chapter 4 压电效应

*第二部分压电效应与压电方程PiezoelectriceffectPiezoelectricequations*压电效应的基本现象压电常数的引入石英晶体的压电效应钛酸钡晶体的对称性与压电性压电常数与对称性确定独立压电常数的数目主要内容*压电性质反映了晶体介电特性和弹性特性之间的相互耦合。压电晶体的特点：具有压电效应。铁电晶体——特指压电晶体中具有自发式极化且自发极化方向能随外施电场方向的改变而转向的一类晶体。描述晶体的介电特性：用介电常数(极化率)描述晶体的弹性特性：用弹性常数*描述压电晶体的压电性质：用压电常数压电常数(压电系数)是表征压电体的弹性效应和极化效应相互耦合关系的宏观物理量。授课思路认识正、逆压电效应了解压电晶体正、逆压电效应的表示 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 了解晶体对称性与压电常数的关系*§4-1压电效应的基本现象通俗来说:压电效应是指 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 在压力作用下产生电信号的效应;或者在电场作用下,材料发生机械形变的现象。压电效应有严格的定义，上述说法只是一个简单直观描述。压电效应由压电方程描写；材料的压电性由压电常数决定。*1.压电效应的概念可分为正压电效应和逆压电效应某些介电体在机械力作用下发生形变，使介电体内部正负电荷中心相对位移而发生极化，以致晶体两端表面出现符号相反的束缚电荷，其电荷密度与应力成正比。这种由“压力”产生“电”的现象——称为正压电效应。*如果将具有压电效应的介电体(压电晶体)置于外电场中，电场作用使介电晶体内部正负电荷中心位移，而这一位移导致晶体产生形变。这种由“电”产生“机械变形”的现象——逆压电效应。实线代表晶片形变前的情况虚线代表晶片形变后的情况*2.什么样的晶体才具有压电效应？晶体的介电常数、弹性常数与晶体的对称性密切相关。同样，压电常数与晶体的对称性也密切相关。因此不是从压电晶体上随意切下一块晶片，就能做压电元件，而是要根据该压电晶体的压电常数来 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 晶片的切割。*晶体是否具有压电效应是由晶体本身结构决定的。实验证明，凡是具有对称中心的晶体，都不可能具有压电效应。因为压电效应是当压电晶体受到外力作用下而发生形变时引起带电粒子的相对位移(偏离平衡位置)，从而使晶体的总电矩发生改变，造成在它的某些表面上出现与外力成线性比例的电荷积累。所以，具有对称中心的晶体受外力作用后内部发生均匀形变，外力作用并不能破坏正负电荷中心对称的排列形式，即外力作用并不能使这一类晶体的正负电荷重心之间发生不对称的相对位移，也就无法使之极化，故没有压电效应。*①以一维点阵为例应变前，质点等间距对称排列应变后，质点间距离增大，但质点排列仍然是等间隔的对称排列，所以不产生电矩，无压电效应。*②石英晶体的压电效应以—石英晶体为例：因为在1880年法国的居里兄弟就发现了—石英晶体的压电效应，是最早发现的压电晶体，也是目前最好的和最重要的压电晶体之一。α-石英是历史悠久、性能稳定、应用相当广泛的一种压电晶体。在通信、导航、广播、时间 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 、频率标准、超声水声以及医疗卫生等电子设备中，都有压电石英器件。—石英晶体的最大特点是：性能稳定，频率温度系数低(可做到频率温度系数接近于零)，在通讯技术中有广泛地应用。*硅原子和氧原子在z平面上的投影位置，以及由于在x方向上受到压力或张力作用时，产生正压电效应的示意图α－石英晶体(SiO2)能产生压电效应，是与石英晶体内部结构分不开的。组成α—石英晶体的硅离子Si4+与氧离子O2-在垂直于晶体z轴的xy平面(或称为z平面)上的投影位置。*当晶体未受力的作用时，Si与O离子在xy平面上的投影，正好分布在六角形的角顶点上，这时由Si与O所形成的电偶极矩大小相等，相互间夹角为120°。由于这些电偶极矩的矢量和等于零，因此晶体表面不出现电荷。当晶体受到沿x方向的压力作用时，晶体在x方向被压缩，这时由Si与O所形成的电偶极矩大小不等，相互间的夹角也不等于120°，因此这些偶极矩在y方向的分量和等于零，而在x方向的分量和不等于零，所以晶体在x面上出现电荷。即晶体在x方向出现压电效应。