距离的平方和为C.双曲线16，（D.抛物线）2.将函数y为本来的sinx图象上全部点的横坐标扩大为本来的2倍，获取的函数图象的分析式为2倍，纵坐标拉伸（）A.y12sin2xB.y12sin12xC.y2sin2xD.y2sin12x3.将点P(2,2)变换为点P(6,1)所用的伸缩变换公式是（）A.x1B.x1C.x3xD.x3x3x2x1y2yy3yy2yy2y4.①已知点P(2,3)按向量a(1,4)平移至点Q，求点Q的坐标;②已知点P(3,2)按向量a平移至点Q(2,0)，求平移向量a.5.将对数函数ylog3x曲线的横坐标拉伸为本来的2倍，求所得曲线的方程.x3x6.在同向来角坐标系中，已知伸缩变换:2yy.①.求点A(1,2)经过变换所获取的点A的坐标；31②.点B经过)，求点B的坐标变换获取点B(3,2③.求直线l:y6x经过变换后所获取的直线l的方程；④.求双曲线C:x2y21经过变换后所获取的曲线C的焦点坐标.647.在平面直角坐标系中求将曲线C:x2y21变成曲线C:x2y2194的伸缩变换.8.方程C:3x24y218x16y70表示何种曲线，求它的中心坐标、焦点坐标、准线方程、离心率．五.课外练习六.增补练习1.将点P(x,y)的横坐标伸长到本来的2倍，纵坐标压缩为本来的1，获取点P的坐标为3（）yxyxA.(2,3y)B.(2x,3)C.(3x,2)D.(3,2y)xx2.曲线C经过伸缩变换y1y后获取曲线C的方程为ylog2(x2),则曲线C的方程为3（）A.y1log2(x2)B.y3log2(x2)31xC.ylog2(2)D.ylog2(3x2)33.①已知点P(3,2)按向量a(1,4)平移至点Q，求点Q的坐标;②已知点P(1,3)按向量a平移至点Q(3,1)，求向量a.4.写出曲线按向量(4,3)平移后的方程..3x4y50；②.y28x5.求以下方程所表示的曲线的极点、焦点、中心及准线方程..x24y24x8y8；②.y24x2y50.对以下曲线向着y轴进行伸缩变换，伸缩系数k16.2.①.y2sin3x;②.x2y21．847.对x2y24x2y10曲线向着x轴进行伸缩变换，伸缩系数k2.8.在平面直角坐标系中求将曲线C:x2y22x4y10变成曲线C:4x2y20的伸缩变换.4x2y14