第三章 非稳态导热

高等传热学内容第一章导热理论和导热微分方程第二章稳态导热第三章非稳态导热第四章凝固和熔化时的导热第五章导热问题的数值解第六章对流换热基本方程第七章层流边界层的流动与换热第八章槽道内层流流动与换热第九章湍流流动与换热第十章自然对流第十一章热辐射基础第十二章辐射换热计算第十三章复合换热第三章非稳态导热3-1集总热容分析考虑非稳态导热的一种最简单的情况，如果所研究的物体的导热系数较大，或者厚度较薄，或者与环境的换热较弱，则物体内部的导热热阻相对于表面的换热热阻是个小量，物体内部的温差可以忽略不计。在这样的条件下，可以近似地认为在任何时刻允许用一个单一的温度来表示整个物体的温度，把一个有分布热容的物体看成是“集总热容”物体，忽略物体内部的导热过程而只考虑它与周围环境的换热。即假设物体中的温度只是时间的函数而与坐标无关。集总热容物体是一种理想化的情况。引进这样的假定的条件是在非稳态导热过程中物体内部的温差比物体与环境之间的温差小得多。一个实际问题能否简化为集总热容物体来处理，可根据无量纲准则Bi＝hL／λ的大小来判断。因此，当Bi足够小(Bi<<1)时，物体外部的热阻起主导作用，内部温度趋于均匀。这样的物体可称为“薄壁物体”，这样的分析方法称为“集总热容法”。3-1集总热容分析由于物体的温度只是时间的函数，物体几何形状的影响消失，这就使得物体的温度响应可由常微分方程来描述，初始条件也不存在温度分布而只有单一的初始温度值，导热问题的数学处理大大简化。通常建议以Bi<<0.1作为“薄壁物体”的判据。但应该说这只是半定量的判断，因为用集总热容法进行简化的合理性还取决于问题本身对精度的要求；此外，虽然对于集总热容法处理的问题通常可取物体的体积与表面积之比Lc＝V/S作为特征尺寸，但Bi中的特征尺寸的选取实际上并没有严格的规定。例如，大平壁可以选其厚度δ或Lc＝δ/2作特征尺寸；长圆柱可以选其直径d、半径r或Lc＝r/2作特征尺寸。选取的特征尺寸不同当然会影响相应的Bi值。3-1集总热容分析仍参照图1-3，物体占据的体积为V，表面积为A，有内热源qv。在集总热容的假定下，对研究的物体写出热量平衡方程，可得(3-l-1)对于无内热源的物体，qv＝o；如果物体表面以牛顿冷却定律的规律与周围环境换热，平均对流换热表面传热系数为h，以上方程可简化为(3-1-2)图1-3导热微分方程的推导3-1集总热容分析3-1-1环境温度保持为常量引进“过余”温度θ=t－tf，则问题的数学描述为(3-1-3)初始条件为(3-1-4)常微分方程(3-1-5)的通解为(3-1-5)由初始条件式(3-1-4)可得C＝θ0，由此得该问题的解为(3-1-6)具有时间的量纲，称为该问题的“时间常数”，它表征物体温度变化的快慢，即热惯性的大小。当时，θ＝0.368θ0。3-1-2环境温度按线性变化设环境温度按线性变化，即(3-1-7)其中b为常量，t0是物体和环境在初始时刻的温度。引进过余温度θ＝t－t0，则该物体的温度响应可用如下的常微分方程初值问题来描述：(3-1-8)3-1集总热容分析其通解由相应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解组成，即根据初始条件可以确定积分常数。整理后可得(3-1-9)物体的温度响应(图3-1)由两部分组成。第一项随时间按指数规律衰减，它在过程的初始阶段起重要作用，但时间足够长时该项逐渐趋于零。此时过程进入“准稳态”阶段，物体的温度响应由第二项决定，即随时间按线性变化，变化的速率与环境温度相同，但与环境温度保持一个恒定的差值。时间常数对过程有决定性的影响。τ1越大，式中第一项就衰减得慢，过程需要较长的时间才进入准稳定阶段，同时物体与环境温度的差值也越大。3-1集总热容分析3-1集总热容分析图3-1环境温度按线性变化时集总热容物体的温度响应3-1-3环境温度按简谐波变化设环境温度按简谐波变化，其表达式为(3-1-10)其中Af为环境温度波的振幅，温度波的周期是。引进过余温度。若物体的初始温度为t0，则该物体的温度响应可用如下的常微分方程初值问题来描述：(3-1-11)(3-1-12)3-1集总热容分析式(3-1-11)是一阶线性非齐次常微分方程，其通解由相应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解组成。相应的齐次方程的通解已由式(3-1-5)给出。设非齐次方程的特解具有以下的形式：(3-1-13)其中B和φ是两个待定的参数。将式(3-1-13)代入式(3-1-11)，并记，得(3-1-14)上式左边可改写为3-1集总热容分析比较方程(3-1-14)的两边，可得，(3-1-15)由初始条件可确定式中的常数：最后得到该问题的解为(3-1-16)以上的解由两项组成。第一项随时间按指数规律衰减，时间足够长时该项逐渐趋于零。此时薄壁物体的温度响应进入“准稳态”阶段，反映为上式的第二项。准稳态阶段温度响应也是按简谐波变化，其平均温度和变化周期都与环境温度相同。薄壁物体温度波的振幅与环境温度波的振幅之比为；物体温度波的相位落后于环境温度。3-1集总热容分析3-1集总热容分析图3-2环境温度技简谐波变化时集总热容物体的温度响应这种温度波振幅的衰减和相位的落后都与时间常数有关，时间常数越大，这两个效应越显著。此外，以上结果也表明，温度波的频率ω/2π对温度波振幅的减小和相位的落后也有同样的效应。温度波的频率越高，物体中温度波的振幅就越小。环境按简谐波变化时集总物体的温度响应见图3-2。在工程和实际生活中环境温度近似地按周期变化的情况是较常见的，如空气温度随昼夜的变化和发动机汽缸内气体温度的变化。这些周期性的温度波一般不是简谐波。但是非简谐的周期变化都可以展开为傅里叶级数，即表示为无穷多个简谐波的叠加。由于导热方程的线性性，这些环境温度简谐波的作用在薄壁物体中引起的温度响应也可以叠加。不过高频的简谐波在物体中引起的温度波的振幅减小得很多，因此其影响可忽略不计。以上讨论了由一个集总热容物体组成的系统。在某些情况下，把系统简化为两个或多个集总热容物体可以更好地描述实际的传热过程。下面以一个双容系统为例来讨论这样的情况。如图3-3所示，盛满在一个薄壁金属容器内的液体受强烈搅拌，使其温度均匀。可以把金属容器和其中的液体都抽象成集总热容物体，它们组成一个双容系统。如果在初始时刻容器和液体有相同的温度t0,突然处于具有恒定温度tf的环境中，试分析容器和液体的温度响应。3-1集总热容分析3-1集总热容分析图3-3集总热容双容系统根据容器和液体的热平衡可以分别写出它们的导热方程。