2020高考数学 课后作业 11-9 随机变量的数字特征与正态分布 理 新人教A版

PAGE2020 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 数学人教A版课后作业：11-9随机变量的数字特征与正态分布(理)1.(2020·平顶山模拟)已知X的分布列为X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,6)a设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是(　　)A．－eq\f(1,6)　　　　　　　　B.eq\f(2,3)C．1D.eq\f(29,36)[答案]　B[解析]　由分布列的性质知：eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＋a＝1，∴a＝eq\f(1,3)，由期望的定义知，E(X)＝－1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,3)＝－eq\f(1,6).由期望的性质知，E(Y)＝2E(X)＋1＝eq\f(2,3).2．已知随机变量X的概率分布如下 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 所示：X135P0.40.1x则X的方差为(　　)A．3.56B．8.12C．3.2D.eq\r(3.56)[答案]　A[分析]　先由离散型随机变量分布列的性质求出x，再依据期望、方差的定义求解．[解析]　由0.4＋0.1＋x＝1得x＝0.5，∴E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56.3．(2020·广东广州二模)设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，则a的值等于(　　)A.eq\f(7,3)B.eq\f(5,3)C．5D．3[答案]　A[解析]　已知ξ～N(3,4)，所以μ＝3，又因为P(ξ<2a－3)＝P(ξ>a＋2)，所以eq\f(2a－3＋a＋2,2)＝3，解得a＝eq\f(7,3).4．(2020·湘潭模拟)设一随机试验的结果只有A和eq\o(A,\s\up6(－))，且P(A)＝p，令随机变量X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1　A出现,0　A不出现))，则X的方差D(X)等于(　　)A．pB．2p(1－p)C．－p(1－p)D．p(1－p)[答案]　D[解析]　X服从两点分布，故D(X)＝p(1－p)．5．(2020·浙江温州模拟)某人射击一次击中的概率为eq\f(3,5)，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为(　　)A.eq\f(81,125)B.eq\f(54,125)C.eq\f(36,125)D.eq\f(27,125)[答案]　A[解析]　该人3次射击，恰有两次击中目标的概率是P1＝Ceq\o\al(2,3)·(eq\f(3,5))2·eq\f(2,5)，三次全部击中目标的概率是P2＝Ceq\o\al(3,3)·(eq\f(3,5))3，所以此人至少有两次击中目标的概率是P＝P1＋P2＝Ceq\o\al(2,3)·(eq\f(3,5))2·eq\f(2,5)＋Ceq\o\al(3,3)·(eq\f(3,5))3＝eq\f(81,125).6．(2020·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)A．100B．200C．300D．400[答案]　B[解析]　记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B(1000，0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故选B.7．(2020·广东高考调研)如果随机变量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，且D(ξ)＝2，则E(pξ－D(ξ))＝________.[答案]　0[解析]　∵ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝4，∴np＝4，又∵D(ξ)＝2，∴np(1－p)＝2，∴p＝eq\f(1,2)，∴E(pξ－D(ξ))＝E(eq\f(1,2)ξ－2)＝eq\f(1,2)E(ξ)－2＝0.8．已知袋中装有大小相同的2个白球和4个红球．从袋中随机地将球逐个取出，每次取后不放回，直到取出两个红球为止，取球次数X的均值为________．[答案]　eq\f(14,5)[解析]　依题意，X的可能取值为2、3、4，P(X＝2)＝eq\f(A\o\al(2,4),A\o\al(2,6))＝eq\f(2,5)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,4)A\o\al(2,2)C\o\al(1,3),A\o\al(3,6))＝eq\f(2,5)；P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,4)A\o\al(3,3)C\o\al(1,3),A\o\al(4,6))＝eq\f(1,5)，∴E(X)＝2×eq\f(2,5)＋3×eq\f(2,5)＋4×eq\f(1,5)＝eq\f(14,5).1.(2020·潍坊模拟)某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为(　　)A．10%B．20%C．30%D．40%[答案]　D[解析]　由条件知μ＝90，P(ξ<60)＝0.1，∴P(ξ>120)＝0.1，∴P(90≤ξ<120)＝eq\f(1,2)[1－2P(ξ<60)]＝eq\f(1,2)×(1－0.2)＝0.4，故选D.2．(2020·浙江五校联考)设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若P(ξ≥1)＝eq\f(5,9)，则P(η≥2)的值为(　　)A.eq\f(32,81)B.eq\f(11,27)C.eq\f(65,81)D.eq\f(16,81)[答案]　B[解析]　由P(ξ≥1)＝eq\f(5,9)，得Ceq\o\al(1,2)p(1－p)＋Ceq\o\al(2,2)p2＝eq\f(5,9)，即9p2－18p＋5＝0，解得p＝eq\f(1,3)或p＝eq\f(5,3)(舍去)，∴P(η≥2)＝Ceq\o\al(2,4)p2(1－p)2＋Ceq\o\al(3,4)p3(1－p)＋Ceq\o\al(4,4)p4＝6×(eq\f(1,3))2×(eq\f(2,3))2＋4×(eq\f(1,3))3×eq\f(2,3)＋(eq\f(1,3))4＝eq\f(11,27).3．