PAGE\*MERGEFORMAT#22.1.2二次函数y=ax^的图象和性质%知识藝点一、二次函数概念:二次函数的概念：一般地，形如y=亦+加+。Sb,c是常数，“工0）的函数•叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数而/八C可以为零.二次函数的世义域是全体实数•2.二次函数y=ax-+hx+c的结构特征:（I）等号左边是函数，右边是关于自变量X的二次式，X的最高次数是2.⑵a,h.c是常数，《是二次项系数，b是一次项系数，r是常数项.二次函数的基本形式L二次函数基本形式：y=ar的性质:a的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质“>0向上(0,0)y轴x>0时，y随X的增大而增大；x<0时，y随X的增大而减小：x=0时，y有最小值0.0Ihf.y随工的增大而减小；x<0时，y随X的增大而增大：兀=0时，y有垠大值0.2.y=av2+c的性质:上加下减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0向上（0,『）y轴x>0时，y随X的增大而增大；x<0时，y随X的增大而减小：x=0时，y有最小值r.«<0向下（0,『）y轴x>0时，y随*的增大而减小；x<0时，y随•V的增大而增大：兀=0时，y有最大值r.3.y=a(x-h}'的性质:左加右减。a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质6/>0向上(爪0)X=hx>h时，y随X的增大而增大：x
b时，y随X的增大而减小：时，y随*的增大而增大：x=h时，y有最大值0.4.y=a{x-hy^k的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质6/>0向上X=hx>h时，y随X的增大而增大：xh时，y随X的增大而减小：时，y随*的增大而增大：x=h时，y有最大值ywx?的图像及其性质的应用:一、知识要点抛物线y=ax=（ahO）的顶点是,对称轴是<1）当a>0时，抛物线开口向.顶点是抛物线的最点x>0时，y随X的增大而.xVO时，y随X的增大而,x=0时y的值最小，最小值是<2）当a<0时，抛物线开口向.顶点是抛物线的最点x>0时，y随X的增大而.x<0时，y随X的增大而.x=0时y的值最小，最小值是二、基础训练I、在同-坐标系中画出二次函数yp乳y-=,尸nF瀚图象，其中开口最大的图象应是2、若点A（2.a）.B（b,9）在抛物线y=€上，贝9a=,b=3、如图，点A是抛物线上一点，AB丄X轴于B,若B点坐标为（一2,0）,则A点坐标为.B10k>0时，向下y\0)\X：的图象上，则（)XD、yc0时，向上5、已知二次函数y=二丘，那么下列说法中错误的是（）A、在y轴左侧，y随X的增大而增大B、图象顶点是（0,C、在y轴右侧，y随X的增大而增大D、y有最大值是06、已知aV—1,点（a—1,yi）x（a,yj、（a+1.yj都在函数丫=A、yiVytVy$B、yiys>yiA、yi>y=>y5B、yi>ys>y=C、『3>九>刃8、对于函数y=x=,由其图象可知，下列判断中，正确的是（A、若皿、n互为相反数，则x=m与x=n对应的函数值相等B、对于同一自变虽X,有两个函数值打之对应C、对于任意一个实数y,有两个X值与之对应D、对于任何实数X,都有y>09、不画图象，说出抛物线y一3€和『飞X啲对称轴、顶点坐标和开口方向.10、已知二次函数了=朋2的圏彖经过点（i—4人方（3，W）.L0(1)(2)(4)求a*jm的值：写出该图象上点B的对称点的坐标：当X取何值时，y随X的增大而减小？当X取何值时，y有最大值（或最小值）？三、能力提升1、如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下而在正常水位AB时，宽20m,水位上升3m就达到警戒线CD,这时水面宽度为lOm.（1）在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式：（2）若洪水到来时.水位以每小时0・2in的速度上升，从警戒线开始.再持续多少小时才能达到拱桥顶?2、在同-坐标系中，函数y=-x=.尸3£的图象如图，其中图象①的函数关系式是_，图象②的函数关系式是,你能根据观察图象所，图象③的函数关系式是得到的结论，说明的系数a⑴P3）对图象形状的影响吗?二次函数y=ax2+k的图像和性质1、用描点法在同一坐标系中画出函数炸几yX+l与yX-1的图象。X«««-2-1012■■■y==A"y=x"+l««♦♦y=x"-l解：列