记容器和液体的过余温度分别为，，则该问题可以表述为如下常微分方程组的初值问题：(3-1-17)(3-1-18)，(3-1-19)由式(3-1-18)可得(3-1-20)3-1集总热容分析3-1集总热容分析将式(3-1-20)代入式(3-1-17)，得(3-1-21)其中，i＝1，2，分别是两个物体的特征时间。式(3-1-21)是关于θ2的二阶线性齐次常微分方程，它对应的特征方程是(3-1-22)对该二次方程的分析可知，它有两个不相等的负实根，分别为(3-1-23)3-1集总热容分析由此得方程（3-1-21)的通解为(3-1-24)将初始条件式（3-I-19)代入式(3-1-20)，得(3-1-25)把以上初始条件代入式(3-1-24)，可以确定两个任意常数C1，C1，整理后可得(3-1-26)将式(3-1-26)代入式(3-1-20)并整理，可得(3-1-27)以上得到的温度响应式(3-1-26)、(3-1-27)定性地示于图3-4中。3-1集总热容分析图3-4双容系统在等温环境中的温度响应3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法厚度一定的大平壁常可简化为直角坐标系中的一维问题，是几何条件最简单的系统，在线性边界条件下可得到分析解。本节介绍大平壁和长圆柱体中的非稳态导热，以帮助读者了解一些基本的分析解数学方法，并通过对分析解的讨论，加深对非稳态导热过程的理解。此外，这些分析方法及其结果对于许多实际工程问题，如材料的加热和冷却、空调建筑物通过围护结构的动态冷热负荷计算等都有实用意义。重点介绍分离变量法，这是求解某些线性的数学物理偏微分方程的最古老的方法，但对于求解方程和边界条件均为齐次的问题常常是方便的，也是一些其他的分析方法，如格林函数法的基础。3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法3-2-1大平壁在等温介质中的冷却考虑大平壁在等温介质中被冷却(或加热)的问题。傅里叶在1822年首先求解了这一问题，并提出了著名的博里叶级数。如图3-5所示，厚度为δ的大平壁在x＝0处被绝热，在x＝δ处与温度恒定为tf的环境介质进行对流换热。已知平壁中的初始温度分布f(x)。引进过余温度θ＝t－tf，则描述大平壁中非稳态导热的微分方程为00(3-2-1a)问题的初始条件为τ=0，0≤x≤δ,00,(3-2-1c)x=δ,τ>0,(3-2-1d)3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法图3-5大平壁的非稳态导热3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法注意到微分方程和两个边界条件都是齐次的，这将是进行分离变量的重要条件。假设解的形式为(3-2-2)把上式代入方程(3-2-la)，得到分离变量得到因为等式两边分别为τ的函数和x的函数，它们要相等只能是都等于某个常数，记为土ε2。ε是待定常数，称为特征值。这样，上式给出了两个常微分方程：(3-2-3)(3-2-4)3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法方程(3-2-3)的解是(3-2-5)由问题的性质知，当r→∞时过余温度应有界，由此ε2前应取负号。在此条件下求解方程(3-2-4)得(3-2-6)且有(3-2-7)式(3-2-6)中有三个常数A、B和s需要确定。把式(3-2-2)代入式(3-2-lc)、(3-2-1d)，同样可对边界条件进行分离变量，得(3-2-8a)(3-2-8b)3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法由式（3-2-8a）得B=0。再由式(3-2-8b)可得4[λεsin(εδ)一hcos(εδ)]＝0要得到方程（3-2-4)的非零解，必须有A≠o，则有λεsin(εδ)一hcos(εδ)＝0记β=εδ，Bi=hδ/λ,上式可写为(3-2-9)式(3-2-9)是关于β的超越方程。由图3-6可以看出它有无穷多个根。由于其对称性，只需要考虑它的正根，记作βm(m=1,2,…)。这样，就得到特征值问题的无穷多个解：(3-2-10)由式(3-2-5)和式(3-2-10)，满足原偏微分方程和两个边界条件的分离变量形式的解为3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法图3-6超越方程cotβ＝β/Bi的根3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法由于问题的线性性，这无穷多个解的叠加仍满足方程和边界条件，即(3-2-11)系数Am可由初姑条件确定。把式(3-2-1b)代入上式，得(3-2-12)以上得到的无穷多个特征函数cos(βmx／δ)，(m＝1，2，…)组成一个正交函数系，即它们具有如下的性质：(3-2-13)N(βm)称为正交函数系的范数。在本问题中(3-2-14)3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法只要在0＜x＜δ区间内f(x)和df/dx是逐段连续的，在该区间内f(x)可以用以上正交函数系展开成形式如式(3-2-12)的广义傅里叶级数。级数的系数Am可以根据函数的正交性确定，即在式(3-2-12)两边乘以cos(βmx/δ)并在0＜x＜δ区间内积分，可得最后得到该大平壁在等温介质中冷却问题的解为(3-2-15)如果已知初始过余温度是均匀的，为f(x)＝θ0＝t0－tf，则代入上式积分可得(3-2-16)其中βm是特征方程(3-2-9)的第m个正根。3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法上式就是大平壁在等温介质中冷却(或加热)时温度响应的分析解。式中出现的无量纲aτ/δ2=Fo称为傅里叶级数，可以看作是非稳态导热过程的无量纲时间。它表明，该问题的无量纲过余温度可以表示成三个无量纲变量的函数：由图3-6可以看到，β1＜β2＜…＜βm，因此当Fo足够大时(通常要求Fo＞0.5)，随着m的增大，exp(－βmFo)项迅速减小，式[3-2-16)的无穷级数中除第一项以外的各项均可忽略不计。此时式(3-2-16)可简化为(3-2-17)此时平壁中各点的过余温度随时间都按负指数规律变化，称为物体非稳态导热的正常状况阶段。定义物体的“冷却率”为(3-2-18)3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法如图3-7所示，冷却率反映了在半对数坐标系中温度响应曲线的斜率，则对于正常状况下的大平壁有(3-2-19)在正常状况下物体的冷却率只取决于物体的形状、大小、物性和边界条件。