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的6支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个．则X的均值为(　　)A．5B．5.25C．5.8D．4.6[答案]　B[解析]　由题意可知，X可以取3、4、5、6，P(X＝3)＝eq\f(1,C\o\al(3,6))＝eq\f(1,20)；P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,20)；P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,10)；P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(3,6))＝eq\f(1,2)，∴E(X)＝3×eq\f(1,20)＋4×eq\f(3,20)＋5×eq\f(3,10)＋6×eq\f(1,2)＝5.25.4．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a、b、c∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，记随机变量ξ＝“|a－b|的取值”，则ξ的数学期望E(ξ)为(　　)A.eq\f(8,9)　　　B.eq\f(3,5)　　　C.eq\f(2,5)　　　D.eq\f(1,3)[答案]　A[解析]　∵对称轴在y轴左侧，∴－eq\f(b,2a)<0，∴ab>0，即a与b同号，∴满足条件的抛物线有2Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,7)＝126条．ξ的取值为0、1、2，P(ξ＝0)＝eq\f(6×7,126)＝eq\f(1,3)，P(ξ＝1)＝eq\f(8×7,126)＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝eq\f(4×7,126)＝eq\f(2,9).∴E(ξ)＝eq\f(1,3)×0＋eq\f(4,9)×1＋eq\f(2,9)×2＝eq\f(8,9).5．(2020·龙岩月考)袋中有3个黑球，1个红球．从中任取2个，取到一个黑球得0分，取到一个红球得2分，则所得分数ξ的数学期望E(ξ)＝________[答案]　1[解析]　P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,1),C\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，∴E(ξ)＝0×eq\f(1,2)＋2×eq\f(1,2)＝1.6．(2020·山东理)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为eq\f(3,4)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求甲同学能进入下一轮的概率；(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．[解析]　设A、B、C、D分别表示甲同学能正确回答第一、二、三、四个问题的事件，eq\o(A,\s\up6(－))、eq\o(B,\s\up6(－))、eq\o(C,\s\up6(－))、eq\o(D,\s\up6(－))分别为A、B、C、D的对立事件(例如eq\o(A,\s\up6(－))表示甲同学第一题回答错误)．由题设条件知，P(A)＝eq\f(3,4)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(C)＝eq\f(1,3)，P(D)＝eq\f(1,4)，P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,4)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)，P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(2,3)，P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝eq\f(3,4).(1)记“甲同学能进入下一轮”为事件W，则由题设条件知W＝ABC＋ABeq\o(C,\s\up6(－))D＋Aeq\o(B,\s\up6(－))CD＋eq\o(A,\s\up6(－))BCD＋eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(C,\s\up6(－))D，∵A、B、C、D各事件相互独立，∴P(W)＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(eq\o(C,\s\up6(－)))·P(D)＋P(A)·P(eq\o(B,\s\up6(－)))·P(C)·P(D)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(B)·P(C)·P(D)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(B)·P(eq\o(C,\s\up6(－)))·P(D)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4).(2)由题意知，ξ的可能取值为2、3、4，则P(ξ＝2)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，P(ξ＝3)＝P(ABC＋Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(3,8).P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝1－eq\f(1,8)－eq\f(3,8)＝eq\f(1,2)，∴ξ的分布列为ξ234P(ξ)eq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(1,2)∴E(ξ)＝2×eq\f(1,8)＋3×eq\f(3,8)＋4×eq\f(1,2)＝eq\f(27,8).7．