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微分几何,曲面§3.1曲面及其相关概念1.曲面及其参数表示yz=z,曲面-的坐标形式的参数方程:.曲面-的向量形式的参数方程:匸匚.简记为的参称农;为曲面二的参数或曲纹坐标.也称是点■.■'■h■■■.1■■丿数或曲纹坐标.(啊)例i(i)圆柱面x=Pcos0,y=PsinE'''.其中常数「为截圆的半径.■,:[时,「;‘「,:.于(兀”2)=是点2pf角]\Z乙丿的曲纹坐标.2径&27T开26环)2兀:时承0)”或二曰疋曰疋(2)球面;'_■;■称为纬度•「是球面的半这里,•二匸称为经度,::二;;cos^cos「■,.二丿...

微分几何,曲面
§3.1曲面及其相关概念1.曲面及其参数表示yz=z,曲面-的坐标形式的参数方程:.曲面-的向量形式的参数方程:匸匚.简记为的参称农;为曲面二的参数或曲纹坐标.也称是点■.■'■h■■■.1■■丿数或曲纹坐标.(啊)例i(i)圆柱面x=Pcos0,y=PsinE'''.其中常数「为截圆的半径.■,:[时,「;‘「,:.于(兀”2)=是点2pf角]\Z乙丿的曲纹坐标.2径&27T开26环)2兀:时承0)”或二曰疋曰疋(2)球面;'_■;■称为纬度•「是球面的半这里,•二匸称为经度,::二;;cos^cos「■,.二丿cos「sin「■,-sin,0<少2兀<8<—22丿.」v(e)是点爲1葢=匚py^-pJ1_:x」•’,■■■-:1⑶旋转面把XZ平面上一条曲线■--是点绕Z轴旋转,得旋转面:x=甌co$&,y卫t)8in8,工二期.盂=-丄夕(5)j=—^(5)当::,[时,1,-,-(15(“")二一於),斗於),久5)I'/的曲纹坐标•⑷连续函数匚的图象的曲纹坐标Pgy■町该曲面的参数方程为-■-.:和是参数(曲纹坐标).(“)二(1,2)是点—;-厂;;的曲纹坐标.坐标曲线「曲线::=〔,即广叫,.;—曲线:‘='[,即一般地,通过每一点-£.-'■'.I1,有唯一一条;二曲线「和唯一一条二=曲线曲纹坐标网*曲线甘触("宰切I沪删(K率如(洌卽(牟匍"「诫(2率旬(卅⑸伤QdrI、例2(1)圆柱面(例1(1)):::二:-;cos》,丫二二'sinj,z=乙”广仏钱(9=伞树(率戈1二0-呦进=粘)0论)(2)球面(例1(2)):{二门cos.]cos;■,「二二cosjsin「,二〔:sin.].⑶旋转面(例1(3)):x=:八.::f,y=-:工!J,「.一.「’」.⑷连续函数匚二-".'1的图象(例1(4))在曲面匚厂上的(「,】)点处,u-曲线的切向量°"」rv(uOry))=——阳v0)v-曲线的切向量.2.光滑曲面曲面的切平面和法线定义曲面」r门〔「:1的正则点(正常点)Po(],']):r](],:)和r"(:i,;)不平行•正则曲面:处处是正则点的曲面例在双叶双曲面的一叶二‘一二l一门「—;二…—「「二山霍一;;二L(“、%宀)二L-j和一均为正的常数,「一•.,.■■■.■■-J.?,')上,经过点开v——程为_,该曲线在「点的切向量H込丿[匕艺]={丛射nh1,0,ccosh1}\2丿的"-曲线的方={asinhbcoshucosv,ccoshwsinv}经过点%沪1辽[的―曲线的方程为心,该曲线在p点的切向量={0,-bsinh1,0}=(0,-bsinhusinv,csinhucosv}由于在二上的任何点匚处,\和*不平行,故二上的点都是正则点,从而」是正则曲面.定理3.1.1曲面在正则点的邻域中总可以有形如z=z(x,y)的参数表示.曲面》上一点Po处的切方向(方向):工上的经过P的曲线r在Po的切方向.曲面-:r=r(u,v)上曲线r的(曲纹)坐标式参数方程----r:u=u(t),v=v(t).r的向量式参数方程:r=r(u(t),v(t))=r(t).