相对于正常状况阶段的是非稳态导热的“初始阶段”。在初始阶段，物体中的温度分布受初始温度分布的影响较大，情况较为复杂，必须用级数中较多的项来近似。由解得的温度响应，可以进一步求得到τ时刻为止单位面积平壁在冷却过程中放出的热量：(3-2-20)或写成无量纲的形式：(3-2-21)其中，Q0＝2ρcδ0是单位面积平壁从初始温度to冷却到周围介质的温度tf所放出的热量。3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法图3-7正常状况和冷却率3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法3-2-2无限长圆柱体在等温介质中的冷却无限长圆拄体中的导热同样可用分离变量法求解。设一长圆柱体，假定φ方向导热是对称的，问题可简化为柱坐标系中径向的一维问题，导热微分方程为(3-2-22a)设圆柱体的表面与温度恒定为tf的环境介质进行对流换热。同样引进过余温度θ=t－tf，两个边界条件为(3-2-22b)(3-2-22c)已知圆柱休中的初始温度分布f(r)，则问题的初始条件可写作(3-2-22d)3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法与大平壁的情况相同，假设解的形式为(3-2-23)把上式代入方程(3-2-22a)，分离变量得到式中常数ε2前选择负号，使得当时间τ趋于无穷时温度保持有限值。这样，上式给出了两个常微分方程(3-2-24)(3-2-25)方程(3-2-24)的解是(3-2-26)3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法引进变量z＝εr，方程〔3-2-25)可改写为(3-2-27)这个常微分方程称为零阶贝塞尔方程，其解为或仍采用原来的变量，写(3-2-28)其中,J0(z)和Yj(z)分别是零阶的第一类和第二类贝塞尔函数。注意到对第二类贝塞尔函数(或称诺伊曼函数)有Yn(0)→∞，因此如在以下的推导中可以看到的，在拄坐标系的分离变量中为了满足r＝0时θ有界的条件，常常仅用到第一类贝塞尔函数。整数阶(n阶)第一类贝塞尔函数的级数表达式为(3-2-29)图3-8给出了几个贝塞尔函数的图形。3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法图3-8几个贝塞尔函数3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法最后得到无限长圆柱体在等温介质中冷却问题的解为(3-2-39)如果已知初始过余温度是均匀的，为f(r)＝θ0＝t0－t1，则代入上式积分可得(3-2-40)其中βm是特征方程(3-2-32)的第m个正根。3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法同样地，式(3-2-40)表明，该问题的无量纲过余温度可以表示成三个量纲变量的函数，即由解得的温度响应，可以进一步求得到τ时刻为止单位长度的圆柱体在冷却过程中放出的热量：(3-2-41)或写成无量纲的形式为(3-2-42)其中是单位长度圆柱体从初始温度t0冷却到周围介质的温度tf所放出的热量。3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法3-2-3乘积解以上介绍了直角坐标系和柱坐标系中一维非稳态导热在齐次边界条件下的分析解。简单几何形状下多维导热的齐次边界问题同样可用分离变量法求解，“乘积解”就是这样的一种特例。如果物体内的初始温度分布可以表示为单个空间变量函数的乘积，则多维问题的解可以简单地写成相应一维问题解的乘积。以直角坐标中的二维问题为例，直角柱体在等温介质中冷却问题的数学描述为(3-2-43)3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法如果初始温度分布f(x,y)＝f1(x)f2(y)，则以上二维问题的解可以写作两个二维问题解的乘积，即(3-2-44)而θ1和θ2分别是以下一维问题的解：(3-2-45)3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法(3-2-46)为了证明这一结论的正确性，把式(3-2-44)代入式(3-2-43)中的导热微分方程，有3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法3-2-4非齐次问题从分析求解的角度看，非稳态导热的边值问题可分为齐次问题和非齐次问题。如果微分方程和边界条件都是齐次的，则称该问题是齐次的。齐次的非稳态导热问题有如下的一般形式：区域R内(3-2-47a)边界Si处，τ＞0，(3-2-47b)区域R内，τ＞0，t＝F(r)(3-2-47c)边界条件式(3-2-47b)中，若λ或h有一个为零，则分别表示齐次的第一类或第二类边界条件。3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法存在内热源时微分方程有以下形式，一般来说，内热源发热率qv可以是坐标和时间的函数。如果如不以与温度相乘的形式出现，微分方程是非齐次的。即区域R内(3-2-48)非齐次的边界条件的一般形式为边界Si处，(3-2-49)同样地，第一类和第二类边界条件可以是上式的特例。3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法首先讨论一个较简单的情况。如果函数qv和fi都与时间无关，即内热源发热率不随时间变化，巳知的边界温度、热流或环境温度也不随时间变化，则可以利用线性叠加原理使问题齐次化。设t＝t1+t2是满足非齐次的稳态导热问题的解，即区域R内，(3-2-50a)边界Si处，(3-2-50b)t2是满足齐次的非稳态导热问题的解，即区域R内,(3-2-51a)边界Si处，(3-2-51b)区域R内,(3-2-51c)3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法下面讨论一个一侧温度恒定的大平壁在另一侧受到某个热流作用时其内部的温度和热流响应的问题。平壁的初始温度为零，一侧的壁面温度也保持为零；自初始时刻起在另一侧x=0处受到恒定的热流q0的作用。于是，大平壁中非稳态导热的数学描述为(3-2-52)注意到其中的一个边界条件是非齐次的。如果要用分离变量法求解，必须先使边界条件齐次化。