数学中考重难点突破之类比、拓展类探究

2020年数学 中考 中考数学全套课件中考心理辅导讲座中考语文病句辨析修改中考语文古诗文必背中考单选题精选 重难点突破之类比、拓展类探究2020年数学中考重难点突破之类比、拓展类探究PAGE/NUMPAGES2020年数学中考重难点突破之类比、拓展类探究类比、拓展类探究1．(1)【观察猜想】如图①，点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE＝90°，AD＝AE，则线段BC、BD、CE之间的数量关系为________；(2)【问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 解决】如图②，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CB＝4，AB＝2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连接BD，求BD的长；(3)【拓展延伸】如图③，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，CB＝4，AB＝2，DC＝DA，请直接写出BD的长．第1题图解：(1)BC＝CE＋BD；【解法提示】∵∠B＝90°，∠DAE＝90°，∴∠D＋∠DAB＝∠DAB＋∠EAC＝90°，∴∠D＝∠EAC，∵∠B＝∠C＝90°，AD＝AE,∴△ADB≌△EAC，BD＝AC，EC＝AB，BC＝AB＋AC＝CE＋BD；1(2)如解图①，过点D作DE⊥AB交BA的延长线于点E，第1题解图①易证△ABC≌△DEA，DE＝AB＝2，AE＝BC＝4，BE＝AB＋AE＝6，在Rt△BED中，由勾股定理得BD＝62＋22＝210；(3)BD的长为32.【解法提示】如解图②，过点D作DE⊥BC于点E，作DF⊥AB交BA的延长线于点F，则四边形BEDF为矩形．第1题解图②易证△CED≌△AFD，CE＝AF，ED＝DF，∴四边形BEDF为正方形，BE＝DF＝BF＝DE.设AF＝x，DF＝y，x＋y＝4，解得x＝1则，2＋x＝yy＝3BF＝2＋1＝3，DF＝3，2在Rt△BDF中，由勾股定理得BD＝32＋32＝32.2．已知点O是△ABC内任意一点，连接OA并延长到点E，使得AE＝OA，以OB，OC为邻边作?OBFC，连接OF，与BC交于点H，连接EF.【问题发现】(1)如图①，若△ABC为等边三角形，线段EF与BC的位置关系是________，数量关系为________；【拓展探究】(2)如图②，若△ABC为等腰直角三角形(BC为斜边)，(1)中的两个结论是否成立？若成立，请给予 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ；若不成立，请写出正确结论再给予证明；【解决问题】(3)如图③，若△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，请你直接写出线段EF的长．第2题图解：(1)EF⊥BC，EF＝3BC；【解法提示】如解图①，连接AH，3第2题解图①∵四边形OBFC是平行四边形，1∴BH＝HC＝2BC，OH＝HF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，AH⊥BC，3∴AH＝2BC，OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，1∴AH∥EF，AH＝2EF，1EF⊥BC，2BC＝2EF，EF⊥BC，EF＝3BC.(2)EF⊥BC仍然成立，但EF＝BC.证明：如解图②，连接AH，第2题解图②∵四边形OBFC是平行四边形，1∴BH＝HC＝2BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰直角三角形，41∴AH⊥BC，AH＝BH＝2BC，∵OA＝AE，OH＝HF，∴AH是△OEF的中位线，111∴AH∥EF，AH＝2EF，∴EF⊥BC，2BC＝2EF，∴EF⊥BC，EF＝BC；(3)线段EF的长为7.【解法提示】如解图③，连接AH，第2题解图③∵四边形OBFC是平行四边形，1∴BH＝HC＝2BC，OH＝HF，∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝2，BC＝3，AH＝AB2－BH2＝27，∵OA＝AE，OH＝HF，1∴AH是△OEF的中位线，∴AH＝2EF，EF＝2AH＝7.3．在等边△ABC中，F为BC边△ADE，过点F作AB的平行线的中点，D为BC上的动点，以AD为边作等FG，交AE于点G.5【特例发现】(1)如图①，当点D与点F重合时，直线CE和AB的位置关系是________；DG与AE的位置关系是________．【类比探究】(2)如图②，当点D移动到如图所示的位置时，上述结论还成立吗？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．