同理，当晶体在x方向受到张力F作用时，晶体在x方向被拉伸，这时电偶极矩在y方向的分量和仍然等于零，而在x方向的分量和不等于零，所以晶体在x面上出现电荷。即晶体在x方向同样出现压电效应。*③逆压电效应1881年，根据能量守恒和电学守恒，用热力学的方法证明，具有正压电效应的晶体，也一定具有逆压电效应，二者一一对应。如果将压电晶体置于外电场中，由于电场的作用，引起晶胞中正负电荷重心位移，形成新的电矩，使晶胞参数发生改变，使压电晶体发生形变(宏观上表现为晶体外形尺寸的变化)，而形变的大小与外电场的大小成正比，当电场撤除后，形变也消失了。这种由于电场的作用而使压电晶体产生形变的现象，称为逆压电效应。*具有对称中心的电偶极矩分布具有对称中心的晶体是非压电晶体。如果具有对称中心的晶体在某一方向上存在电偶极矩，则根据对称中心的对称要求，也必定存在大小相等、方向相反的电偶极矩。如图，这些一对对大小相等、方向相反的电偶极矩彼此抵消，对总极化无贡献。*晶体的任何形变也不能改变这个中心对称性质。所以，凡具有对称中心的晶体，肯定是非压电晶体。七大晶系32类点群中，有21类不存在对称中心，而这21类无对称中心的晶体中，除432点群的晶体虽无对称中心，但退化而没有压电效应外，其余20类无中心对称的晶体具有压电效应。分别是：1、m、2、mm2、222、4、4、4mm、4m2、422、3、3m、32、6、6、6mm、6m2、622、23、43m具有压电性，需满足二要素：无对称中心；离子型晶体或由离子团组成的分子晶体**电介质材料压电材料热释电材料铁电材料压电陶瓷材料电介质材料之间的关系*3.逆压电效应与电致伸缩的比较压电晶体在外电场的作用下，会使晶体发生形变的现象，称为逆压电现象。任何介质在电场中，由于诱导极化的作用，都会引起介质的形变。这种形变与逆压电效应所引起的形变是有区别的：电介质的形变主要从二方面考虑：一方面电介质可能受外力作用而引起弹性形变；另一方面电介质可能受外电场的极化作用而产生形变。由于诱导极化作用而产生的形变与外电场的平方成正比，这就是所谓电致伸缩效应。它所产生的形变与外电场的方向无关。逆压电效应所产生的形变与外电场成正比关系，而且当电场反向时，形变也发生变化（如原来伸长可变为缩短，或者原来缩短可变为伸长）。电致伸缩效应在所有的电介质中都具有，不论是非压电晶体还是压电晶体；而逆压电效应只有在压电晶体中才具有，即只出现在无对称中心的晶体中。压电晶体常在小信号下应用，与压电效应相比，一般状况下，可以把很弱的电致伸缩效应忽略。而对于一些高介电性的压电材料，则需要考虑。*4.压电陶瓷——具有压电效应的陶瓷铁电晶体在居里点以下的温度时具有自发极化现象，而铁电陶瓷经过极化处理后，由于存在剩余极化强度，而有宏观电矩，所以在陶瓷两端表面有一定数量相等、符号相反的束缚电荷，但是由于这些束缚电荷所形成的电场，吸引了周围空间和材料内部某些自由带电质点，从而形成一个表面电荷层，对外呈电中性。当压电陶瓷受到一个与极化方向平行的压力F，则在极化方向产生压缩形变，同时，材料内部由于极化轴方向受到压缩，使电矩减小极化强度减弱，有一部分原来被吸附的自由电荷被释放出去；当压力撤除后，陶瓷片复原，片内极化强度变大，表面吸附的电荷又增大到原值，这样出现充电现象，即正压电效应。*当在压电陶瓷片上施加一个与极化方向相同的电场，由于E∥P，强化了陶瓷片的极化强度，使陶瓷片沿极化方向伸长；类似若电场方向与极化方向相反，则陶瓷片沿极化方向缩短，这样由电效应变为机械效应，即逆压电效应。*§4-2压电材料的压电常数一、压电晶体的压电效应、压电常数—石英晶体简介属于三方晶系32点群。*光轴电轴机械轴在坐标系o-xyz中，z轴与天然石英晶体的上、下顶角连线重合(即与晶体的C轴重合)。因为光线沿z轴通过石英晶体时不产生双折射，故称z轴为石英晶体的光轴。x轴与石英晶体横截面上的对角线重合(即与晶体的a轴重合)，因为沿x方向对晶体施加压力时，产生的压电效应最显著，故称x轴为石英晶体的电轴。x轴与z轴的方向确定后，y轴方向也就确定了。y轴与石英晶体横截面对边的中点连线重合，由于沿此方向施加应力产生最大形变但不产生此方向的压电效应，常称y轴为机械轴。*2.—石英晶体的正压电效应的矩阵表达在晶体x轴垂直的方向上，切下一块薄晶片，晶片面与x轴垂直，如图b，称为x切割。更详细的说法：如果晶片的厚度沿x轴方向，长度沿y方向，则称为xy切割。该晶片的长度为l，宽度为lw，厚度为lt，与x轴垂直的二个晶面上涂上电极，并与冲击电流计连接(测量电量用)，如图c。*现分别进行如下实验:(1)当晶片受到沿x轴方向的力Fx作用时，通过冲击电流计，可测出在x轴方向电极面上的电荷量q(1)1。