可以假设解的形式为θ＝θ1+θ2，其中θ1是非齐次边界条件下稳态导热问题的解：(3-2-53)3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法显然θ1满足原微分方程和边界条件。把θ＝θ1+θ2代入原定解问题，得到(3-2-54)可利用上节所述的分离变量法求解，齐次问题的解为(3-2-56)3-2有限厚度物体的非稳态导热：分离变量法最后得到原定解问题的解为(3-2-57)如果函数q0或fi与时间有关，即内热源发热率、已知的边界温度、热流或环境温度至少有一个随时间变化，则以上介绍的使问题齐次化的方法不再适用。此时可采用的分析解法主要有拉普拉斯变换法和格林函数法等。3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解大平壁的厚度足够厚时，在有限的时间内一个表面(边界)的热作用可以看作只渗透到有限的厚度范围内，此时可以认为其厚度是无限厚的，即“半无限大物体”。这里讨论的半无限大物体的温度场是一维的，即只是x坐标和时间τ的函数。在无穷远处的边界条件，往往只要求此处的温度有界就可以，一般可不单独列出。有限厚平壁的温度响应一般需要用无穷级数的形式表示，而半无限大物体中的温度响应则常常可表示为某种积分函数的形式，因此较为简明。求解半无限大物体中的导热问题也可采用分离变量法(涉及傅里叶积分)，或采用下面两节介绍的格林函数法和拉普拉斯变换法。本节将结合几个常见的问题讨论相似性解和积分近似解的概念。这些方法对于解决其他的复杂问题，例如流体流动和对流换热，也是有帮助的。3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解3-3-1定壁温边界条件下半无限大物体的温度响应半无限大物体初始温度均匀并为t0在起始时刻边界温度突然提高到tw并保持不变。引进过余温度θ=t－t0，则该问题的数学描述可以写作(3-3-1)这一问题可用拉普拉斯变换法、格林函数法等经典方法求解。这里介绍用相似性变换法求解这一问题。3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解相似性变换的基本思路是对偏微分方程的自变量进行变换，以达到使自变量个数减少的目的。这种变换称之为相似性变换，所找到的变换变量称之为相似性变量。应用相似性变换法可以使偏微分方程变为常微分方程，使问题的求解得到很大的简化。但是这样的变换有其局限性，它只有在非常苛刻的条件下才能应用。对于以上的一维非稳态导热问题，需要有一个初始条件和两个边界条件，而变换后的常微分方程则只要求两个定解条件。这就要求在变换过程中原有的两个条件能够合并，即对问题的边界条件和初始条件的选择有严格的限制。建立相似性变量的方法在开始时采用“自由参数法”。它没有一个常规的程序，而是依赖于对问题本质的深入领悟。以后发展了数群理论法，可以按照一定的规则导得相似性变量。3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解对由式(3-3-1))所描述的定解问题，引入相似性变量(3-3-2)则有，，，3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解把以上结果代入式(3-3-1)，可得(3-3-3)注意到以上方程和定解条件中巳不出现x和τ，只有一个自变量，所以这是一个常微分方程。记Z＝dθ/dξ，以上常微分方程降阶为(3-3-4)3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解由此得到原问题的解(3-3-5)其中(3-3-6)称为余误差函数或误差函数的补函数。由求得的温度响应可以求出物体中的热流密度(3-3-7)3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解3-3-2积分方程近似解积分方程法就是经常被采用的一种求解偏微分方程的近似方法，积分方程法同样可应用于多维稳态导热和非稳态导热中。一般来说，积分方程可以从相应的偏微分方程对某一个自变量积分一次导得，也可以从一般的守恒关系(对于导热问题是能量守恒)直接建立方程。前者给出了积分方程与偏微分方程之间的内在联系，后者的物理概念清晰。对于半无限大物体中的非稳态导热，从图3-10中可以看出，随着时间的推移，边界的热作用逐渐向物体内部传播，形成一个厚度为δ的“热渗透层”。当然，它的厚度δ是时间τ的函数。在x≥δ的区域，可以认为还没有受到边界热作用的影响，温度没有变化，即近似地认为3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解图3-10定壁温半无限大物体的温度响应3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解(3-3-9)在常物性的情况下，该导热过程可以用以下微分方程描述：(3-3-10)方程两边在x＝0和x＝δ的区间对x积分一次，得(3-3-11)对等式右边作运算得3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解根据积分的求导法则，有由此，式(3-3-l1)的左边可改写为因此得到一维非稳态导热积分方程的一般形式(3-3-12)由该问题的边界条件式(3-3-9)，以上积分方程简化为(3-3-13)3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解从半无限大物体的能量平衡，也可以直接写出(3-3-14)其中积分号的部分表示单位面积的物体到τ时刻为止与初始时刻相比内能的增加，因为在x≥δ的区域过余温度为零，所以积分区间可取作(0，δ)。因此，方程左边表示单位表面积的物体内能增加的速率，方程右边是边界上的热流密度，即单位时间在单位表面积上传入物体的热量。在求解积分方程时需要适当地选用一个温度分布函数的解析表达式，以进行积分和求导的计算。这样的解析表达式的选择带有一定的随意性，因此，虽然积分方程在整体上能精确地满足能量平衡，然而积分方程解在确定温度分布和热流量方面在局部上是不精确的。但是，由于把原偏微分方程简化为常微分方程，求解过程及得到的解的形式都较简单，而且如果温度分布函数的表达式选取得合适，解也能有较高的精度。3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解3-3-3常热流边界条件下的半无限大物体半无限大物体初始温度均匀并为t0，边界上有恒定热流qw作用。