【拓展延伸】(3)如图③，在四边形ABCD中，AB＝AC＝BC，∠ADB＝60°，过点A作AE3⊥BD于点E，过点E作EF∥CD交AC于点F，若AD＝5，CD＝2，请直接写出线段EF的长度．第3题图解：(1)CE∥AB；DG⊥AE.【解法提示】∵△ABC与△ADE为等边三角形，AB＝AC，AF＝AE，∠BAC＝∠FAE＝∠ABF＝60°，∵∠BAC＝∠BAF＋∠FAC，∠FAE＝∠FAC＋∠CAE，∴∠BAF＝∠CAE，∴△ABF≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABF＝60°，∴∠BAC＝∠ACE，∴CE∥AB，∵AB∥FG，∴CE∥FG∥AB，6∵点F为BC的中点，∴点G为AE的中点，∵△AEF为等边三角形，∴DG⊥AE.(2)结论仍然成立．证明如下：∵△ABC和△DAE均为等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD＝AE，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABF＝60°，∴∠ACE＝∠BAC，∴AB∥CE.FG∥AB，∴AB∥FG∥CE，∵点F是BC的中点，∴点G是AE的中点，∵△ADE为等边三角形，∴DG⊥AE.7(3)线段EF的长为4.【解法提示】如解图，过点A作AG＝AD，交BD于点G，延长EF交AD于点H，第3题解图∵∠ADB＝60°，AB＝AC＝BC，∴△ABC和△ADG均为等边三角形，∴∠BAC＝∠DAG＝∠AGD＝60°，AG＝AD＝5，∴∠BAG＝∠CAD，∠AGB＝120°，∴△ABG≌△ACD，7∴∠AGB＝∠ADC＝120°，∴∠CDE＝120°－60°＝60°.又∵∠AGD＝60°，∴CD∥AG.EF∥CD，∴EF∥CD∥AG.在等边△ADG中，∵AE⊥GD，∴点E是DG的中点，∴点H是AD的中点，5EH是△ADG的中位线，∴EH＝2AG＝2.在△ACD中，∵FH∥CD，3FH是△ACD的中位线，∴FH＝2CD＝4，537∴EF＝EH－FH＝2－4＝4.4．【问题发现】(1)如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则线段BE、EF、DF之间的数量关系为________；【拓展探究】(2)如图②，在△ADC中，AD＝2，CD＝4，∠ADC是一个不固定的角，以AC为边向△ADC的另一侧作等边△ABC，连接BD，则BD的长是否存在最大值？若存在，请求出其最大值；若不存在，请说明理由；【解决问题】如图③，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，BC＝42，若BD⊥CD，垂足为点D，则对角线AC的长是否存在最大值？若存在，请直接写出其最大值；若不存在，请说明理由．8第4题图解：(1)BE＋DF＝EF；【解法提示】如解图①，延长CD至点G，使得DG＝BE，第4题解图①∵在正方形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG，AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠DAG＋∠DAF＝45°，即∠GAF＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，EF＝GF＝DG＋DF＝BE＋DF.（2）存在．在等边△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝60°，如解图②，将△ABD绕着点B顺时针旋转60°，得到△BCE，连接DE.9第4题解图②由旋转可得，CE＝AD＝2，BD＝BE，∠DBE＝60°，∴△DBE是等边三角形，∴DE＝BD，DE≤DC＋CE＝4＋2＝6，∴当D、C、E三点共线时，DE存在最大值，且最大值为6，∴BD的最大值为6；(3)存在，AC的最大值为22＋26.【解法提示】如解图③，以BC为边作等边△BCE，过点E作EF⊥BC于点F，连接DE，则BC＝BE，∠CBE＝60°.F第4题解图③AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝BD，∠ABD＝60°.∴∠ABD＋∠CBD＝∠CBE＋∠CBD，即∠ABC＝∠DBE，AB＝BD，∠ABC＝∠DBE，BC＝BE，∴△ABC≌△DBE，10AC＝DE，∵在等边△BCE中，EF⊥BC，1BF＝2BC＝2×42＝22，EF＝3BF＝3×22＝26，以BC为直径作⊙F，则点D在⊙F上，连接DF，1∴DF＝2BC＝22，∴AC＝DE≤DF＋EF＝22＋26，即AC的最大值为22＋26.5.【问题发现】(1)如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE；填空：①∠AEB的度数为________；②线段AD、BE之间的数量关系为________．