并发现x轴方向电极面上的电荷密度(q(1)1/llw)的大小与x轴方向单位面积上的力(Fx/llw)成正比，即因为(q(1)1/llw)是极化强度分量P(1)1；(Fx/llw）为x方向的应力T1，于是得到:*现分别进行如下实验(4-1)式中，P(1)1为晶片只受到x方向的应力T1作用时，在x方向产生的极化强度分量，比例系数d11称为压电常数。(2)当晶片受到沿y方向的力Fy作用(T2)时，通过冲击电流计，可测出在x轴方向电极面上的电荷q(2)1，发现x方向电极面上的电荷密度(q(2)1/llw)的大小与y方向单位面积上的力(Fy/lwlt)成正比，因为(q(2)1/llw)是极化强度分量P(2)1。*(Fy/lwlt)为y方向的应力T2，于是有：式中，P(2)1为晶片只受到y方向的应力T2作用时，在x方向产生的极化强度分量，比例系数d12称为压电常数。实验中还发现当T1=T2时，存在P(2)1=-P(1)1，由此可得d11=-d12，即石英晶体的压电常数d12的大小等于压电常数d11的负值。**-石英晶体的硅原子和氧原子形成的电偶极矩在xy平面上的分布*（3）当晶片受到沿z方向的力Fz作用(T3)时，通过冲击电流计，发现x方向电极面上不产生电荷。即有(4-3)因为T30，故压电常数d13=0。由此可见，对于x切割的石英晶片，当z方向受到应力T3的作用时，在x方向并不产生压电效应。*(4)当晶片受到切应力T4作用时，通过冲击电流计，可测出在x方向电极面上的面电荷密度(q(4)1/llw)=P(4)1，并发现P(4)1与T4成正比，于是(4-4)式中，P(4)1为晶片只受切应力T4作用时，在x方向产生的极化强度分量，比例系数d14称为压电常数。*在T4作用下，x方向的电偶极矩不为零*(5)当晶片受到切应力T5或T6作用时，通过冲击电流计，发现x方向电极面上均不产生电荷，于是有(4-5)因为T50，T60，故压电常数d15=0，d16=0，由此可见，对于x切割的石英晶片，当受到切应力T5或T6的作用时，在x方向并不产生压电效应。*综合上述实验结果得到：(1)选x方向为电极面，当电场E=0时，应力张量T对x方向的极化强度分量P1的贡献为：（4-6）(2)当选y方向为电极面，重复上述实验，当电场E=0时，应力张量T对y方向的极化强度分量P2的贡献为：（4-7）即石英晶体的压电常数d25=-d14，d26=-2d11。*(3)当选z方向为电极面，重复上述实验，当电场E=0时，应力张量T在z面上不产生电荷，对z方向的极化强度分量P3的贡献为：（4-8）根据(4-6)、(4-7)及(4-8)式的结果，可得到石英晶体正压电效应的矩阵表示式：(4-9)*在压电物理中，常用电位移D代替极化强度P，当电场E=0时，D=0E+P=P，电位移的三个分量：D1=P1，D2=P2，D3=P3。将上述关系代入(4-9)式，即得到用电位移分量与应力分量表示的石英晶体正压电效应的矩阵表示式：足标E表示电场强度E=0。(4-10)*从以上两式可以看出：(1)对于石英晶体不是在任何方向上都存在压电效应，只有在某些方向上，在某些力的作用下，才能出现正压电效应。例如，在石英晶体的x方向，只有在T1、T2、T4作用时，才能在x方向产生压电效应，而T3、T5、T6不能在x方向产生压电效应。在石英晶体的z方向，不论在什么方向作用多大的力，都不能在z方向产生压电效应。(2)石英晶体的独立压电常数只有d11与d14两个，其数值分别是：d11=-2.3110-12库仑/牛顿d14=0.7310-12库仑/牛顿*对于一般情况，例如属于三斜晶系1(C1)点群的压电晶体是完全各向异性的，独立的压电常数共有18个，用矩阵表示为：(4-11)可见压电常数d的矩阵形式是一个三行六列矩阵，即d是一个三级张量。*一般情况下正压电效应的表示式：或简写为：或：(4-14)*3.-石英晶体逆压电效应的矩阵表达当晶体受到电场E的作用时，晶体产生畸变，这个现象称为逆压电效应。逆压电效应的产生是由于压电晶体受到电场的作用时，在晶体内部产生应力，这个应力常称为压电应力。通过压电应力的作用，产生压电形变。仍以石英晶体为例说明。*选用石英晶体的x切割晶片，以x面为电极面。(1)当晶片只受到x方向的电场分量E1作用(应力张量T=0)时，分别在x方向和y方向产生应变S1、S2及切应变S4，这些应变分别与E1成正比，即下标T表示应力张量T=0。*（2）以y面为电极面，当晶片只受到y方向的电场分量E2作用时，分别产生切应变S5和S6，这些切应变分别与E2成正比，即（3）以z面为电极面，晶片只受到z方向的电场分量E3作用时，晶片不产生任何形变。