其切方向dudvr(t)=r丨,;i+r•;丄.也可写为dr=rudu+rvdv.dr定理3.1.2曲面上正则点处的所有切向量都在经过该点的坐标曲线的切向量J所决定的平面上.称此平面为曲面在这一点的切平面.曲面上一点的一个切方向的表示:du:dv----表方向dr=rudu+rvdv,也表方向-dr=-rudu-rvdv.二者视为同一方向•例如,du:dv=(-2):3表方向dr=-2ru+3rv,也表方向-dr=2ru-3rv.二者视为同一方向.例环面l\r={(R+fcosu)cosv.(i+rcosu)sinv,rsinu)(为常数,■-'i■--■■■)上的-■'■-.■"点即-J—二」点.该点处的切方向门>-'表示方向dr=q旳+rvdv二{-fsinucosv,-rsinusinv,rcosu}(^7)+{-(A+rcosu)sinvf(去+fcos盘)cosv,0}I*理6={7rsin2cos5—+fcos2)sin5,7rsin2sin5+6(2!+尸cos2)cos5,-Ircos2}r曲面-:r=r(u,v)上在点「I(「,:)的切平面的方程:(m-「(%,%),rUM,%),“(山),%))=0或写成坐标的形式:X-琐吗,%)X.阳耳)兮(咯%)y阳W)z/uq,v0)z-%巾〉兀轴,%)y岛%)兀備n%〉耳欣n%)八(%儿)y/uc,v0)Z-z(i孔(U特例对曲面二:r={x,y,z(x,y)},有』={1,0,去為*卅)},J={0,所以曲面在点(〔,’J)的切平面的方程为:dz1,⑹%和}.£_心,兀)dzdz卽(备片)=0法方向:垂直于切平面的方向.法线:经过曲面上的一点并平行于法方向的直线.法向量:n=r」XJ.单位法向量:』=^XR.曲面的法线方程:m=r(W,%)+玄』(山」())XrU).若曲面的坐标形式的参数方程为;-工……「-,贝y法线方程为特例对曲面二:r={x,y,z(x,y)},有X-&他航)YZ-z(x^t必)'-1所以,即例3求圆柱面r={"二工二二二}(「一’H为常数)上任意点的切平面和法线的方程.解因为』={—p迪&处0$&0}={0,0,1}.在任意点的切平面方程为X-pcos3-Q$in80Y-p沁0PCOS&0Z-z01=0Xcosf?+Ysin0-p=O.在任意点的法线方程为2-乂-psin&pcos900X-pcos9pcos9001Y-QinB0-/?sin910["XsinYcos^=0,Lz-z=o§3.2曲面上的双参数活动标架1.曲面的双参数活动标架定义曲面二:r=r(u,v)的第一基本量E(u,v)=r[r:,F(u,v)=r]r,G(u,v)=r1r.叼_:—~~=k&gJe根据Lagrange恒等式,有22(r」Fr)(「』;*」)=r:r—(r1r)」=EG-F..于是Ah.勺(u,v),e:(u由此得到曲面-上的正交右手系标架[r(u,v);于它依赖于两个参数u和v,故称之为曲面的双参数活动标架.注1①和e一所张成的平面就是曲面二在一点处的切平面.注2不要记e2的上述繁琐的表达式.要计算e2,首先计算e2=e3xe不要记e2的上述繁琐的表达式1直接计算e2.rJ.和J也可由©和e_线性表示.即FjEG-戸U勺,「十勺+—e_.,v),e「(u,v)].由ei和e3,然后用例1架.解给出正螺面r二J}(b工0为常数)上的一个双参数活动标因为-usinv,ucosv,b}rJ={cosv,sinv,0}于是E=r_r]=1,F=r_r=0,G=rrQ={cosv,sinv,0},]]e上-(r:::r)={bsinv,-bcosv,u},1J_"勺=厂「「{-usinv,ucosv,b}.2.外微分形式在平面上建立直角坐标系,点的坐标用(u,v)表示.du和dv是坐标的微分.用…表示坐标微分之间的外乘运算.