同样引进过余温度θ＝t－t0，则该问题的数学描述可以写作(3-3-18)对导热微分方程两边乘以-λ，并对x求导，得到如下变换:3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解交换求导的次序，得采用热流密度作为新的变量，上面由方程和单值性条件可写作(3-3-19)对照定解问题式（3-3-1）及其解式（3-3-5，可知以上问题的解为(3-3-20)3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解根据傅里叶定律，其中称为余误差函数的一次积分。注意到。由条件x→∞，θ→0可知，C＝0。由此可得该问题的温度响应（图3-11）为(3-3-21)把x＝0代入上式，可得壁面处的温度响应(3-3-22)3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解图3-11常热流边界条件下半无限大物体的温度响应3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解以上半无限大物体中的温度响应也同样可用积分方程法求得近似解。积分方程（3-3-13）可改写为(3-3-23)其中：等式左边是0∽τ时间内由壁面传入物体的热量。等式右边是物体温度升高而导致其内能的增加。x＞δ的区域温升视作零，故对坐标的积分区间可改为0∽δ。对以上积分方程的近似求解可以假设温度分布近似为一个多项式，例如二次多项式θ＝A+Bx+Cx2。由边界条件及“热边界层”的假设可知(3-3-24)3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解由以上条件确定温度分布多项式中的系数，整理得(3-3-25)把上式代入方程式（3-3-23）并积分，可以解得“热渗透层”的厚度δ及其壁面处的温升：(3-3-26)(3-3-27)积分方程解形式简单，但是是近似的。如果不与精确解比较，就无法得知其误差。假设温度分布为二次、三次、四次和五次多项式时得到的结果及其与精确解的比较列于表3-2。3-3半无限大物体的非稳态导热：相似性解和积分近似解3-4格林函数法在非稳态导热中的应用3-4-l格林函数的概念物体中的温度分布随时间的变化是由于内热源、边界的热作用以及初始温度分布作用的结果。这些热作用都可以看作广义上的热源，从时间的概念上说，热源可以是连续作用的，如果作用的时间足够短，则可以抽象为“瞬时”作用的热源。同样地，热源在空间上是有一定分布的，但如果热源作用的空间尺度足够小，也可以抽象为“点热源”、“线热源”和“面热源”。在各种不同种类的热源中，“瞬时点热源”虽然仅是一种数学上的抽象，却有着重要的意义，因为其他的各种热源都可以看作是许多瞬时点热源的集合，即把时间上持续的热源看成是许多前后相继的瞬时热源，把连续分布在空间中的热源看成是在空间中依次排列着的许多点热源。3-4格林函数法在非稳态导热中的应用在特定几何条件的导热系统中，在齐次边界条件和零初始条件下单位强度的瞬时点热源所产生的温度场称为热源函数，或称格林（Green）函数。对于二维和一维导热问题，也把由线热源和面热源引起的温度场称为相应的格林函数。对于线性的导热问题，由各种复杂的热源引起的温度场可以由许多这样的瞬时热源引起的温度场的叠加得到，数学上即成为某种积分，这就是热源法，或称格林函数法，求解非稳态导热问题的基本思路。格林函数法可用来求解不同类型的偏微分方程，包括线性的椭圆型的偏微分方程（如带有热源项的稳态导热问题）以及双曲型偏微分方程（如力学中的振动问题）。用格林函数法求解的困难在于找到格林函数，而格林函数的形式取决于特定问题的具体条件，包括几何条件、边界条件和坐标系的选取。因此，用格林函数法求解非稳态导热问题首先需要对特定定解条件的导热系统确定其格林函数，本方法的第二个要点是确定有内热源和非齐次边界条件的一般导热问题的温度分布与格林函数的关系。3-4格林函数法在非稳态导热中的应用“瞬时”和“点”源的概念在数学上都可以用狄拉克（Dirac）δ分布函数，简称δ函数来表示。各函数的定义为(3-4-l)δ函数具有以下性质：3-4格林函数法在非稳态导热中的应用空间变量的三维δ函数在直角坐标系中等同于三个坐标变量的δ函数的乘积，即。这样，时刻作用在空间某一点、强度在数量上等于ρc[J]的瞬时点热源可写作，或在直角坐标系中表示为。同理,作用在处的强度为ρc(单位为J/m2)的瞬时面热源应为。由这样的热源在齐次边界条件和零初始条件下引起的温度分布称为格林函数。因为初始温度分布F(r)在微元体积dV中所对应的热量等于ρcF(r)dV，因此它就等价于一个在τ＝0时刻的瞬时分布热源qv(r，τ)＝ρcF(r)δ(τ－0)。3-4格林函数法在非稳态导热中的应用3-4-2大平壁中的非稳态导热先从一个简单的一维问题来介绍格林函数法的思路。设一维平壁有初始温度分布F(x)对和内热源qv(x，τ)＝ρcg(x,τ)，平壁的一个边界维持绝热，另一个边界受到热流f(τ)的作用。该问题的数学描述为(3-4-2)3-4格林函数法在非稳态导热中的应用首先要求该导热系统的格林函数G，它满足以下的辅助问题：(3-4-3)3-4格林函数法在非稳态导热中的应用时刻以前平壁中没有热源的作用，温度分布应仍维持为0，而时刻的瞬时热源的作用等同于时刻的初始温度分布，则以上问题可转化为(3-4-4)3-4格林函数法在非稳态导热中的应用用分离变量法得到的满足以上方程和边界条件的解的一般形式为系数可以由时的“初始”条件确定，即把展开成傅里叶余弦级数并比较两边的系数，得到，m=l，2，…即格林函数为(3-4-5)3-4格林函数法在非稳态导热中的应用在τ时刻内热源引起的温度分布tl应为在此前所有的瞬时点热源的作用的叠加，即(3-4-6)初始温度分布F(x)的影响可以看作是在时刻在各微元体积中有瞬时热源的作用。因此，由初始温度分布引起的温度分布t2，应为(3-4-7)3-4格林函数法在非稳态导热中的应用边界热流f(τ)的影响可以看作是在时间序列上一系列的瞬时热源的作用。因此由边界热流作用而引起的温度分布t3应为(3-4-8)根据线性叠加原理，原定解问题的解应是以上三个温度分布的叠加，即(3-4-9)3-4格林函数法在非稳态导热中的应用3-4-3无限大物体中的非稳态导热一个形式简单而又较常用到的格林函数是无限大介质中的格林函数。根据其定义，一维无限大介质中的格林函数应满足以下定解问题：(3-4-10)3-4格林函数法在非稳态导热中的应用或等价于以下齐次的问题：(3-4-11)用分离变量法可以求得一维无限大介质中的格林函数，即瞬时平面热源在初始温度分布为零的无限大介质中引起的温度分布是（3-4-12）3-4格林函数法在非稳态导热中的应用图3-12无限大物体中的瞬时面热源及其产生的温度场3-4格林函数法在非稳态导热中的应用得到了格林函数后，就可以直接写出带有热源和非均匀初始温度的一维无限大介质中的导热问题的解。