先一起浏览一下第一章的目录、基本
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……*第一章信号及其描述一、信号的分类确定性信号随机信号瞬变非周期信号周期信号准周期信号信号分类一非周期信号简单周期信号复杂周期信号图1-1信号按变化规律分类*第一节信号的分类与描述信号分类二信号分类三连续信号数字信号能量（有限）信号功率（有限）信号离散信号模拟信号图1-3信号按有限性分类矿12-1机12-1图1-2信号按连续性分类*（一）确定性信号与随机信号按信号的规律性对信号分类。规律性强的信号不仅能反映当前状态，并且能预测其变化趋势。1、确定性信号——信号可
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示为一个确定的时间函数，可确定其任何时刻的量值。（特点：函数表达，确定性。）（1）周期信号——按一定时间间隔周而复始重复出现，无始无终的信号，可表示为：x(t)=x(t+nT0)(n=1,2,3,…….)(1—1)式中T0——周期（1—2）例：单自由度无阻尼振动系统（见教材p18图1-1）思考：例中振动为什么是正弦运动（此模型又称作简谐振动）？正弦（或余弦）到底是什么？*其中，圆频率ω0=（2π/T0）=（2πf0）=；周期T0=2π/（结合图1-1模型，理解T0、ω0的意义及k,m的影响）（a）简单周期信号——即正弦x(t)=sinωt和余弦cosωt信号。二者关系：x(t)=sin(ωt+π)=cosωt*图1-4正弦和余弦信号的波形来认识一下正（余）弦信号：★“三要素”相同的正弦和余弦信号,从变化规律的实质的角度来看，仅仅是初相位不同而已（余弦领先正弦四分之一周期，或说正弦领先余弦四分之三周期）。*★正（余）弦信号的基本特点：定义域值域、周期性、单调性、对称性；★我们更关心：函数与其导数间的关系，即(sinx)’=cosx，(cosx)’=-sinx★傅里叶级数的三角函数展开：揭示复杂周期信号由简单正（余）弦信号叠加而成。（b）复杂周期信号——除正弦和余弦信号以外的所有其它周期信号。注意：叠加后的x(t)仍然是周期信号，其周期是三个正弦信号各周期的“公倍数”，在这里就是sinωt的周期（）。该图取自方波的前3项，请注意各次谐波的影响，尤其基波的决定意义及3、5次谐波造成的畸变。如：x(t)=sinωt+sin3ωt+sin5ωt（是否为周期信号？看图）*图1-5简单周期信号叠加成为复杂周期信号情况一般情况：周期为T1和周期为T2的两个（或多个）周期信号相加，可能是周期信号，也可能是非周期信号。这主要取决于在这两个周期T1，T2之间是否有最小公倍数，即存在一个最小数T3能同时被T1和T2所整除。若存在最小公倍数则有：T3=n1T1= n2T2 （n1,n2均为整数） T1/ T2= n2/n1=有理数，则信号相加后为周期信号。否则，就不是周期信号。*例如，（sin2ωt+sin3ωt）是周期信号，周期为（）。T3=2×（）=3×（）=（）又如，就不是周期信号。作为复杂周期信号的典型，看看方波信号：式中此式表明周期方波由一系列幅值和频率不等，相角为零的正弦信号叠加而成。此式可写成式中ω=nω0n=1,3,5,…将该周期方波应用付里叶级数展开，可得x(t)=x(t+nT0)x(t)=A0
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的实质。依次，人们不考虑信号的量纲，把信号x(t)的平方x2(t)和其对时间的积分x2(t)dt称为信号的功率和能量。这种信号称为功率有限信号或功率信号。矿12-1但它在有限区间（t1,t2）的平均功率是有限的，即若信号在区间（-∞，+∞）的能量是无限的，即→∞（1—5）（1—6）称之为能量有限信号，简称能量信号。当x(t)满足(1—4)*二、信号的时域描述和频域描述（第一节的重点所在！！）信号表达为独立变量（自变量）的函数。一个信号可以用多种独立变量来描述，建立不同函数关系，来反映不同的规律。如x(t),x(k),X(f),ε(σ)。测试技术中主要有时域描述和频域描述两种方式，本章的重点是信号的频域描述的概念、