规定du…dv=-dv心du,du■■du=0,dv■■dv=0.设f(u,v)是定义在平面区域D上的函数,贝Uf(u,v)du''dv称为D上的以du''dv为基底的二次外微分形式.设f(u,v)和g(u,v)都是定义在平面区域D上的函数.则f(u,v)du+g(u,v)dv称为D上以du和dv为基底的一次外微分形式,也称为发甫(Pfaff)形式.区域D上的函数f(u,v)称为0次外微分形式.对于两个一次外微分形式盘二耳(%讪+%(叩)曲0二»(u卫)du+b](u,y)dv•亠和"的外乘规定为flA/J=(a1du+a2dv)A(b1du+badv)=:.■'■■■■:!'.■<■'-•:[:;厂丁!「卜■■'■VI■.i.'-■-:.7亓=(ajba-ajbjJduAdr.它是一个二次外微分形式.设都是一次外微分形式.则('为常数),(珂+他)八0二厲八0+斶/盘八0二_0八盘,设D是平面上的一个区域,D上的两个Pfaff形式a=a^ujJdu+a/u^Jdv,和^=b1(uIv)du+b2(u,v)dv分别对应D上的两个向量场a={},b={I、}•若它们在D上的每一点处都是线性无关的,则称这两个Pfaff形式线性无关.引理3.2.1设给定平面区域D上的两个Pfaff形式二和匚.若;11,芸八:二二U则存在D上的函数f(u,v),使得引理3.2.2(Cartan引理)设给定平面区域D上的两个线性无关的Pfaff形式:和:(即:「_-'")•若另有D上的两个Pfaff形式I和L,使得则存在D上的函数(i,j=1,2),使得2A二&沪jTOC\o"1-5"\h\z问(i=1,2),ai<二a.并且二(i,j=1,2).外微分运算对于0次外微分形式f(u,v),定义—au+—dvdf(u,v)=丄一,;对于一次外微分形式,定义张11.氏21.刼:*,A丄品Ax,一duadu+一dvadu+——duadv+—dvAdv11■'=-i-i.;「dudaxda2"du)dv对于二次外微分形式,定义、jir*jAx—■duAduAdv+n—dvAduAdv=0注外微分把外微分形式的次数提高一次.引理3.2.3(Poineare引理)设:J为平面区域D上的任意次外微分形式.贝Ud(dQ)二0.引理324设f和g都是0次外微分形式,二和都是Pfaff形式.则d(fg)=(df)g+f(dg),d(f二)=df+fd二,d(二f)=(d二)f-二…df,d(&A0)=0. 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 作为练习留给读者.3双参活动标架的基本方程给定曲面二:r=r(u,v)上的一个双参数活动标架为[r(u,v);引(u,v),e_(u,v),e(u,v)].设dr=覘+m霭+4常tI2mde2—吒限i+眄先+①亍牝,cfe3=翅%+硝勺+磅务其中;和二(i,j=1,2,3)都是关于du和dv的Pfaff形式,其系数为(u,v)的函数.命题证明dv^EG-F23dr(g必+皿卩)-y/Edu+-4=dv\E\E=dre2=(radu+牛“)4e4eg-f2dv引理325一.——I,-J(i,j=1,2,3)根据引理3.2.5,有才二a;二®f=0,肝二-屍,號二-减號二-尿故有双参数活动标架的基本方程L1"Jdr=e气+。勺,dq=號的-+磧务de3=尿%+诡牡其中本质的相对分量是-」、「、#、•['和丄[.其具体表达式可由下列关系式导出例2确定正螺面r={ucosv,usinv,bv}(b基本方程中的本质分量.解工0为常数)上的双参数活动标架的所以de由例1,可知E=1,F=0,G=:U1={cosv,sinv,0},1+b2{-usinv,ucosv,b}丄1e「=「』Xr1=Ju'+b'{bsinv,-bcosv,u}.,F加=-\[Edu+dv=du护二JeG二F_&对_+护击?pd一_=d{cosv,sinv,0}={0,0,0}du+{-sinv,cosv,0}dv,bb…!