【拓展探究】(2)如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；【解决问题】(3)如图③，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝1，且∠BPD90°，请直接写出点A到BP的距离．．．．．11第5题图解：(1)①60°；②AD＝BE；【解法提示】①∵△ABC和△DCE均为等边三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∵∠ACD＋∠DCB＝∠DCB＋∠BCE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠ADC＝∠BEC，AD＝BE，∵∠CDE＝∠CED＝60°，∴∠ADC＝∠BEC＝120°，∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°.②由①得△ACD≌△BCE，AD＝BE.(2)∠AEB＝90°，AE＝BE＋2CM；理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB，即∠ACD＝BCE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，AD＝BE，∠BEC＝∠ADC＝180°－45°＝135°，12∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝135°－45°＝90°.在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高，CM＝DM＝ME，DE＝2CM，AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.3－13＋1(3)或.22【解法提示】∵PD＝1，∠BPD＝90°，BP是以点D为圆心，以1为半径的⊙D的切线，点P为切点．第一种情况：如解图①，过点A作AM⊥BP于点M，过点A作AP的垂线，交BP于点P′，可证得△APD≌△AP′B，PD＝P′B＝1，AP′＝AP，∵CD＝2，BD＝2，PD＝1，∴PB＝3，113－1∴AM＝2PP′＝2(PB－P′B)＝2.13第5题解图113＋1第二种情况：如解图②，同理可得AM＝2PP′＝2(PB＋BP′)＝2.综上所述，点A到BP的距离为3－13＋12或2.6．如图①，以?ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF，使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.(1)猜想BG与EG的数量关系，并说明理由；(2)延长DE，BA交于点H，其他条件不变，DG①如图②，若∠ADC＝60°，求BH的值；②如图③，若∠ADC＝α(0°<α<90°)，直接写出DG的值．(用含α的三角 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 ．．．．BH 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示)第6题图解：(1)BG＝EG；理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，14AB＝CD，AB∥CD，∵四边形CDEF是菱形，EF＝CD，EF∥CD，AB＝EF，AB∥EF，∴∠BAG＝∠EFG，∠ABG＝∠FEG，∴△ABG≌△FEG(ASA)，∴BG＝EG；(2)①由(1)知△ABG≌△FEG，AG＝FG，设CD＝a，FG＝b，则AB＝a，AG＝b，∵四边形CDEF是菱形，∠ADC＝60°，∴△EFD是等边三角形，∠FDE＝60°，∴DF＝CD＝a，∵AB∥CD，∴∠HAD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∴AH＝AD＝DF＋FG＋AG＝a＋2b，∴BH＝AB＋AH＝a＋a＋2b＝2a＋2b，∵DG＝DF＋FG＝a＋b，DGa＋b1∴＝＝；BH2a＋2b2DG②BH＝cosα.【解法提示】如解图，分别过点C、H作CO⊥AD于点O，HN⊥AD于点N，15第6题解图∵△ABG≌△FEG，∴AG＝FG，设CD＝a，FG＝b，则AB＝a，AG＝b，∵四边形CDEF是菱形，∠ADC＝α，∴∠ADH＝α，∴DF＝2DO＝2acosα，∴AD＝DF＋FG＋AG＝2acosα＋2b，∵AB∥CD，∴∠HAD＝∠ADC＝α，1∴AN＝2AD＝acosα＋b，∴AH＝AN＝acosα＋b，cos∠HADcosα∴BH＝AB＋AH＝a＋acosα＋b＝2acosα＋b，cosαcosαDG＝DF＋FG＝2acosα＋b，DG2acosα＋b∴BH＝2acosα＋b＝cosα.cosα7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P顺时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.