*综合上述结果，得到石英晶体逆压电效应的矩阵表示式：从上式可以看出：(1)对于石英晶体不是在任何方向上都存在逆压电效应，只有在某些方向，在某些电场作用下，才能产生逆压电效应。例如，当x方向电场分量E1作用时，可产生压电形变S1和S2以及压电切应变S4；而当z方向电场分量E3作用时，晶体不会产生任何形变。*（2）逆压电常数与正压电常数相同，并且一一对应。（3）有正压电效应即有相应的逆压电效应。晶体中哪个方向上有正压电效应，则此方向上一定存在逆压电效应。*对于一般情况，例如三斜晶系中的压电晶体，其逆压电效应的矩阵表示为：*将正压电效应方程式与逆压电效应方程式比较，可见逆压电效应表示式中的压电常数矩阵是正压电常数矩阵d的转置矩阵。常用dt表示。dt是一个六行三列的矩阵，于是逆压电效应方程式可简写为：(4-17)或*4.压电常数dni的意义压电晶体与其它晶体的主要区别在于压电晶体的介电性质与弹性性质之间存在耦合关系，而压电常数就是反映这种耦合关系的物理量。由(4-17)式可得，dni=(Si/En)T，表示在应力T为零时（或T为常数时），由于电场强度分量En的改变引起应变分量Si的改变与电场强度分量En的改变之比。即当T为零或恒定时，单位场强改变所引起的应变。或者说dni为应力为零时，压电晶体的应变分量Si随电场强度分量En的变化率。*由(4-14)式可得，dmj=(Dm/Tj)E，表示在电场强度为零时(或E为常数时)，由于应力分量Tj的改变引起电位移分量Dm的改变与应力分量Tj的改变之比。或者说dmj为电场强度为零时，压电晶体的电位移分量Dm随应力分量Tj的变化率。即在场强为零时(或E为常数时)，单位应力变化所引起电位移的变化。实验上常根据dmj=(Dm/Tj)E来测量压电晶体的压电常数dmj。*二、压电陶瓷的压电效应和压电常数1.压电陶瓷是多晶体压电陶瓷与有极性的压电单晶都是压电晶体，但是在晶格取向上有很大不同。一般来说，有极性的压电单晶各部分的晶格取向相同，而压电陶瓷各部分的晶格取向不同，因为压电陶瓷是由一颗颗的小晶粒无规则“镶嵌”而成。单看一个小晶粒，小晶粒内的原子(分子或离子)与有极性压电单晶一样，是有规则排列的；即小晶粒内的原子在空间的排列是周期性重复的。*每个小晶粒内的原子都是有规则的排列，但这一晶粒与那一晶粒的晶格取向则不一定相同，因而从整体来看，仍是混乱的、无规则的。人们称类似这样的结构为多晶体，由于其工艺与普通陶瓷相似，人们称其为压电陶瓷。*2.压电陶瓷的极化工序在压电陶瓷的生产中，极化工序的作用，就是在陶瓷上加一个足够高的直流电场，迫使陶瓷内部的电畴转向，或者使自发极化作定向排列。在极化工序处理以前，各晶粒内存在许多自发极化方向不同的电畴，陶瓷的极化强度为零。在极化工序处理后，外电场等于零时，陶瓷的极化强度不再为零，此时的极化强度为剩余极化强度。*(a)(b)(c)(a)极化处理前为多电畴晶粒，陶瓷内部极化强度为零(b)极化处理过程中，晶粒可以形成单畴，即自发极化的方向沿电场方向有序排列(c)极化处理后，陶瓷内部存在剩余极化强度*3.压电陶瓷的正压电效应表示式制作三个大小相同的长方体陶瓷样品，经极化工序处理后，令极化方向为3方向。样品Ⅰ保留原来与3方向垂直的电极面，样品Ⅱ上设置与2方向垂直的电极面，样品Ⅲ上设置与1方向垂直的电极面。三个样品的电极面在不同方向上，电极面分别接上灵敏电流计，观察电流计指针的偏转情况，从而确定压电陶瓷在哪个方向上能够产生压电效应。*⑴样品分别受T1、T2、T3伸缩应力的作用在上述三个样品中，分别沿1方向施加压力F1，将使样品在1方向压缩，2方向和3方向伸长。实验中，与样品Ⅰ连接的电流计指针偏转，而样品Ⅱ和样品Ⅲ连接的电流计指针不偏转。表明，在压力(或拉力)F1的作用下，只能产生沿3方向的压电效应。*若以压力F1的作用面为A1，在3方向的电极面面积A上所产生的电荷为q3，有如下关系式：其中，d31称为压电常数，它反映了压电晶体的压电性质，其第一个角标表示电效应方向，第二个角标表示机械效应方向。q3/A等于单位面积上的电荷，即面电荷密度，常用σ’3表示。F1/A1等于单位面积上的作用力(即伸缩应力)，常用T1表示。上式变为：*若在三个样品上，分别沿2方向施加伸缩应力T2，或沿3方向施加伸缩应力T3，实验结果与前面一样，也是只有与样品Ⅰ连接的电流计指针偏转。这表明在伸缩应力T2和T3的作用下，仅能产生3方向的压电效应。当T2和T3不太大时，可得到：式中d32=d31，与d33都是压电常数。