亠L,cosv,{-usinv,ucosv,b}du+2a“I=de^-e2={-sinvrcosv,0}dv-…!亠i'{cosv,sinv,0}dv.{-usinv,ucosv,B}=”dv,血+护血+护ej=乌=(-smv,cosv,0)^v—(bsinv,-bcosvru}=dv应+员J/+护sinvTu.b,刃口V,‘cosV,、.护&2+护J/+护--ubh.r.-cosv,’sinu>av.辭+沪J/+护.——T血由于j比二简单,所以在计算*时,不用公式--;:『•.4.双参数活动标架的结构方程5.双参数活动标架的基本定理6.双参数活动标架结构方程的代数认识引理3.2.9在曲面上,处处有*丁=:.定理3.2.11胡二泅+初.将其相对分量「和用r和厂表其中a、b和c都是;和:的函数.例3对正螺面r={ucosv,usinv,kv},示时的系数函数求出来.解丁二&.,•,厂U.^=7T^T^喝二血于是,由上dv=a(u,v)du+b(u,卩)&卫+卩氐可得丁rdu-b(ufvjdu+cfu,v)&立+Hjv由:":■-,可得c(ufv)=0.§3.3曲面上的第一、第二基本形式定义3.3.1设给定曲面二:r=r(u,v).选取双参数活动标架[r;匚,e],e].贝Ui二3F+(0爭j2ii'称为曲面的第一基本形式•其中(叭=俺(i=1,2)是/与川的通常乘积(不是外微分形式的外乘)•引理3.3.1I-三」]三匚;•心厂I其中r、'和」为曲面的第一类基本量定义3.3.2设给定曲面二:r=r(u,v).贝Un=-drde.称为曲面的第二基本形式.命题(第二基本形式的几种表达法)n=-drde|=:"re|=-■I-:.证明微分等式'J"两边,得::'re|=-drde].于是n=JreLn川I.?■■■I:二I^.-'■:J:二•.:」[二L:'-.?■'Iy.'.n.「匚i沽,;:+沱’二;;丁广“例2求圆柱面工:r={门二z}(「门1为常数)的第一基本形式.解于是r']=」={-「二「;,》〕0},r"=r={0,0,1}.一.-\l~Edu+dv-pd8=‘EG片dv=dz4e,逓所以i二加沪+农.例3求球面r={i■f1;:•■,一L-〔-工1、,•--=“V}(.•-';为常数)的第一基本形式.解Jl=J#pco$&$in0,pco$&〔o呻,0},」=r(={-p亦&cos0,—戸$in&sin申,pg从而’’丄「卩二厂,11,;2.于是加二pcos珈,亦二加&.所以i=co"加才+p2d炉.例4正螺面是这样一种曲面,它是一条动直线的运动轨迹•该动直线与一条称为旋转轴的定直线垂直相交,并围绕轴作匀速转动,同时,动直线还沿轴的方向作匀速直线运动求正螺面的第一基本形式•解取旋转轴为匚轴,一'轴的正向与动直线.的匀速直线运动方向一致•以J表示.旋转时的角速度,:表示.'作匀速直线运动的速度•取「H时.的位置为;轴•以」表示.上的点到匚轴的有向距离•于是在一时刻,.与..轴正向的夹角'■-7,_二.从而x=uco$(0f),y=u$也(如),z=d.即_cvs令(常数)•则正螺面有参数方程,=„,—◎•从而其向量式方程为r={zzcosv,usinv,av}其中:和r为参数•故二{cosv,sin耳0)!;={-«sin巴“cos匕a]从而£=1,池0,G二/+/.于是所以[二加+(小+/)扣.例5求球面r={i'1;;•■,»--[■?、,•--工.V}(•'八"为常数)的第二基本形式•解由例3可知°1={-,於參,0},e]={-二二占VnGm,負汇},e[={〔上二上二门二二二,订|,:1}.