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。而频率描述方法及结果，在测试技术各部分都会用到，尤其第二、第五两章。时域描述：以时间为独立变量。反映信号幅值随时间变化的规律。特点：直接反映信号幅值随时间变化的关系。（时间函数，不再多讲）频域描述：以频率为独立变量。揭示信号的频率构成。频率构成：信号有哪些频率分量的正弦信号组成（叠加），各频率分量的频率、幅值、初相位如何。时域描述和频域描述应用于不同的情况，各有其优缺点。如振动研究：评定振动烈度----------振动速度均方根值-------------时域方法寻找振源------频谱分析及其它频域分析方法------频域方法*问题：频率分量为什么是正弦信号？正弦信号的进一步认识。为什么是正弦信号？------两方面来认识：1〉单摆、简谐振动都是正弦运动（？）；（客观）2〉付里叶级数的三角函数（正、余弦）展开。（理论）正弦信号的认识：以前已知：1〉“对边比斜边”；2〉直角坐标中匀速转动的向量的投影；3〉单摆、简谐振动等。*进一步认识：周期运动的最基本形式；频域描述的基本要素----频率分量。---------------------------------------------------------------------------------------------------------再看方波：式中此式可写成其中ω=nω0n=1,3,5,…机12-1傅里叶级数展开就是频域描述，又叫频率分析：函数：x(t)=x(t+nT0)x(t)=A0
工程
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实践中，有用信号基本都是周期信号（背景噪声一般为随机信号）。所以，搞清楚周期信号的频率分析方法及常见周期信号的频谱构成，非常有实用性。*对周期信号进行频率分析的数学工具就是付里叶级数。一、付里叶级数的三角函数展开式在有限区间上，凡满足狄里赫利条件的周期信号x(t)，均可展开成付里叶级数：（1—7）式中常值分量余弦分量幅值正弦分量幅值其中T0——周期（信号x(t)的周期）ω0=2π/T0=2πf0（圆频率）；n=1,2,3,…；an、bn分别是nω0的两个独立的函数。（1—8）*将式（1—7）统一为正弦：（1—9）式中bnanAn、φn也分别是nω0的两个独立的函数An（nω0）、φn（nω0）。An为幅值、φn为相位移，几何意义清晰，可分别作出幅频谱和相频谱。★周期信号是由无数多个不同频率的谐波叠加而成的，各频率成分是ω0的整数倍，相邻频率间隔为称为n次谐波，A0sin(ω0t+φ0)称作基波。*例1-1求周期性三角波的付里叶级数，并作频谱。*见教材p22-23.再强调：求频率构成（组成）/进行频率分析/做频谱三者的意义是基本相同的。周期信号频谱特征：1〉离散性：周期信号的频谱是离散的。2〉谐和性：每条谱线之出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数。3〉收敛性：工程中常见的周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小的。即越高次的谐波，能量的占比相对越少。（工程实际的频谱分析中，一般不考虑那些次数过高的谐波分量。）注意：下面要讲的“二、付里叶级数的复指数函数展开式”，主要是为了推出“瞬变非周期信号与连续频谱”的数学工具----付氏积分，做准备，尽管根据复指数函数展开式做出的双边频谱能反映出信号和其频谱的奇偶虚实关系。思考：准周期信号的频谱？异同点。同----满足离散性；异----不满足协和性。