如果样品同时受到T1,T2,T3的作用，则电荷密度σ3与T1,T2,T3的关系为：*为什么在伸缩应力T1,T2,T3的作用下，只能产生沿3方向的压电效应呢？压电陶瓷的压电效应，取决于应力施加前后陶瓷的极化状态是否有变化。哪个方向上极化状态发生变化，哪个方向就有压电效应；哪个方向上极化状态保持不变，哪个方向就不产生压电效应。样品的极化方向与3方向平行，只有3方向产生伸缩形变时，才能改变3方向的极化状态。通过实验可知，在伸缩应力T1,T2,T3的作用下，可以使样品沿3方向产生伸缩形变，因而只能产生沿3方向的压电效应。伸缩应力T1,T2,T3都不能改变1、2方向极化强度为零的状态，因此不能在1、2面上产生电位移，即D1,D2均为零，而T1,T2,T3不能为零，所以d11,d12,d13,d21,d22,d23均应为零。*⑵样品受切应力的作用切应力与伸缩应力不同：伸缩应力与作用面垂直，而切应力与作用面平行；伸缩应力能使压电陶瓷产生伸长和缩短形变，而切应力只能使压电陶瓷发生剪切应变。当三个样品分别受到切应力T5的作用时，A2面所产生的切应变(切变)如图。实验表明，只有与样品Ⅲ连接的电流计指针偏转。这表明在切应力T5的作用下，仅能产生沿1方向的压电效应。在T5不太大时，有关系式：式中d15称为压电常数。*在T5作用下，压电陶瓷片因为切变而使沿3方向的极化强度P3向1方向偏转成P，因而使1方向出现极化强度分量P1，改变了切变前1方向极化强度为零的状态，因而在1方向产生压电效应。在1方向产生的电位移D1与T5成正比。由于T5并没有改变2方向极化为零的状态，而3方向的极化强度大小在切变前后没有变化，所以2、3方向上都不产生压电效应，即d25=0，d35=0。*同样，在切应力T4的作用下，只有样品Ⅱ的电流计偏转，得到：式中d24=d15称为压电常数。由于T4的作用，陶瓷片在产生切变的同时，使沿3方向的极化强度P3向2方向偏转成P，因而使2方向出现极化强度分量P2，改变了切变前2方向极化强度为零的状态，在2方向产生压电效应。由于T4并没有改变1方向极化为零的状态，而3方向的极化强度大小在切变前后没有变化，所以1、3方向上都不产生压电效应，即d14，d34均为零。*在切应力T6作用下，各个电流计指针都不能产生偏转。切应力T6作用面是由方向1和方向2决定的面，对于以3方向为极化轴的压电陶瓷来说，切应力T6对三个方向极化状态的改变都没有贡献，不能使A3面上的极化强度发生任何变化，所以在三个方向都不产生压电效应。即d16,d26,d36都等于零。*为什么在切应力T5(或T4)的作用下，仅能产生沿1方向(或2方向)的压电效应呢？而在切应力T6的作用下，任何方向都不能产生压电效应呢？其原因是在T5(或T4)的作用下，A2面(或A1面)产生切变的同时，沿3方向的极化强度会向1方向(或2方向)偏转，如图。切变前1方向(或2方向)无极化，切变后1方向(或2方向)出现了极化分量，改变了1方向(或2方向)的极化状态，所以沿1方向(或2方向)产生了压电效应。T6不能使A3面上的极化强度发生任何变化，故不产生压电效应。*综上所述，压电陶瓷的正压电效应表示式：习惯上常用电位移D代替面电荷密度σ,在SI单位制中有：因此正压电效应表示式可写为：式中物理量的单位：电位移D为库仑/米2；应力T为牛顿/米2；压电常数d为库仑/牛顿或米/伏。*压电陶瓷正压电效应的矩阵形式为：可见，压电陶瓷不是在任何方向都存在压电效应，只有在某些方向在某些作用力的作用下，才能产生正压电效应。产生正压电效应的原因，是由于作用力引起极化强度的变化而造成的。*压电常数写成矩阵形式：*4.压电陶瓷的逆压电效应表示式对极化方向为3的压电陶瓷片施加电场E3时，由于改变了3方向的极化状态，陶瓷片就会产生伸缩形变。设陶瓷片1、2、3方向的长度分别为L、Lw、Lt，伸长(或缩短量)分别为△L、△Lw、△Lt，则有：当E3不大时，应变S与E3成正比，即式中d31、d32、d33称为压电常数，有d31=d32。*在压电陶瓷片的A2面(即2方向垂直的面)上设电极，并施加电场E2，由于E2作用使沿3方向的极化强度P3向2方向偏转成P，因而使2方向出现极化强度分量P2，引起A1面(与1方向垂直的面)切变，用S4表示。当E2不大时，切应变S4与外电场E2成正比，有：*类似地，沿A1面施加电场E1时，也会引起A2面切变。式中d24、d15为压电常数，有d15=d24。综上所述，压电陶瓷的逆压电效应表示式：∴压电陶瓷独立的压电常数只有d31、d33、d15三个。