^=pcos6d(p,冷二pd&,就二血「电={_co$初卩,一汕州9,0}•{co$0co$w,co$0sin®,血0}=-cosEd申,(2?2~“勺'勺={-cos5cos勰0+siti0sin(pd(p,-cos&sin昶Qcosg)d(p,-sin0d9}‘{0cos®cos0sinqsm&]所以n.丁八厂二-小;门,*山1八】L■■''7\1(H〕为常数)的第二基本形式因为川二{cos必sinvt0},「二t-.>.二IEHG二出+P.片={cosv,sinvr0}厂二»,犷二J?+F和_-k旺一曲+pdvdu所以§3.4曲面上第一、第二基本形式的几何曲面上曲线的弧长命题设给定曲面;;‘—*」.「上的曲线『卫二琥)宀二讹)莎)_的弧长dtdu空空+Gdtdtdvdtdt其中匸、:和」为第一类基本量.曲面上两方向的夹角曲面上的切方向的表示法给定曲面-J■■'■■■1.其上的一点的切方向1j丨可表示为I2⑴■■■■工■'■I[;⑵指方向S'i-;⑶.?、:——指方向'■■■■■-「I:.注dvE血+F4EG-F2励竝一0.d:和■丁〕.<:■■'可互相决定.因而甘二旳和■丁〕<:■■■'实际上是同一方向的不同表示而已上式给出了这两种表示之间的内在联系命题曲面「m上的两个切方向厂-7"和「"一、「的夹角门+F(du6v+dv3u)+GdvSvu=arccos_切方向*+:K「和「卄「]■[的夹角鬥(d)分(可+/(d)(5)u二arccos―「.一.~__J(*3)F+佃⑷)'+(/(◎『证明|dr||亦|(&血扣)•(&風+/卩)&凶十的尸屁加+何亍(qr^)du6u+(©rv)du6v+(rvr^)AfJa+(^■r^)dv3vJ(g心)血【+2(q•QdtdxA殆时&G)占/+2(q甘&¥+(q斥)Bv3Edu&4-F(dudv+6udv)+GdvSv4Edu1+IFdudv+Gdv24^du1+2Fdudv+G^v2和dr5rcos£二M||亦|(肝(d)有+/“£)勺)(刘((5)勺+血弋毋勺)■她切引+%)卜嗣⑹町+分⑷勺尸曲(如(5)+/(*)/(切+3⑷)q窗⑷『+(*◎『定理341曲面上一点处的两个方向"和6u-.6v互相垂直'.:-^■.曲面上一点处的两个方向:;"3和’;-■'''互相垂直-一;一匚定义两条相交曲线在其交点处的切线的夹角称为这两条曲线在该交点处的夹角.若该夹角为直角,则称这两条曲线在该交点处正交.命题曲面上的;-曲线和:-曲线的夹角F$=arccos—==4sg推论曲面的曲纹坐标网是正交网(即任何」-曲线和r-曲线均正交)一:?II.正交曲线族和正交轨线定义与曲面上的一族曲线中的每一条均正交的曲线称为该族曲线的正交轨线.命题微分方程-「厂.-II所代表的曲线族的正交轨线的微分方程是dv__EE-AF二一三上匚.曲面的正交曲纹坐标网定理342在任意正则曲面上总可以取到正交的曲纹坐标网命题若曲纹坐标网是正交网,则曲面域的面积命题曲面的面积L曲面上曲线的曲率定义342设点厂是曲面二上的曲线一上的一点,•:是_在点厂的曲率,:是一在点厂的主法向量•贝U;「称为_在点厂的曲率向量,称为在二上的厂点处沿曲线_的切方向的法曲率•当「-口时,规定法曲率I-.推论1在法曲率的定义中,£A,:'是一的自然参数,其中占“COS卩.其中厂是匚和j的夹角•在法曲率的定义中,设二为=1■■:•则推论2,_为「'M0+屍£+衬CQS3+屈dsds窗cos0+屍sin8ds.[为从-1转到一的单位切向量住的有向角(在切平面,建立坐标系).于是「是一的函数•上,以为横轴正向,一[为纵轴正向证明显然,有2=cos鸥+$m鸥,s=-sinfoj+cos砌.设一的副法向量为y,E与、的夹角为丁•贝yd£-亦1一弘--=cos£+云sin&ds[-sin9d0ex+cosG(彳旳++Od+sin贸咖+瞬血+cos呢』+(才cos0+掳sinB)唧引理对曲面二上的一条曲线一,其弧长「的微分一:「满足证明=护=(九二3)2+(0乎=!