(2020·北京丰台模拟)某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”．若甲，乙，丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7；在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．(1)求甲，乙，丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；(2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)．[解析]　设“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3，eq\o(A,\s\up6(－))i为Ai的对立事件，i＝1,2,3.设“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.(1)设“理论考核中至少有两人合格”为事件C，P(C)＝P(A1A2A3∪A1A2eq\o(A,\s\up6(－))3∪A1eq\o(A,\s\up6(－))2A3∪eq\o(A,\s\up6(－))1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2eq\o(A,\s\up6(－))3)＋P(A1eq\o(A,\s\up6(－))2A3)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1A2A3)＝0.9×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＝0.902.(2)设“三个人该课程考核都合格”为事件D.P(D)＝P[(A1B1)(A2B2)(A3B3)]＝P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3)＝P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9≈0.254.所以，这三个人该课程考核都合格的概率为0.254.1．设随机变量ξ的分布列如下表所示，E(ξ)＝1.6，则a－b＝(　　)ξ0123P0.1ab0.1A.0.2B．0.1C．－0.2D．－0.4[答案]　C[解析]　由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8①又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3②由①②解得a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝－0.2，故应选C.2．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不小于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是(　　)A．[0.4,1]B．(0,0.4]C．(0,0.6]D．[0.6,1)[答案]　B[解析]　∵事件A在一次试验中发生的概率为p，∴由条件知Ceq\o\al(1,4)p(1－p)3≥Ceq\o\al(2,4)p2(1－p)2，解得p≤0.4，故选B.3．(2020·温州十校联考)已知随机变量X～N(3,22)，若X＝2η＋3，则D(η)等于(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．4[答案]　B[解析]　由X＝2η＋3，得D(X)＝4D(η)，而D(X)＝22＝4，∴D(η)＝1.4．(2020·长沙模拟)设ξ是服从二项分布B(n，p)的随机变量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝eq\f(45,4)，则n与p的值为(　　)A．60，eq\f(3,4)B．60，eq\f(1,4)C．50，eq\f(3,4)D．50，eq\f(1,4)[答案]　B[解析]　由ξ～B(n，p)，有E(ξ)＝np＝15，D(ξ)＝np(1－p)＝eq\f(45,4)，∴p＝eq\f(1,4)，n＝60.故选B.5．一批产品的次品率为0.01，现连续抽取20次，抽得次品数为ξ，则D(ξ)＝(　　)A．0.2B．0.099C．0.198D．0.99[答案]　C[解析]　∵ξ～B(20,0.01)，∴D(ξ)＝20×0.01×(1－0.01)＝0.198.6．如果ξ～B(100，eq\f(1,2))，当P(ξ＝k)取得最大值时，k＝________.[答案]　50[解析]　P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,100)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))100－k＝Ceq\o\al(k,100)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))100，由组合数的性质知，当k＝50时取到最大值．7．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课程互不影响，已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；(2)求ξ的分布列和数学期望．[解析]　设该学生选修甲、乙、丙的概率分别是x，y，z，由题意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－y1－z＝0.08,xy1－z＝0.12,1－1－x1－y1－z＝0.88))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0.4,y＝0.6,z＝0.5)).(1)∵函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，∴ξ＝0.ξ＝0表示该学生选修三门功课或三门功课都没选．∴P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋0.12＝0.24.(2)依题意ξ＝0,2，则ξ的分布列为ξ02P0.240.76∴E(ξ)＝0×0.24＋2×0.76＝1.52.