2.9幂函数、指数函数与对数函数【考纲解读】
要求
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备注
内容
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ABC1．理解有理数指数幂的含义，认识实数指数幂的意义，√指数函数的图象与性质掌握幂的运算．2．认识指数函数的实质背景，理解指数函数的观点，函数概√理解指数函数的单一性，掌握指数函数图像的特色，知念与基对数函数的图象与性质道指数函数是一重要的函数模型．本初等3．理解对数的观点及其运算性质，知道用换底公式能函数Ⅰ将一般对数转变成自然对数或常用对数．4．理解对数函数的观点；理解对数函数的单一性．幂函数√5．认识幂函数的观点．116．联合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x2的图像，认识它们的变化状况．【直击考点】题组一知识题1．[教材改编]假如3x＝4，则x＝________．【分析】由指数式与对数式的互化
规则
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，得x＝log4.32．[教材改编]2log510＋log50.25＝________．【分析】2log510＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.3．[教材改编]函数y＝log2(x2－1)的单一递加区间是________．22【分析】由x－1>0得x<－1或x>1.又函数y＝logx在定义域内是增函数，因此原函数的单一递加区间是(1，＋∞)．题组二常错题4．函数y1x2＝log(2－3＋1)的单一递减区间为________．2x2121【分析】由2x－3x＋1＞0，得x＞1或x＜2，易知u＝2x－3x＋1x>1或x<2在(1，＋∞)上是增函数，因此原函数的单一递减区间为(1，＋∞)．5．设a＝1，＝log98，＝log83，则a，，c的大小关系是________．b5cb4148【分析】a＝4＝log99＝log93
log95＝b，因此c>a>b.题组三常考题51－16．lg2＋2lg2＋5＝________．【分析】原式＝lg5－lg2＋2lg2＋5＝lg5＋lg2＋5＝1＋5＝6.7．设a＝log2，b＝log2，c＝log5，则a，b，c的大小关系是________________．35418．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－x2＋2，若f(x)>f(2x－1)，则x的取值范围为________．【分析】由f(x)＝ln(1＋|x|)－12可知f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，2＋x因此f(x)>f(2x－1)，即f(|x|)>f(|2x－1|)，即|x|>|2x－1|，解得1
清单
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】幂函数的观点、图象与性质常用幂函数的图象与性质y＝xy＝x2y＝x31y＝x－1y＝x2图象定义域RRR[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函奇函数数x∈[0，＋∞)x∈(0，＋∞)时，增；时，减；单一性增增增x∈(－∞，0]x∈(－∞，0)时，减时，减指数函数的观点、图象与性质y＝x>10<<1aaa图像定义域R值域(0，＋∞)过定点(0,1)性质当>0时，y>1；<0时，0<y<1当x>0时，0<<1；<0时，y>1xxyx在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【考点深度分析】与指数函数有关的试题，多数以其性质及图像为依靠，联合推理、运算来解决，常常指数函数与其余函数进行复合，此外底数多含参数、考察分类议论．对于对数的运算近两年高考卷没有独自命题考察，都是联合其余知识点进行．有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有填空题，又有解答题，且综合能力较高．从近几年的新课标高考试题来看，幂函数的内容要求较低，只需求掌握简单幂函数的图像与性质．【要点难点打破】考点1幂函数的观点、图象与性质【1-1】已知函数2－5m－3，m为什么值时，f(x)是幂函数，且在(0，＋∞)上是f(x)＝(m－m－1)x增函数？【答案】m1222的图象不经过原点，则实数m的值为________．【1-2】若幂函数y＝(m－3m＋3)xmm【答案】1或22m－3m＋3＝1，解得m＝1或2.【分析】由2m－m－2≤0经查验m＝1或2都合适.【1-3】设a(2)94,b(4)92,c(4)94，则a，b，c的大小关系是________．999【答案】bca4(4)x是减函数，∴b【分析】∵函数yx9(x0)是增函数，∴ca，又∵函数yc，9∴bca.【思想
方法
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】1.判断一个函数能否为幂函数，只需判断该函数的分析式能否知足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）幂系数为1.2..幂函数y＝xα的图像与性质因为α的值不一样而比较复杂，一般从两个方面考察：(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上涨；α<0时，图像可是原点，在第一象限的图像降落．曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．【温馨提示】在比较幂值的大小时，一定联合幂值的特色，选择合适的函数．借助其单一性进行比较，正确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的要点.考点2指数函数的观点、图象与性质【2-1】若函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a＝________.【答案】3【2-2】设f(x)＝|3xcbbac＋－1|，cf(a)>f(b)，由在关系式①3>3；②3>3；③3ac＋3a.3>2；④3<2中必定建立的是【答案】④【分析】作f(x)＝|3x－1|的图象如下图，由图可知，要使<<且f(c)>(a)>()建立，cbaffb需有c<0且>0，因此3c<1<3a，因此f()＝1－3c，()＝3a－1.又f(c)>f()，所acfaa以1－3c>3a－1，即3a＋3c<2，故填④.【思想方法】指数函数的底数中若含有参数，一般需分类议论．指数函数与其余函数组成的复合函数问题，议论复合函数的单一性是解决这种问题的重要门路之一．求解与指数函数有关的复合函数问题，第一要熟知指数函数的定义域、值域、单一性等有关性质，其次要明确复合函数的组成，波及值域、单一区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最后将问题归纳为内层函数有关的问题加以解决．【温馨提示】一些指数方程、不等式问题的求解，常常联合相应的指数型函数图象利用数形联合求解．考点3对数函数的观点、图象与性质【3-1】已知f()＝log(＋1)(>0且a≠1)，若当x∈(－1，0)时，f()<0，则f(x)在定义xaxax域上单一性是.【答案】增函数【分析】因为x(1,0)，即x1(0,1)时f(x)0，因此a1，因此f(x)在(1,)上是增函数．3-2】已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0且a≠1)．求f(x)的定义域；判断函数f(x)的单一性．【答案】（1）a1时，定义域为(0,)，0a时，定义域为(,0)；（2）a1时，1增函数，0a1时，减函数．【分析】(1)由ax－1>0得ax>1，当a>1时，x>0；当01时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当01时，设01时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数．近似地，当0101时，y>0；当x>1时，y<0；当00【思想方法】利用单一性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不一样底的对数式化为同底的对数式，而后依据单一性来解决．【温馨提示】解决对数型函数、对数型不等式问题,必定要注意定义域优先原则.【易错试题常警惕】由幂函数的函数值大小求参数的范围问题，一般是借助幂函数的单一性进行求解，必定要具体问题详细分析，做到考虑问题全面周祥．如：若a232a21，则a的取值范围是．【分析】由yx2的图象对于y轴对称知，函数yx2在0,上是减函数，在,0上2232a032a032aa10a10是增函数．因为a1，因此或或32aa132aa132a032a02a10或a10，解得1a或a1或a4，因此或a32aa132aa13a的取值范围是,11,24,．3【易错点】此题简单只考虑到a1，32a在同一单一区间的状况，不全面而致误．【练一练】已知幂函数f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N＋)，经过点(2，2)，试确立m的值，并求知足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围。
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