*压电陶瓷逆压电效应的矩阵表示由此可见，压电陶瓷不是在任何方向都有逆压电效应，只有在某些电场分量的作用下，才能产生逆压电效应。产生逆压电效应的原因，可类似从正压电效应的结果推出。同时，压电陶瓷在哪个方向上有正压电效应，在此方向上一定存在逆压电效应，并且逆压电效应的压电常数与正压电效应的压电常数相同，且一一对应。*5.压电常数中足标的含义足标的第一个数字是指电极面的垂直方向或电场方向第二个数字是指应力或应变的编号例如：压电常数d31表示在应力T1作用下，在垂直于3方向的电极面上产生电位移；或者是在3方向电场作用下，产生应变S1。课堂思考：压电常数d15和d33的含义*§4-3压电常数与对称性与介电常数和弹性常数一样，晶体的压电常数也与晶体的对称性密切相关。对称性不同的晶体，不仅压电常数的数值不同，而且独立的压电常数也不同。主要内容是掌握根据不同类型的压电晶体的对称性，来确定它的压电效应和压电常数。先介绍晶体的对称性与电偶极矩分布；其次以钛酸钡(BT)晶体和一石英晶体为例做进一步的 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讨论。由于形变能改变压电晶体的极化状态，而极化现象又直接与晶体内的电偶极矩的分布有关，因此，可以通过分析晶体对称性与晶体内部的电偶极矩分布的关系，来讨论晶体的对称性和压电常数的情况。*1.晶体的对称性与电偶极矩分布⑴对称中心如果具有对称中心的晶体在某一方向上存在电偶极矩，则根据对称中心的对称要求，其它各个方向上也必定存在大小相等、方向相反的电偶极矩，这些一对对大小相等、方向相反的电偶极矩彼此抵消，晶体的任何形变都不能改变这种中心对称的现状，对总极化无贡献。具有对称中心的晶体是非压电晶体。*凡具有对称中心的晶体，肯定是非压电晶体。七大晶系32类点群中，有21类不存在对称中心，而这21类无对称中心的晶体中，除432点群的晶体虽无对称中心，但退化而没有压电效应外，其余20类无中心对称的晶体具有压电效应。分别是：1、m、2、mm2、222、4、4、4mm、4m2、422、3、3m、32、6、6、6mm、6m2、622、23、43m*⑵对称面设x面为对称面，根据对称面的对称性要求，当晶体的坐标由x-x、yy、zz时，晶体的性质应保持不变。例如x方向，存在一个电偶极矩Px，则在对称面的另一侧-x方向，也一定存在一个大小相等、方向相反的电偶极矩P’x，才能满足x面是对称面的对称性要求。*具有对称面的电偶极矩分布可见在垂直于对称面的方向上，电偶极矩的矢量和等于零。但是，在平行于对称面的方向上情况可不一样。在平行于对称面方向上可以存在不等于零的电偶极矩，(这与对称面的对称性要求并不矛盾)，即与对称面平行的电偶极矩P可以不等于零。*⑶四阶轴设z轴为四阶轴，根据四阶轴的对称性要求:当晶体绕z轴转90后，xy，y-x；当晶体绕z轴转180后，x-x，y-y；当晶体绕z轴转270后，x-y，yx。晶体经过上述转动后，晶体的性质应保持不变。如果在x方向存在电偶极矩P，则在y方向、-y方向和-x方向上，也一定存在大小相等、方向相反的电偶极矩P’、P’’和P’’’。*P’P’’’P’’P具有四阶轴的电偶极矩分布这样才能满足z轴是四阶轴的对称性要求。所以在x方向和y方向的电偶极矩矢量和等于零。而z轴的情况与x轴和y轴不一样，在z轴方向上，可以存在不等于零的电偶极矩(这与z轴是四阶轴的对称性要求不矛盾)。所以净电偶极矩只能分布在与四阶轴(z轴)平行的方向上，即与四阶轴平行的电偶极矩可以不等于零。*⑷其它二阶轴、三阶轴、六阶轴的情况与四阶轴情况类似，即与二阶轴、三阶轴、六阶轴平行的方向上电偶极矩可以不等于零。如果晶体同时存在对称面和某阶轴，则须结合对称面和某阶轴的对称性要求，综合分析讨论。*2.钛酸钡晶体的对称性与压电性1942年发现钛酸钡陶瓷具有压电性后，1947年成功制备钛酸钡单晶。钛酸钡是具有压电效应的铁电体，是继—石英晶体之后发现的另一类重要的具有广泛应用的压电材料。它的发现和发展，在理论上和应用上都起了促进作用。室温时，钛酸钡晶体的原胞是一个长方体，钡离子Ba2+位于长方体的八个角上，氧离子O2-位于长方体六个面的面心，钛离子Ti4+则位于长方体的中心之上(或之下)的某一位置。*钛酸钡晶体的晶胞，钡离子，氧离子，钛离子，晶胞参数a=b,c>a因为正负电荷中心不重合，所以存在一个与c轴平行的电偶极矩，即钛酸钡晶体存在自发极化，c轴就是极化轴。这一点是钛酸钡晶体与—石英晶体不同之处。石英晶体有压电效应，但无自发极化，所以它是压电晶体。