(1)如图①，当点P在线段BC上时，线段BQ与CP的数量关系为________；(2)如图②，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加16以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图③，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝15°，BP＝4，请直接写出BQ的长．第7题图解：(1)BQ＝CP；【解法提示】如解图①，连接OQ，第7题解图①PQ是由OP旋转60°得到的，∴△OPQ是等边三角形，∴∠POQ＝60°，OP＝OQ.∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵点O是AB的中点，OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，17CO＝BO，OP＝OQ，∴△COP≌△BOQ，∴CP＝BQ；(2)成立，证明如下：如解图②，连接OQ，第7题解图②∵线段PQ是由线段PO绕点P旋转60°得到的，∴△PQO是等边三角形，OQ＝OP，∠POQ＝60°.∵在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°，∵点O是AB的中点，OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB＝60°＝∠POQ，∴∠COB＋∠BOP＝∠BOP＋∠POQ，即∠COP＝∠BOQ，∵OC＝OB，PO＝OQ，∴△COP≌△BOQ，CP＝BQ；18(3)BQ的长为43－4.【解法提示】如解图③，连接OQ，第7题解图③∵线段PQ是由线段PO绕点P旋转60°得到的，∴△PQO是等边三角形，∴∠POQ＝60°，PO＝OQ，由(2)知△OBC是等边三角形，OB＝OC，∠BOC＝∠POQ＝60°，∴∠BOQ＝∠COP，∴△COP≌△BOQ，CP＝BQ，∠CPO＝∠BQO，过Q作QD⊥BP于D，∵∠QPO＝∠PQO＝60°，∠BPO＝15°，∴∠QPD＝45°，∵∠QDP＝90°，∴∠PQD＝45°，PD＝DQ，∴∠DQO＝15°，∵∠BQO＝∠BPO＝15°，∴∠BQD＝30°，19BQ＝2BD，PD＝QD＝3BD，BP＝DB＋PD＝BD＋3BD，∵BP＝4，∴BD＝23－2，BQ＝2BD＝43－4.8．在△ABC和△ADE中，BA＝BC，DA＝DE，且∠ABC＝∠ADE＝α，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE＋∠ABE＝90°.(1)如图①，当α＝60°时，线段BD与CE的数量关系为________，线段EA，EB，EC的数量关系为________；(2)如图②，当α＝90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，当点E在线段CD上时，若BC＝25，请直接写出△BDE的面积．第8题图解：(1)BD＝CE；BE2＋CE2＝EA2；【解法提示】∵∠ABC＝∠ADE＝α＝60°，DA＝DE，BA＝BC，∴△ADE,△ABC是等边三角形，∴∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠EAC，DA＝EA，BA＝AC，20∴△DAB≌△EAC，BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，∴∠DBA＋∠ABE＝∠ECA＋∠ABE＝90°，BD2＋BE2＝DE2.∵△ADE是等边三角形，DE＝AE，BD2＋BE2＝AE2即EC2＋EB2＝EA2.(2)12CE2＋BE2＝12AE2；理由如下：∵∠ADE＝∠ABC＝90°，∴∠DAE＝∠BAC＝45°，AE＝2AD，AC＝2AB，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC，BDAD1∴∠DBA＝∠ECA，CE＝AE＝2，∴∠DBE＝90°，∴BD2＋BE2＝DE2，即(22CE)2＋BE2＝(22AE)2，则12CE2＋BE2＝12AE2；(3)2.【解法提示】如解图，21第8题解图∵∠EBC＋∠EBA＝90°，∴∠EBC＝∠ECA，∴∠EBC＋∠ECB＝∠ECA＋∠ECB＝∠BCA＝45°，∵点D，E，C在一条直线上，∴∠BED＝45°，∵∠DBE＝90°，∴∠BDE＝45°，∴BD＝BE，设BD＝x，则DE＝CE＝AD＝2x，在Rt△ADC中，AC＝2BC＝210，AD2＋CD2＝AC2，即(2x)2＋(22x)2＝(210)2，解得x＝2或x＝－2(舍)．11则S△BDE＝2BD·BE＝2×2×2＝2.9．已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G.(1)如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF.求证：DE·CD＝CF·AD；(2)如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得DE·CD＝CF·AD成立？并证明你的结论；(3)如图③，若BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接DE写出CF的值．22第9题图(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE＋∠CFD＝90°，∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，DEAD∴CF＝CD，∴DE·CD＝CF·AD；(2)解：当∠B＋∠EGC＝180°时，DE·CD＝CF·AD成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，∴∠B＋∠A＝180°，∵∠B＋∠EGC＝180°，∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，∵∠FDG＝∠EDA，23DFDE∴△DFG∽△DEA，∴DG＝DA，∵∠B＝∠ADC，∠B＋∠EGC＝180°，∠EGC＋∠DGC＝180°，∴∠CGD＝∠CDF，DFCF∵∠GCD＝∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴DG＝CD，DFDEDFCF∵DG＝DA，DG＝CD，∴DE·CD＝CF·AD，即当∠B＋∠EGC＝180°时，DE·CD＝CF·AD成立；DE25(3)解：CF＝24.【解法提示】如解图，过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，第9题解图∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD.∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，AM＝CN，AN＝CM，AD＝CD在△BAD和△BCD中，AB＝BC，BD＝BD∴△BAD≌△BCD(SSS)，24∴∠BCD＝∠A＝90°，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∵∠ABC＋∠CBM＝180°，∴∠MBC＝∠ADC，∵∠CND＝∠M＝90°，∴△BCM∽△DCN，CMBC∴CN＝CD，CM3∴x＝4，3∴CM＝4x，在Rt△CMB中，CM＝3，＝AM－＝－，由勾股定理得：2＋CM24xBMABx3BM＝BC2，396∴(x－3)2＋(4x)2＝32，解得x＝0(舍去)，x＝25，96∴CN＝25，∵∠A＝∠FGD＝90°，∴∠AED＋∠AFG＝180°，∵∠AFG＋∠NFC＝180°，∴∠AED＝∠CFN，∵∠A＝∠CNF＝90°，∴△AED∽△NFC，25DEAD425∴＝＝＝.CFCN962425已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在BC、AC边上，连接BE、AD交于点P.设AC＝kBD，CD＝kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：(1)如图①，若k＝1，则∠APE的度数为；(2)如图②，若k＝3，试问(1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数；(3)如图③，若k＝3，且D、E分别在CB、CA的延长线上，(2)中的结论是否成立，请说明理由．第10题图解：(1)45°；(2)(1)中的结论不成立，理由如下：作AF∥CB，BF∥AD，AF、BF相交于点F，连接EF，交AD于点H，如解图①，∵AF∥CB，BF∥AD，26第10题解图①∴∠FBE＝∠APE，∠FAC＝∠C＝90°，四边形ADBF是平行四边形．由题意知AC＝3BD，CD＝3AE，ACCDBD＝AE＝3，又∵BD＝AF，ACCD∴AF＝AE＝3，又∵∠FAC＝∠C＝90°，∴△FAE∽△ACD，ACADBF∴AF＝EF＝EF＝3，∠FEA＝∠ADC，又∵∠ADC＋∠CAD＝90°，∴∠FEA＋∠CAD＝90°＝∠EHD，∵AD∥BF，∴∠EFB＝90°，EF3在Rt△EFB中，tan∠FBE＝BF＝3，∴∠FBE＝30°，∴∠APE＝30°，∴(1)中结论不成立；(3)(2)中的结论成立，其理由如下：如解图②，作EH∥CD，DH∥BE，DH、EH相交于点H，连接AH，27第10题解图②EH∥CD，DH∥BE，∴∠APE＝∠ADH，∠HEC＝∠C＝90°，四边形EBDH是平行四边形，BE＝DH，EH＝BD，由题意知AC＝3BD，CD＝3AE，ACCD∴BD＝AE＝3，又∵BD＝EH，ACCD∴EH＝AE＝3，又∵∠HEA＝∠C＝90°，∴△ACD∽△HEA，ADAC∴AH＝EH＝3，∠ADC＝∠HAE，∠CAD＋∠ADC＝90°，∴∠HAE＋∠CAD＝90°，∴∠HAD＝90°，AH3在Rt△DAH中，tan∠ADH＝AD＝3，∴∠ADH＝30°，∴∠APE＝30°.28