•命题曲面二上在一点「处沿任意方向(1)的法曲率其中两类基本形式I和II均在P点取值•证明在二上,取经过点「且在「处的切方向为(「)的任一曲线一•沿用上述推论2中的符号.则对--I-",有dr二rds二ads二(cos他+sin&^ds二cos0炯+sin勺.dr=d%+肚%,i2■,.从而由推论2及上述引理,有上—皆cos3+屈sinB&cos日亦+sindds_e疋+①逐_U法曲率的几何意义定义法截面和法截线法截线-」的曲率向量于是和一;的夹角1或厂.当11时,-.1向j方向弯曲,且^当廿-:时,-.1向j的反方向弯曲,•总之,曲面上一点处沿某一切方向的法曲率,其绝对值等于相应法截线在这点的曲率,其符号视曲面在该方向上向j的哪一侧弯曲而定:若曲面向j的正侧弯曲,则法曲率为正;若曲面向j的负侧弯曲,则法曲率为负•1J——定义曲面二在其上一点丄■处沿某切方向的法曲率仁的倒数’::称为法曲率半径•设点厂是曲面二上的曲线一上的一点,丁是一在点厂的曲率,「是一在点厂的主法向量,二是j和「的夹角,于是二在「点沿_的切方向的法曲率■■---:令_1P~—k(『在点p的曲率半径).贝yp=pjo岬.该公式的几何意义可陈述为如下定理•Meusnier(梅尼埃)定理曲面上的曲线一在给定点厂的曲率中心「就是与曲线_具有相同切线的法截线亠」在同一点「的曲率中心7在曲线_的密切平面上的投影•例1在球面上验证梅尼埃定理:把梅尼埃定理中的_取为一个球面上的小圆,取为与该小圆相切于点丄的大圆•则梅尼埃定理显然成立•曲面上一点处的主曲率命题给定曲面二上的一点丄-处的一个切方向(丿).若从一1转到(:)的有向角为:(在「点的切平面上,以一1为横轴正向,I为纵轴正向,建立坐标系),则在「处沿方向(_;')的法曲率a=1=.亡a=■亡i=[2cos2E+2bcos&sind+csin29=+cos2&+bsin2022其中」、:和】均在j取值.定义若在曲面上的一点处,有一:;一:11,则该点称为曲面上的脐点.若,则该点称为平点;若-■■--i.i且£-〔〕,则该点称为圆点.注i脐点分为平点和圆点两种.可以证明:球面上的点都是圆点,平面上的点都是平占I八、、■注2在脐点处,沿任何方向的法曲率"都相同,且上述命题).在平点处,沿任何方向的法曲率*;在圆点处,沿任何方向的法曲率’'二‘.定义343曲面上非脐点处法曲率的最大值和最小值称为曲面在这点处的主曲率.使法曲率取得最值的切方向称为曲面在该点处的主方向•命题曲面上一点处的主曲率是方程疋-(a+血一沪)二0的两个根."命题主方向满足方程财y+(亡一町於沪-x^2)2=o.注曲面上一点若为非脐点,则恰有两个主方向,并且它们彼此正交(方向相反的两个主方向视为一个切方向)曲面上的一点若为脐点,则该点处的任何方向都是主方向定理344(主方向判定定理,罗德里格()定理)若方向(d)=q':/是主方向,贝U込二\dr,其中-一爲是沿方向(:')的法曲率;反之,若对于方向『I-二"::有d®=Adr,则(_:)是主方向,并且由证明=是沿方向(丿)的法曲率.dr二必1+兀,込=点+园勺,込y.dr-成易0=-b^-h^-cd?10卅/0可得=[b9乎+(s--尿砂拓若(_:')是主方向,则由上个命题,可知?.因此丄「.设-,.两边与一:「作内积,贝W心.所以反之,若对于方向认丄肃/,有暑-,则牲[曲〜.因此丽丫+£一町決沪一“(02=0.所以(匚)是主方向,且与前面同理可证」-匚,"是沿方向(匚)的法曲率.定义3.4.4对于曲面上的一条曲线,若其上每一点处的切方向都是曲面在该点处的主方向,则此曲线称为曲面上的曲率线.命题曲面上的曲率线的微分方程是丽y+(C「町决沪—列型学=o定义曲面上两族曲率线构成的曲线网称为曲率线网.命题在不含脐点的曲面上,经过参数的适当选择,总可以把曲纹坐标网取为曲率线网.