（按定义，收敛性不详）二、付里叶级数的复指数函数展开式根据殴拉公式将（1-11）（1-12）两式代入（1-7）式，得（1-10）（1-11）（1-12）(1-13)令(1-14)（1-7）*则简化为即以复指数为基函数来分解信号（双边）。同理合并为(1-16)*(1-15)将式（1-8）代入式（1-14）得几点说明：（1-17）式中（1-18）（1-19）与共轭，即;作幅频谱图作相频谱图作实频谱图（总是偶对称）作虚频谱图（总是奇对称）1.表示方法一般情况下，cn是复数，可以写成例1-2画出余弦、正弦函数的实、虚部频谱图。（见教材P24）*（复数；模相等，相位反相）2．频谱图把周期函数展开为付里叶级数的复指数形式后，参照单边频谱可知，cn就是其复数域中的双边频谱。矿12-13．比较付里叶级数的两种展开形式可知复指数形式双边谱三角函数形式单边谱4．负频率▪当n取负值时，谐波频率为“负频率”，实际上角速度按其旋转方向可以有正有负。▪一个谐波频率的实部可以看成是两个旋转方向相反的矢量在其实轴上投影和。▪其虚部则为两个旋转方向相反的矢量在虚轴上投影之差。0A/2ReImAω0-ω0φ-φ两种频谱幅值关系为：一般，双边幅频谱为偶函数，双边相频谱为奇函数（由（1-17）式可知）。*三、周期信号的强度表述自学：了解各强度参数的定义、意义；了解表1-2几种典型信号的强度参数。（本节结束）*第三节瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号，常见下图所示衰减振荡函数t指数衰减函数x(t)0t矩形脉冲函数x(t)0单一脉冲函数tx(t)0tx(t)0一．傅里叶变换瞬变非周期信号的频谱，可以用周期T0为无穷大的周期信号来分析求得。*(1-15)(1-16)对周期信号有：★对于瞬变非周期信号，当T0→∞时，可认为上面的公式（1-15）和（1-16）中的相关量发生了如下三点变化：即，谱线无限靠近，演变成一条连续曲线。所以非周期信号的频谱是连续的，可理解将非周期信号由无限多个频率无限接近的频率成分所组成的。*1〉频率间隔：0=dω,无穷小量；2〉变量：nω0→ω，连续；3〉求和符号：∑→∫，积分。下面看看相关公式的演化推导：设有一个周期信号在区间以傅里叶级数表示为式中把Cn代回前式，有当(1-25)*上式园括号中积分中t为积分变量，故积分后为ω的函数，记为X(ω)x(t)的付里叶变换（1-26）X(ω)的付里叶逆变换（1-27）两者互称为付里叶变换对，可记为把ω=2πf代入式（1-25）中，则式（1-26）和（1-27）变为（1-28）（1-29）两种形式的关系为(1-30)式中为信号的连续幅频谱，为信号的连续相频谱。、用X(f)的虚、实部计算，方法同周期信号。一般是实变量f的复函数，可以写成（1-31）注意：▪非周期信号的幅频谱和周期信号幅频谱很相似，但两者是差别的，表现在量纲上。▪的量纲与信号幅值量纲不一样，它是单位频宽上的幅值，更确切地说是频谱密度函数。▪量纲与信号幅值的量纲一样。*找根源、分析：周期信号和非周期信号频谱量纲的不同，是怎样产生的？例1-3求矩形窗函数w(t)的频谱（参见P29.例1-3）定义：（1-32）解：根据欧拉公式代入上式（1-33）式中T—窗宽。上式中我们定义W(f)和Sincθ的图形见教材P29.和P30.的（图1-12），（图1-13）*此窗函数在信号理论中有特殊用途：对无限时长范围客观存在的信息，进行有限时长的测量，就可以看成与窗函数的乘积。诸如此类。函数只有实部，没有虚部。其幅频谱为（1-34）其相位频谱视的符号而定，当为正值时相角为零，为负值时相角为1-T/2T/2t0x(t)-4/T-3/T-2/T–1/T1/T2/T3/T4/Tπf-3/T-2/Tf3/T2/T-1/T1/T0TW(f)φ(f)0*★参见P32.图1-15，研究讨论时域窗宽T与频域主瓣大小及频谱衰减速度的关系：函数的频谱：T越大，频域主瓣越高，频谱衰减速度越快。