而钛酸钡晶体具有自发极化，又有压电效应，所以钛酸钡晶体被称为铁电晶体。*钛酸钡晶体属于四方晶系4mm点群，z轴是四阶轴(z轴与c轴平行)，x面和y面(即yz平面和zx平面)是对称面。根据z轴是四阶轴的要求，只有与z轴平行的方向上，可以存在不为零的电偶极矩；又根据x面、y面是对称面的对称性要求，只有x面与y面的交线平行方向上，可以存在不等于零的电偶极矩。*BT晶体的z轴是四阶轴，x面、y面是对称面时的电偶极矩分布因为x面与y面的交线正好与z轴重合，可见只有在z轴方向，可以存在不等于零的电偶极矩，在x轴方向和y轴方向的电偶极矩等于零。就是说属于4mm点群的晶体的对称性所得到的结论，与从钛酸钡晶胞结构所得到的结论完全一致。即在z轴方向可以存在自发极化，而x轴和y轴方向的电偶极矩等于零。*知道了钛酸钡晶体的电偶极矩的分布后，就可以进一步讨论钛酸钡晶体的压电效应与压电常数。当晶体分别受到应力T1、T2或T3的作用时，晶体在x、y和z方向都会产生伸长或缩短的形变，因为z方向存在电偶极矩，z方向的伸缩形变要改变这个电偶极矩的大小，因而在z方向产生压电效应，这就要求钛酸钡晶体的压电常数：d310，d320，d330*由于z轴是四阶轴，x、y可以互换而不改变晶体的性质，故有：d31=d32。又因为应力T1、T2或T3的作用产生x方向和y方向的伸缩应变，不能改变x方向和y方向电偶极矩等于零的状态，所以在x和y方向不出现压电效应，这就表明钛酸钡晶体的压电常数：d11=d12=d13=0，d21=d22=d23=0*切应力T4的作用当晶体受到切应力T4的作用时，晶体要产生切应变，使原来与z轴平行的电偶极矩向y方向偏转，其结果是在y方向出现了不等于零的电偶极矩。因而在y方向产生压电效应，这表明钛酸钡的压电常数d240。但是由T4引起的切应变，并没有改变原来x方向和z方向的电偶极矩的状态，即在x方向和z方向不出现压电效应，故压电常数d14=d34=0。*当晶体受到切应力T5作用时，与T4的情况类似。同理可得钛酸钡晶体的压电常数d150，d25=d35=0。由于z轴是四阶轴，x轴和y轴可以互换而不改变晶体的性质，故有d24=d15。当晶体受到T6的作用使xy平面产生切应变，因为xy平面上的电偶极矩为零，这种切变不能改变x方向、y方向电偶极矩为零的状态以及z方向原来的电偶极矩状态，所以在这三个方向都不出现压电效应，故有：d16=d26=d36=0。*最后得到钛酸钡晶体的压电常数的矩阵表示式：可见钛酸钡晶体的独立的压电常数为d15、d31和d33三个：d15=39210-12库仑/牛顿d31=-34.510-12库仑/牛顿d33=85.610-12库仑/牛顿*3.—石英晶体的对称性与压电性—石英晶体(SiO2)能产生压电效应，是与石英晶体内部结构分不开的。组成—石英晶体的硅离子Si4+与氧离子O2-在垂直于晶体z轴的xy平面(或称z平面)上的投影位置,以及在x方向上受到压力或张力作用时，产生正压电效应的示意图。*当晶体未受到力的作用时，Si4+与O2-在xy平面上的投影正好分布在六角形的顶点上，这时由Si4+与O2-所形成的电偶极矩大小相等，相互之间夹角为120。由于这些电偶极矩的矢量和等于零(即晶体的极化强度等于零)，晶体表面不出现电荷。当晶体受到x方向的压力Fx作用时，晶体在x方向被压缩。这时由Si4+与O2-所形成的电偶极矩大小不等，相互之间夹角也不等于120了。由于这些电偶极矩在x方向上的分量和不等于零，在y方向上的分量和仍等于零，所以晶体在x面上出现电荷，即晶体在x方向出现正压电效应。*-石英晶体的硅原子和氧原子形成的电偶极矩分布同理，当晶体在x方向受到张力Fx作用时，晶体在x方向被拉伸，这时电偶极矩在x方向上的分量和也不等于零，在y方向上的分量和仍等于零，所以晶体在x面上出现电荷(电荷的符号与压缩时相反)，即晶体在x方向出现正压电效应。*在了解—石英晶体的压电效应的机制之后，再回过头来讨论—石英晶体的对称性与压电效应之间的关系。—石英晶体属于三方晶系32点群，它的z轴是三阶轴，x轴是二阶轴。当晶体绕x轴转180后，z-z，y-y，但晶体的介电性质、弹性性质和压电性质都保持不变。如果在z轴方向存在电偶极矩，则当晶体绕x轴转180后，电偶极矩的方向就会从+z方向变为-z方向，于是晶体的性质就发生了变化。这是与x轴是二阶轴的对称性要求相违背的，所以在z轴方向上电偶极矩等于零。*而x轴的情况与z轴不一样，在x轴方向上可以存在电偶极矩。因为晶体的x轴是选定与晶体的a轴重合的，当晶体绕z轴转120或240后，x轴与另外两个电偶极矩重合，晶体的性质不会发生任何变化。