问题的数学描述为(3-4-15)3-4格林函数法在非稳态导热中的应用其解为（3-4-16）等号右边的第一项是初始温度分布引起的温度场，第二项是内热源引起的温度场。3-4格林函数法在非稳态导热中的应用考察由随时间变化的平面热源引起的温度场。物体的初始温度为零，当时间τ>0时在x=0处有一个强度为qs(τ)的平面热源持续地释放热量。这样，相当于在式（3-4-15）中有代入式（3-4-16）并积分得(3-4-17)对于qs是常量的情况，可以作变量置换并分部积分，可得(3-4-18)考虑到该温度分布的对称性，它就相当于边界有恒定热流的半无限大物体的温度分布，即等同于式（3-3-21）。3-4格林函数法在非稳态导热中的应用用熔融的钢水注入两根长钢轨之间预留的空隙使之焊接为一体。假设不考虑由于相变引起的潜热和物性变化等复杂因素，且忽略钢轨表面的散热，则该问题可简化为无限大物体中的一维导热。取空隙的中心平面为坐标原点，初始温度分布可简化为如图3-13所示的情况，即(3-4-19)3-4格林函数法在非稳态导热中的应用图3-13两根长钢轨在熔焊时的温度分布3-4格林函数法在非稳态导热中的应用由式（3-4-16）可直接写出该问题的温度分布。因为没有内热源，有(3-4-20)作变量置换，得到(3-4-21)3-4格林函数法在非稳态导热中的应用3-4-4一般空间域中的格林函数法以下进一步简要介绍用格林函数法求解一般的非稳态导热问题的思路及其结论。对于一般的非稳态线性导热问题，其数学描述可写作(3-4-22)其中指边界的外法线方向。3-4格林函数法在非稳态导热中的应用为求解这一非齐次导热问题，先考虑一个辅助问题，求由瞬时点热源在相应的齐次边界条件和零初始条件下引起的温度分布，即求格林函数G。相应的数学描述为(3-4-23a)(3-4-23b)（3-4-23c）3-4格林函数法在非稳态导热中的应用如果得到了以上问题的解，即该特定导热系统的格林函数G，则原问题的解可写作（3-4-24）等号右边第一项是初始温度分布F(r)的影响，第二项是分布热源qv(r，τ)=ρcg(r,τ)的影响，第三项是非齐次边界条件的影响。3-4格林函数法在非稳态导热中的应用用格林函数法求解非稳态导热问题的另一个重要的环节是寻求合适的格林函数。当然可以按照格林函数的定义求解定解问题式(3-4-23)。可以先把瞬时内热源的问题转化为时刻的边值问题，然后用经典的方法，如分离变量法求解。下面再介绍一种寻求格林函数的“ 格式 pdf格式笔记格式下载页码格式下载公文格式下载简报格式下载 化”的方法。针对定解问题式(3-4-23)，先讨论如下的齐次问题：(3-4-26)3-4格林函数法在非稳态导热中的应用假如可以用分离变量法求解，并把解表示成如下的形式：(3-4-27)积分号中的只是一个符号，它表示对特征函数、范数等的累加或积分，另一方面，该问题的解可以用格林函数表示为(3-4-28)对照式(3-4-27)、(3-4-28)可得在此基础上，在求得的表达式中用代替，就得到一般的格林函数，即(3-4-29)3-4格林函数法在非稳态导热中的应用只要初始温度分布可以表示成单变量函数的乘积，多维齐次非稳态导热问题的解就可以由一维导热问题解的乘积的形式来构成。同样地，多维格林函数也可由一维格林函数的乘积来构成。这是因为，按照其定义格林函数满足具有瞬时热源及齐次边界条件的导热方程，而瞬时热源的问题又等价于一个给定初始温度分布的问题。因此，二维和三维问题的格林函数可以由一维格林函数的乘积来构成。如直角坐标系中三维无限大物体导热的格林函数为(3-4-30)3-4格林函数法在非稳态导热中的应用在初始温度均匀的无限大介质中，由均匀发热的线热源引起的温度场是一个二维温度场。一些实际的导热问题，例如在用线热源法测定材料的热物性以及地下埋管与土壤间的非稳态导热过程等都可简化为这样的问题。假定介质的初始温度为零，位于z坐标轴上的线热源的强度qL(单位为W/m)不随时间变化，则根据以上得到的三维格林函数可直接写出这一问题的温度场为(3-4-31)令，注意到3-4格林函数法在非稳态导热中的应用如果改用柱坐标，并引进变量，式(3-4-31)可改写为或用指数积分函数表示为(3-4-32)其中：，k是指数积分；γ≈0.577216是欧拉常数。3-4格林函数法在非稳态导热中的应用对于一个长方体(0≤x≤b，0≤y≤c，0≤z≤d)中的非稳态导热，所有边界温度维持为零。可以求得这一问题的三维格林函数为(3-4-33)上式可以写成三个一维格林函数的乘积,即(3-4-34)3-4格林函数法在非稳态导热中的应用它们分别是边界均维持为零的三个一维平壁的格林函数，即3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用分离变量法适用于求解几何形状规则的区域中的线性齐次导热问题。对于较简单的非齐次问题，通过适当的处理后也可用分离变量法求解。但是，当非齐次项的结构比较复杂时应用分离变量法就不太方便，甚至难于奏效。而拉普拉斯变换法把对时间的偏导数从导热微分方程中消去，为齐次和非齐次线性导热问题的求解提供了一个系统而简捷的方法，对于非齐次项比较复杂的情形特别有效。用拉普拉斯变换来消去对时间的偏导数虽然并不困难，但对变换后的函数进行逆变换时，除了在 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 变换表中已有的之外，一般并不简单。3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用3-5-l拉普拉斯变换的定义与性质函数f(τ)的拉普拉斯变换定义为(3-5-1)其中τ为实变量，s=c+iβ是一个复变量，c和β分别是它的实部和虚部。f(τ)称为原函数，变换后得到的新函数称为象函数。如果式(3-5-1)等号右边积分收敛，则说函数f(τ)的拉普拉斯变换存在，否则函数f(τ)的拉普拉斯变换就不存在。能够实现拉普拉斯变换的函数f(τ)必须满足下列条件:(l)在时间τ＞0的任意有限区间内，函数f(τ)连续或分段连续。时间τ→0+时，对于常数n(0＜n＜l)，是有界的。(2)函数f(τ)的增大是指数级的，即存在常数M>0和c0＞0，使得对于任何τ>0的值，下列不等式成立：3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用凡满足上述条件的函数f(τ)，式(3-5–l)等号右边的积分在Res=c＞c0的半平面上绝对且一致收敛，象函数是该半平面上的解析函数，常数c0的下界称为收敛横标。