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:描点.连线。8/654321•-2-1012-y■52-10-11232•2-4-5-6y►Xy=-x：+l与y=-x--l的图象练习：用描点法在同观察图像分别指出它们的开口方向、对称轴、顶点坐标、位置、增减性、极值。并指出它们之间的位置关系及图形间的变换。」坐标系中画出函数y=-x\抛物线)=,y=-x-+1y=-x"-l顶点坐标对称轴位置开口方向极值增减性归纳：抛物线产-可有抛物线y-x'向_平移个单位而得到；抛物线y=-x-b可有抛物线y-x'向_平移个单位而得到。归纳总结：1次函数y=ax=+k的图象和性质及与抛物线y二&丘位置关系：巩固练习：(1)抛物线y=3x'+2开口向—，顶点坐标是的最点。，对称轴是，顶点是抛物线在对称轴—侧,y随着X的增大而增大；即在区间上是—函数在对称轴侧，y随着X的增大而减小；即在区间上是—函数当x=时，函数y的值最小，最小值是,抛物线y=3x讣2在X轴的方.当X0时,y>0.抛物线y=3x讣2可由抛物线尸3£向_平移_单位得到。抛物线y=-2/3r-5在X轴的方，在对称轴的左侧,y随着x的即在区间上是—函数。在对称轴的右侧,y随着X的,即在区间上是当x=0时，函数y的值最大，最大值是,当X0时,y<0.函数。抛物线y二-2/3r-5可山抛物线尸-2/3^向_平移_单位得到。在同一坐标系中抛物线y=2x=+3与抛物线y二-2/3丘+5,的开口较大。目二次函数y+QF+k的图像和特征：一、填空：(1)图象名称;顶点坐标;对称轴;<2)当a>0时，抛物线的开口向—，顶点是抛物线上的最—点，图像在X轴的_(除顶点外)；(3)当a<0时，抛物线的开口向—，顶点是抛物线上的最—点图像在X轴的(除顶点外)。(4)y=a{x-hY的图像是山『=必2的图象向平移个单位得到的.求出下列个函数的最值当X二时，函数y=2(兀-1)2+3的最值为；当沪时，函数，=2(兀+厅一3的最值为当X二时，函数y=-2(.<-1)-+3的最值为；当X二时，函数，=一2(兀+厅一3的最值为(1)(2)(3)(4)二、自主探究平移—)在同一坐标系中画出函数>=-%2y=—(-¥+2)"y=—(-V+2)"+1和函数22〉，=丄(灭+2)2一2、y=丄&+2)2—2的图像。22X••・-2-1012•♦•1.y=-x-♦•・-2_120_12-2•••V=丄"+1•2••••••X♦••-2•••y=|(x+2)-••・0•♦•y=i(X+2)-+l••・1•♦•y=i(x+2)2—2••・-2•♦•⑴观察比较y=1*2+1与），=1（兀+2）2+1的对应点的横坐标变化规律是,对应点之间的平移规律是,两函数图像之间的平移规律是⑵观察比较y=^x+2}-与y=J;v+2）2+f的对应点的纵坐标变化规律是_22,对应点之间的平移规律是,两函数图像之间的平移规律是⑶观察比较y=£+与y=t（x+2）2+l的对应点的横坐标变化规律是.，横坐标变化规律是,对应点之间的平移规律是—,两函数图像之间的平移规律是⑷观察比较y=-x-与〉，=丄（兀+2）2-2的对应点的横坐标变化规律是22,横坐标变化规律是,对应点之间的平移规律是两函数图像之间的平移规律是三、二次函数ym，和y=a{x-hY+k图像的位置关系个单位得到函数函数y=似2QHO）的图像水平平移个单位，竖直平移y=-b+A（aHO）的图像。［h>0时，向平移：h<0,向平移。k>0时，向平移；kVO,向平移。］点拨:平移规律识记一一左加右减，上加下减。四、请你总结二次函数y=a（x-h）^+k的图象特征和性质y=a(x-h)■+ka的符号开口方向对称轴顶点坐标增减性最值a>0当x>h时，y随X的增大而；当xh时，y随X的增大而;当x
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:函数解析式图像的对称轴图像的顶点坐标图像性质1.y=——X"2y=—i(x-2)2+2y=—i(x—2)2—3TOC\o"1-5"\h\z二次函数y=(x-l)=+2的最小值是.抛物线尸(x+2)'+3的顶点坐标是.二次函数y二2(x-丄)'+3,当X时，y随X的增大而增大；当x时，y2随X的增大而减小；当X时，函数可取最—值为.抛物线y=-2r向左平移一个单位再向下平移三个单位得到的抛物线解析式为6•将二次函数y=(x-l)'+2的图象向左平移一个单位,再向下平移两个单位，所得图象的函数表达式为.,yi7.二次函数y=l(x+2)'+3的图象上两点A(-l,yJ,B(O,yj,则y,.卜J或”〈”)至空能力提升：将二次函数y二龙‘的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是O抛物线y=(x+2)耳3的顶点坐标是二次函数y=(x-l)=+2的最小值是4•在同一直角坐标系中，函数y=ax'与函数y=ax+a的图象关系，大致是图中的(0/\"/\/'1/\.5•你能用配方法将二次函数y=r-6x+8化为y二a(x-h)讣k的形式，并回答下列问题吗?求图象与X轴、y轴的交点坐标。求其图象的顶点坐标。X取什么值时，函数值大于0?X取什么值时，y随X的增大而减小？(1)(2)(3)图像参考:”•2x2y-2(x-3F
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