*由此可见，x轴方向上存在电偶极矩与z轴是三阶轴的对称性要求不矛盾；与x轴是二阶轴的对称性要求也不矛盾。就是说，属于32点群的晶体，在其xy平面内，可以存在三个大小相等，互成120夹角的偶极矩。这是根据32点群晶体的对称性得到的结论。*在伸缩应力T1、T2和T3作用下当晶体受到应力T1或T2作用时，晶体在x方向、y方向和z方向都要产生伸长或缩短的形变。因为z方向的伸缩形变不能改变z方向电偶极矩等于零的状态，所以在z方向不出现压电效应，这就要求—石英晶体的压电常数：d31=0，d32=0。因为x方向的伸缩形变能使P’、P”、P’’’在x方向的分量发生变化（例如形变前P’、P”、P’’’在x方向的分量和等于零，形变后在x方向的分量和不等于零），因而在x方向产生压电效应，这就要求—石英晶体的压电常数：d110，d120。*(由伸缩应力确定其中9个d分量)因为y方向的伸缩形变，不能改变P’、P”、P’’’在y方向的分量和等于零的状态，所以y方向的伸缩形变对压电效应无贡献，这就要求压电常数：d21=0，d22=0。当晶体受到应力T3作用时，晶体在z方向和x、y方向也要产生伸长或缩短的形变，因为z方向的伸缩对压电效应无贡献，故压电常数d33=0。因为T3作用在x、y方向产生相同的伸缩，不能改变原来P’、P”、P’’’的矢量和为零的状态，对压电效应无贡献，故压电常数d13=0，d23=0。*在切应力T4、T5和T6作用下由切应力确定另外9个d分量，可参考第二节内容自学。石英的压电常数为：*4.独立压电常数的数目与介电常数和弹性常数一样，也可以根据晶体的对称性，应用Neumann原则，采用压电常数的足标代换法和坐标变换法确定晶体的独立压电常数的数目。*⑴足标代换法代换时应注意到压电常数是一个三阶张量，压电常数的三足标与双足标的关系为:三足标的第一位与双足标的第一位对应；三足标的后两位与双足标的第二位对应。*4mm点群以4mm点群晶体为例,说明用足标代换法求出的独立压电常数数目的过程。x=0和y=0二个面是对称面，z轴为四阶旋转轴。为了简单,省略了字母d,而只保留了下标。这样压电常数矩阵的一般表示形式为：注意：下标的两个数字表示的意义不同！*①先考虑4度旋转轴的对称操作：在此操作下，xy，y-x，zz，单下标：12，2-1，33，对应的双下标为：(xx,yy,zz,yz,xz,xy)12，21，33，4-5，54，6-6压电常数矩阵变化为：对称性要求→*根据Neumann原则，晶体的压电常数张量经上述对称性操作，其值不会改变。*②再考虑镜面m(y面)的对称操作：在此操作下，xx，y-y，zz，或者：11，2-2，33，对应的双下标为：(xx,yy,zz,yz,xz,xy)11，22，33，4-4，55，6-6在此对称要求下，压电常数矩阵变化为：*③再考虑另一镜面m的对称操作：在此操作下x-x，yy，zz，发现对压电常数矩阵没有影响。因此独立的压电常数共有3个，即：d15,d31,d33。*⑵坐标变化法（了解）压电方程或者：*新旧坐标系电位移的变换：应力的变换：M为应力张量T的变换矩阵*新旧坐标系电场的变换：应变的变换：N为应变张量S的变换矩阵*类似可得M-1与N-1*例如：-石英32点群:2阶轴为x轴，3阶轴为z轴2阶轴的变换矩阵:*变换后，d’=d,新旧坐标系内压电常数分量对应相等，dij=d’ij*由于z(x3)轴为三阶转轴,新旧坐标系选取如图,此时新旧坐标系的变换矩阵为:*-石英(32点群)的压电常数矩阵:*类似可得到LiNbO3和LiTaO3的(点群为3m)的压电常数矩阵形式为：三角晶系3m点群的晶系,x=0的面是对称面,z轴为三阶转轴,根据Neumann原则,晶体的压电常数张量经上述对称性操作,其值不应改变。(变换过程课后练习)*①对于x1=0的对称面,新旧坐标选取如图,新旧坐标系之间的方向余弦矩阵为:代入应变张量矩阵的坐标变换矩阵[N]为：*将坐标变换矩阵代入压电常数在新旧坐标系中的变换式：[d’]=[A][d][N]tx=0面为对称面,新旧坐标系的压电常数矩阵应该相等,即dij’=dij,因此只有下式成立时才能满足d11=d12=d13=d14=d25=d26=d35=d36=0所以压电常数矩阵变成:*②由于z(x3)轴为三阶转轴,新旧坐标系选取如图,其变换矩阵为:*将[A]和[N]t代入[d’’]=[A][d’][N]t,再令[d’’]=[d’],得到*小结压电效应的基本概念压电常数的引入（石英和钛酸钡、压电陶瓷）压电常数与对称性掌握根据压电常数分析材料的正逆压电效应的表达式这一类题型