极限情况：水平线(时)→脉冲(频)。反之，频域主瓣越低，频谱衰减速度越慢，极限情况：脉冲(时)→水平线(频)。二．傅立叶变换的主要性质信号的时域与频域描述靠傅立叶变换建立彼此一一对应的关系。熟悉傅立叶变换的主要性质，有助于了解信号在在某个域中的变化和运算将在另一个域中产生何种相应的变化和运算关系，有助于复杂工程问题的分析和简化。主要性质参见P30.表1-3。（我们主要关心结论、物理意义及应用）（一）奇偶虚实性一般X(f)是实变量f的复变函数，有欧拉公式它可以写成（1-35）式中（1-36）（1-37）*·x(t)为实函数→实部为偶函数虚部为奇函数·x(t)为实偶函数→为实偶函数，·x(t)为实奇函数→为虚奇函数，·x(t)为虚偶函数→为虚偶函数，·x(t)为虚奇函数→为实奇函数，了解此性质有助于估计傅立叶变换对的响应图形性质，减少计算。→由于余弦函数是偶函数，正弦函数是奇函数，有式（1-36）和（1-37）知*（二）对称性若证明：由令u和f对换令u=t所以证毕0A-T/2T/2t0x(t)-3/T-2/Tf3/T2/T-1/T1/T0ATX(f)x(f)-f0/2fAf0/2-2/f0t2/f0-1/f01/f00Af0X(t)*应用：由已知的傅立叶变换对，可求出相应的“对称”傅立叶变换对。（三）时间尺度改变特性若证明：（1）当时间尺度压缩（k>1）时，见图c，其频谱的频带加宽，幅值降低。可以提高处理信号效率，但后续处理频带加宽，容易失真。（2）当时间尺度扩展（k<1）时，见图a，其频谱的频带边窄，幅值增高。处理后续信号容易，但效率降低。（3）实现：磁记录的慢录快放或快录慢放；计算机程序中时间系数。0X(f)-1/2T1/2TX(f/2)/200-2/T2/T-1/T1/TAT/22ATAT2X(2f)fffAx(2t)-T/20T/2-TTttt-T/40T/4x(t)0AAx(t/2)扩展k=0.5正常k=1压缩k=2a)b)c)*(四)时移和频移特性1．若（1-40）证明：令t=t-t0代入上式所以式(1-40)说明将信号在时域中平移，其幅频谱不变，而相位谱中相角的改变量与频率f成正比，即。以表1—1的方波相频谱为例，其中，基波频率为，其相移为三次谐波的频率为3f0，则其相移为*2．如（1-41）证明：令所以由欧拉公式知式（1-41）左侧是时域信号x(t)与频率为f0的正、余弦信号之和的乘积。描述了调频信号的调制过程。即，时域信号的调幅对应频域信号的频移。反之亦然。机12-1*（五）卷积定理两个函数和卷积定义为若则（1-42）（1-43）证明时域卷积交换积分顺序根据时移特性证毕证明频域卷积交换积分顺序根据时移特性证毕*（六）微分和积分特性（振动测试中，位移、速度、加速度之频谱间转换）由（1-28）（1-29）对式(1-29)中t进行微分（1-44）同理对式(1-28)中f进行微分（1-45）同样可证明（1-46）*三、几种典型信号的频谱（一）矩形窗函数的频谱从上例1—3中看出：（1）一个在时域有限区间内有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。“泄漏”。（2）在时域中截取信号一段记录相当x(t)w(t)W(f)*X(f)（3）在f=0～±1/T之间的谱峰，幅值最大，称为主瓣，两侧峰值称为旁瓣。（4）主瓣宽度为2/T，与时域窗宽度T成反比。T↑→截取时间长，主瓣宽度越小而高度越大，信号越向低频段集中，高频泄漏部分衰减加快，从而减少了混叠现象的影响。（参见P32.图1-15）1-T/2T/2t0x(t)-4/T-3/T-2/T–1/T1/T2/T3/T4/Tπf-3/T-2/Tf3/T2/T-1/T1/T0TW(f)φ(f)0*（二）δ函数及其频谱1．δ函数的定义在δ时间内激发一个矩形脉冲（或三角脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲等），其面积为1。