由以上四点可得到对一个模n剩余类环，求其所有子环和理想的一个方法。思路：第一，模n剩余类环对加法构成加群，根据群的定义，找出所有子群；第三，对所有子群，根据环的定义，对乘法封闭，从所有子群里找出所有环；第四，对所有子环，根据理想的定义，找出所有理想。例题:找出模12的剩余类环的所有理想。具体步骤：第一步：模12剩余类环所有元素的集合：={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]}找其对加法构成加群的子群，并因为其对加法构成的子群是循环群，所以用生成元表示：([0])={[0]};([1])=([11])={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]}=;([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};([4])=([8])={[0],[4],[8]};([6])={[0],[6]};第二步：考虑对乘法的封闭性，求其子环：([0])={[0]};([1])=([11])={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]}=;([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};([4])=([8])={[0],[4],[8]};([6])={[0],[6]};第三步：根据理想的定义，对以上的子环，求其理想：([0])=([12])={[0]};([1])=([11])={[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]}=;([2])=([10])={[0],[2],[4],[6],[8],[10]};([3])=([9])={[0],[3],[6],[9]};([4])=([8])={[0],[4],[8]};([6])=([6])={[0],[6]};解答完毕。通过观察以上的例子我们发现以下特点：模12剩余类环的所有对加法构成的子群，等于所有子环，等于所有理想;所有的子群（对加法）是循环群，所有的理想是主理想；第一列的所有生成元都是12的因子；第二列的所有生成元可表示为[12-],其中为12所有的因子.于是我们有以下结论：模n剩余类环的所有子群（对加法）是循环子群，所有理想是主理想，并且它们都可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n的欧拉数。特别地，当n是素数时，只有零理想和单位理想。命题1模n剩余类环的所有子群（对加法）是循环子群；这是显然的，因为模n剩余类环本身对加法构成循环群，而循环群的子群是循环群。得证。命题2模n剩余类环的所有理想是主理想；对上面的所有循环子群（对加法），（[i]），根据理想的定义，[a];[b],[c]（[i]）;有:[b]-[c]=[b-c]（[i]）;[a][b]=[ab]=（[i]）,同理：[b][a]（[i]）；所以（[i]）做为一个理想，显然（[i]）是个主理想，记为。由命题二的证明过程我们得知：所有循环子群（对加法）加上乘法都是模n剩余类环的主理想。命题3模n剩余类环的所有循环子群可由n的所有因子作为生成元生成的(或者由n与其所有因子的差作为生成元生成)，它们的个数都为n的欧拉数。设：n的所有因子为,,,…,,…;为n的因子。任意取一循环子群由[a]生成(0
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