对象函数进行逆变换，即可得到原函数f(τ)，逆变换运算可由黎曼-梅林（Riemann-Mellin）反演 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 实现：(3-5-2)上式等号右边对复变量s的积分路线，是复平面s上一条平行于虚轴的直线，x＝c＞c0，故在积分路线的右边，是s的解析函数。3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用拉普拉斯变换有一些重要的性质,下面直接引述有关的运算性质和定理。如果记,，b、c1和c2是任意常数，则有：(l)线性定理(2)位移定理(3)迟延定理（4）相似定理3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用（5）微分定理：f（τ）的一阶导数和n阶导数的拉普拉斯变换分别为(6)积分定理(7)卷积定理：两个函数f(τ)和g(τ)的卷积积分（或简称为卷积）用符号f*g来表示，并定义为卷积的拉普拉斯变换等于这两个函数的拉普拉斯变换的乘积，即3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用（8）象函数微分定理(9)象函数积分定理(10)狄拉克（Dirac）δ分布函数的拉普拉斯变换3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用3-5-2拉普拉斯变换的逆变换在用拉普拉斯变换求解导热问题时，关键的一步是把变换后的函数从复变量s区域变回到时间变量τ区域的逆变换。许多逆变换已汇集成表，可直接应用。为了充分发挥已有变换表的作用，要注意应用拉普拉斯变换的有关定理。由于像函数结构形式的多样性和复杂性，有时即使应用拉普拉斯变换的运算定理，也不可能利用变换表而求得所需要的逆变换。(l)部分分式法部分分式法是把一个复杂分式分解成若干个简单分式之和的方法。如果像函数是一个复杂分式，且它的逆变换不能从变换表中直接找到，则可以用部分分式法把它分解为若干个简单的分式之和，而每一个简单分式的逆变换可以从变换表中找到。因此，部分分式法与变换表相结合，是一种有效的逆变换方法。3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用假设像函数是有理函数，即其中G(s)和H(s）是不可约多项式。G(s)的幂次低于H(s)。在复数域内可以得到方程H(s)=0的m个根，其中可以有单根和重根、实数根和复数根。有复数根时总是以共轭形式成对出现的。因此，可以分解为下列若干个低幂次有理分式之和：（3-5-3）式中：a是H(s)的单根，对应于一个一次因式(s-a)和一个待定常数c1；H(s)的一对复根，对应于一个二次因式(s2+bs+c)和两个待定常数c2和c3；d是H(s)的n重复根。根据部分分式原理，待定常数c1和c4由下式确定：3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用(3-5-4a)(3-5-4b)根据拉普拉斯变换的定义及其上节中给出的性质进行推演，或利用变换表，可知式（3-5-3）中各种简单有理分式的逆变换为3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用(2)回路积分法在更一般的情况下，可以用式(3-5-2)进行逆变换，即此式表明，积分路线为复平面s上x=c＞c0的一条直线，如图3-14所示。在许多情况下，式(3-5-2)中的积分可以根据复变函数理论中的回路积分方法，并利用留数定理求得。根据象函数奇异性的不同类型，通常可分为以下两种情况。第一种类型是的奇点均为极点。假定s1,s2,┅,sn是的全部极点，并位于直线x=c的左边。若s→∞时，则有(3-5-5)式中，表示函数在极点处的留数。3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用图3-14第一种类型问题的逆变换回路3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用对于m阶极点sk，相应的留数为(3-5-6)对于单极点，m=1，式(3-5-6)变成(3-5-7)显然，当能表示成有理式时，将得到与采用部分分式法同样的结果。第二种类型是在s=0处有一个枝点。此时象函数除在直线x=c左边的复平面上有有限个孤立奇点s1,s2,┅,sn外，在s=0处有一个枝点，则它在该枝点处是多值的。3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用通常，在求解半无限大物体的导热问题时会遇到这种情况。为了使该函数是单值的，可以从枝点s=0处到无限远处引一条“割缝”。只要保持割缝在直线x=c的左边，它的方向可以任意选取。在很多问题中，为了方便常选择负实数轴作为割缝。积分路径如图3-15所示，路径CD和EF分别在割缝的上、下边。令大圆半径R→∞，小圆半径ρ→0，根据留数定理有(3-5-8)因此有在R→∞，ρ→0的条件下分别计算出大圆、小圆和直线CD、EF上的积分以及各极点处的留数，即可以求得逆变换。3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用图3-15带有枝点的象函数的逆变换回路3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用3-5-3用拉普拉斯变换法求解非稳态导热问题一个半无限大物体（x≥0）的初始温度为零，当时间τ>0时，在x=0的边界上有恒定热流qw的作用。试求τ>0时物体中的温度分布。该问题的数学描述为(3-5-10)对式(3-5-10)的作拉普拉斯变换得3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用以上常微分方程的解为(3-5-1l)查拉普拉斯变换表得注意到则以上得到的解又可写作(3-5-12)3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用如果以上问题中的边界热流是随时间变化的，即qw=f(τ)，则类似于式(3-5-11)，可以得到温度分布函数的拉普拉斯变换为(3-5-13)其中从拉普拉斯变换表中可以查得(3-5-14)由拉普拉斯变换的卷积定理可得(3-5-15)3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用如果把上题中x=0处的边界条件改为第三类边界条件，即物体的初始温度仍为零，在边界上与温度为tf的环境进行对流换热。