当时，有（1-47）从面积（通常称其为δ函数的强度）的角度看（1-48）矩形脉冲-ε/20ε/21/εSε(t)t01δ(t)tδ函数*注意：δ函数的定义有函数值和总面积(强度)两个方面。2．δ函数的采样性质由δ(t)函数的定义可知，理解为：强度为f(0)的δ(t)函数。从数值上看，从面积（强度）看则为f(0)，即(1-49)同理，对于有延时t0的δ函数δ(t-t0)，它与f(t)乘积只有在t=t0时刻不等于零即积分(1-50)★式（1-49）和（1-50）表明δ函数的采样性质：（1）任意函数f(t)与δ(t-t0)的乘积是一个强度为f(t0)的δ函数δ(t-t0)。（2）该乘积在无限区间的积分是f(t)在t=t0时刻的函数值f(t0)。（3）此性质描述了连续信号的采样过程，即离散化过程。（采样看成连续函数f(t)和一系列δ函数的乘积。）*3．δ函数与其它函数的卷积δ函数与x(t)的卷积为由于δ函数为偶函数所以（1-51）同理当δ函数为δ(t±t0)时★可见,函数x(t)与δ函数的卷积结果就是在发生δ函数的坐标位置上(以此为坐标原点)简单地将x(t)重新构图。此性质描述了信号函数值与函数的关系。-t00t0tx(t)*δ(t+t0)x(t)*δ(t-t0)x(t)*δ(t±t0)0tx(t)t-t00t0δ(t+t0)δ(t-t0)δ(t±t0)A0tx(t)*δ(t)0tAx(t)01tδ(t)*4．δ(t)的频谱(1-53)其逆变换为(1-54)f01Δ(f)t01δ(t)δ函数具有无限宽广频谱，而且是等强度的，也称为“均匀谱”。时域频域δ(t)←→1（单位瞬时脉冲）（均匀频谱密度函数）1←→δ(f)（幅值为1的直流量）（在f=0处有脉冲谱线）δ(t-t0)←→e-j2πft0（δ函数时移t0）(各频率成分分别相移-j2πft0)ej2πf0t←→δ(f-f0)(复数指数函数)（将δ（f）频移到f0）(1-55)*根据付里叶变换的对称性质、时移性质和频移性质，可得到以下付里叶变换对（三）正、余弦函数的频谱密度函数根据欧拉公式可推出用式(1-55)付里叶变换对(1-56)(1-57)★正、余弦函数是把频域中两个δ函数向不同方向频移后的差或和的付里叶逆变换，参见函数和频谱图如下。（这里关键是和δ函数发生了联系）1/21/2-f0f0-f0f0ReX(f)-1/21/200ffImX(f)x(t)=cos2πf0tx(t)=sin2πf0t00tt*（四）周期单位脉冲序列的频谱此序列常称为梳状函数，并用comb(t,Ts)表示（1-58）式中Ts—周期n=±1,±2,…因此，此函数是周期函数。表示为复指数函数形式（1-59）式中fs=1/Ts，系数Ck为因为在区间内，式（1-58）中只有一个δ函数δ(t)，且所以*式（1-59）变成根据式（1-55）可得comb(t,Ts)函数的频谱comb(f,fs)也是梳状函数(1-60)由图可见，时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列。时域周期为Ts，脉冲强度为1，频谱周期为1/Ts，强度为1/Ts。-3/Ts-1/Ts01/Ts3/Ts-2Ts–Ts0Ts2Tsft1/Ts1Comb(f,fs)Comb(t,Ts)…………图1-20周期单位脉冲序列及其频谱（教材p36）*练习题：3，4，5，6，7.本节结束，本章结束。105ωφ(ω)幅—频谱7ω05ω03ω0ω0A(ω)相—频谱7ω05ω03ω0ω0ωA-Atx(t)T0/2-T0/2T0T0/3T0/5T0/74A/π4A/3π4A/5π4A/7π*狄里赫利条件：（1）在一个周期内只有有限个不连续点。（2）在一个周期内只有有限个极大值和极小值。（3）*证明δ(t)函数为偶函数由(A)令t=-t代入(B)比较(A)和(B)两式，有*
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