注当曲纹坐标网是曲率线网时,为;-曲线(曲率线)的切方向,为r-曲线(曲率线)的切方向.^=0,:1.曲面的第一和第二基本形式分别简化为1二研+的二加+加,H=a(^/+c(^)a.沿方向的法曲率a+ca-c122cos28?其中与第一主方向的夹角•八-,:'和八i为主曲率定理345(欧拉(気山)公式)若曲面一点处的方向-】I与这一点处的第一主方向的夹角为./,则该方向上的法曲率二:与这点的主曲率X和【之间有如下关系:血(d)=£cos2ff+kjsin2&.其中;i是第一主方向上的法曲率•这个式子称为欧拉公式.证明在脐点处,公式显然•在非脐点厂的附近,将无脐点出现•于是可取曲面上的曲纹坐标网为曲率线网,从而有cos20a+ca-c.2c•2e1(COSJ&—0)22_a/5+sin20)+-_-(cos2sin2d")22=acos20+csin20-蛊ccsa日+為sin2&其中[「角与曲纹坐标的选择无关.曲面的高斯曲率与平均曲率定义设"和-为曲面上一点处的两个主曲率•贝陀们的乘积儿二称为曲面在这一点的高斯曲率,通常用丄表示通常用1表示.它们的平均数2:-1":'1称为曲面在这点的平均曲率,命题定义曲面上的点根据其高斯曲率的取值可以分为如下三类:椭圆点:亠二:'"■-;双曲点:二一二:'■':;抛物点:匚一阳-'-.•命题旦I2,L-.证明园A云二+c^2)=(ac-4a)(^1A®a)=^(01A®3)从而由定理326中的高斯方程,得到K—'~J2—1~1~=~2丁八;'・定理3.4.6设给定两个曲面’丫」’八,;.:一4丄.若它们的第一基本形式<和-;作为二:',的二次型相等,即-1-:,则这两个曲面有相同的高斯曲率丄.例2均曲率.试求旋转曲面J--ll:,"■1:----(■;"「」)的高斯曲率和平解心二{0cosE0sin&r1)re=®sin&t$cos&0}因此—II,;:;.師——q—―1■{0cos已审sin&1)&2=—抚二丄{—(psin审cos9t0}={-sinB、cos0,0}x&2—~,■{一cos&—sinB’0}=W,(2)1-黑1+沪)(1+昭\de,de2=d{—sin0tcos0t0)={-cosR-sin&fO}d0?从而所以二,■.1,缈;—B丹丄卢川=时"叽1列日一-尸1一d8「1p!心‘.】+0,-須2⑷+妙爭例3对于给定曲面,若曲面上每一点处的平均曲率.2.,则该曲面称为极小曲面•可以证明,以空间闭曲线为边界的曲面域中,面积最小的曲面是极小曲面,即平均曲率取出时为0的曲面.极小曲面的实际模型是将空间中弯曲成闭曲线的铅丝浸入肥皂溶液中,所得的皂膜曲面.现在求极小旋转曲面,即匚.的旋转曲面•由例2可知,—1+严即2砍+歼.于是I-■"鳥•由此可得即l[ln(l+^)]r=(ln崭芒1积分后可得即:::一二J-■■亍(盘为常数),上式可以化为教会我们如何去看待人生读书是人生的一门最不缺少的功课,阅读书籍,感悟人生,助我们走好人生的每一步但这两式实为同一式=Ctcost一+c匕丿.熬)二acosh—为简便,取’二(悬链线).这里省略了积分常数,因为它只不过表示平行于旋转轴的平移而已•所以,曲面是由悬链线(£S\Gl—■—x=—夕曲+百用2I」旋转而成,称为悬链面•在形状上,它很像压扁的旋转单叶双曲面.根据企业发展战略的要求,有计划地对人力、资源进行合理配置,通过对企业中员工的招聘、培训、使用、考核、评价、激励、调整等一系列过程,调动员工地积极性,发挥员工地潜能,为企业创造价值,确保企业战略目标的实现。读书是一种感悟人生的艺术读杜甫的诗使人感悟人生的辛酸,读李白的诗使人领悟官场的腐败,读鲁迅的文章使人认清社会的黑暗,读巴金的文章使人感到未来的希望每一本书都是一个朋友,
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