试求τ>0时物体中的温度分布。该问题的数学描述为(3-5-16)对式(3-5-16)作拉普拉斯变换得3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用以上常微分方程的解为(3-5-16)查拉普拉斯变换表得(3-5-18)当壁面的表面传热系数h→∞时，第三类边界条件转化为第一类边界条件，以上的解简化为式（3-3-5）。3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用一块大平板，厚度为δ，初始温度为零，时间τ>0时x=0处的边界仍维持为零，x=δ处的边界温度维持常温t1。该问题的数学描述为(3-5-19)对上式作拉普拉斯变换得3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用以上常微分方程的解为(3-5-20)以上象函数的反演不能从本书的变换表中查到，可用反演公式显然，s0=0是被积函数的极点。此外，当时，被积函数的分母部分也可以为零，即此时有βn=nπ,n=l,2,3，…。即，n=l,2，…（3-5-21）也是被积函数的极点。3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用在如图3-14所示的积分回路中，有则其中最后得到（3-5-22）3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用如果式（3-5-19）中的边界温度不是常数，而是时间的函数，即相应的边界条件改为(3-5-23)则式(3-5-20)改为其中的逆变换可按前面同样的方法用留数定理得到，即根据拉普拉斯变换的卷积定理可直接写出该问题的解为，(3-5-24)当f(τ)=t1为常数时，上式简化为式(3-5-22)。3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用考虑用恒定发热量为q0的加热器加热大平板的问题。假定平板和加热器的初始温度均为零，大平板的冷面边界温度维持为零，加热器的温度等于平板热面温度且其内部的温差忽略不计，但加热器的热容量C［单位为J/(m2·℃)］不能忽略。该问题仍是单区域的问题，平板热面的边界条件可由边界处的能量平衡导出。该问题的数学描述为(3-5-25)3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用对以上问题作拉普拉斯变换，得到以上常微分方程的解为(3-5-26)3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用仿照上面的方法对象函数进行逆变换可得(3-5-27)其中：K=C/(δρC)是加热器与平板的热容量之比；βn是超越方程的第n个正根。如果要考虑加热器平板中的温度分布，上面的问题就变为复合介质问题。此时需要联立求解两个偏微分方程。两个区域之间的边界条件在“良好热接触”的假定下，应该是两侧的温度场和热流在边界上都是连续的。用拉普拉斯变换法求解这类问题时虽然方法步骤是一样的，但复杂程度将大大增加。3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用良好热接触的双层平板如图3-16所示。其中的初始温度为零，且x=δ2的一侧的边界始终维持为零，另一侧受瞬时脉冲热流q0(单位为J/m2)的加热，同时向温度为零的周围环境散热。两个区域的导热微分方程和初始条件为,i=l,2(3-5-28a),i=l,2(3-5-28b)两侧的边界条件为(3-5-28c)(3-5-28d)3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用图3–16一维复合介质中的导热3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用接触面上的边界条件为(3-5-28e)(3-5-28f)用拉普拉斯变换法求得以上问题的解为3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用其中：βn是超越方程的第n个正根。3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用如果对表面的加热不是瞬时脉冲，而是连续的热流q=f(τ)，则根据上面得到的解，式(3-5-29)，由拉普拉斯变换的卷积定理可直接写出(3-5-30)当已知加热热流f(τ)的具体形式后，即可进一步积分得到具体的温度分布。3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用3-5-4适用于短时间与长时间的解对于平板、圆柱和圆球等规则形状物体内的典型非稳态导热问题，可以求得级数形式的分析解。这样的级数解对于大的τ值能迅速收敛，但对于小的τ值却收敛得很慢。因此，用这样的解对很小的时间值进行计算是不合适的。另一方面，对于无限大物体中的导热问题，当时间很长时其涉及的积分又难于计算。因此，对于这些问题常常希望能找到另一种形式的解，它在时间很短或时间很长时能够迅速收敛，以便于实际计算。这就是所谓适用于短时间与长时间的解。当对时间变量τ作拉普拉斯变换时，实现了导热问题由时间区域τ向复变量区域s的变换。因此，时间区域中的τ值与复变量区域中的s值之间存在一定的对应关系。(3-5-31)3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用这种关系分别称为拉普拉斯变换的初值定理和终值定理。例如，我们有一对原函数和象函数和，则有读者也可以任取一对原函数和像函数验证以上的关系。这一关系表明，在拉普拉斯变换区域内大的s值对应于时间区域内小的τ值；反之，小的s值对应大的τ值。利用这一原理，为了求得函数f(τ)适用于短时间的近似解，可以把它的像函数展成s的降幂级数，再对该级数逐项进行反变换。反之，若把像函数展成s的升幕级数，再对该级数逐项进行反变换，则得到的f(τ)的级数解对于大的τ值将迅速收敛。这是拉普拉斯变换法的一个独特的优点。3-5拉普拉斯变换法在非稳态导热中的应用对于前面讨论的大平壁一维非稳态导热问题式（3-5-19），温度场的拉普拉斯变换由式（3-5-20）确定，即大平壁的非稳态导热问题经拉普拉斯变换以后其象函数中通常会包含的双曲函数。利用二项式定理可把分母上的双曲函数表示成了的负指数的