江苏省南京市溧水区第二高级中学、第三高级中学等三校联考2020届高三数学上学期期中试题（通用）

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注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式：锥体的体积公式：V＝eq\F(1,3)Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2－4x＜0}，则A∩B＝▲．2．若复数z满足zi＝1－3i，其中i为虚数单位，则＝▲．开始结束输入a,ba＞b输出aa←a×bYN3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为▲．4．执行如图算法框图，若输入a＝4，b＝eq\F(1,2)，则输出a的值是▲．5．在平面直角坐标系xOy中，双曲线eq\F(x2,a2)－eq\F(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±eq\R(,3)x，则该双曲线的离心率为▲．6．任取x∈{－2，2，4}，y∈{－1，1，2}，则使得向量a＝(2，1)与b＝(x，y)平行的概率为▲．7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时f(x)＝eq\R(,x)＋a，a为实数，则f(－4)的值是▲．8．已知数列{an}是等比数列，且a1a3a5＝8，a7＝8，则a1的值是▲．9．已知矩形ABCD的边AB＝4，BC＝3，若沿对角线AC折叠，使得平面DAC⊥平面BAC，则三棱锥D－ABC的体积是▲．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P(－1，0)的直线l与圆C：x2＋y2－2x＝0交于A，B两点，若CA⊥CB，则直线l的斜率是▲．11．已知α∈(0，eq\F(π,2))，且P(4，3)是α－eq\F(π,6)终边上一点，则cosα的值是▲．12．实数x，y满足条件xy＋1＝4x＋y且x＞1，则(x＋1)(y＋2)的最小值是▲．13．已知AB是半径为3的圆M的直径，点C是圆周上除A，B外一点，若点P满足eq\o(PC,\d\fo1()\s\up7(→))＝2eq\o(CM,\d\fo1()\s\up7(→))，则eq\o(PA,\d\fo1()\s\up7(→))·eq\o(PB,\d\fo1()\s\up7(→))的值是▲．14．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\al(eq\F(1,x＋1)－3，－1＜x≤0，,x，0＜x≤1，))且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是▲．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（本小题满分14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知eq\R(,3)bcosC＝csinB．（1）求角C的大小；（2）若c＝2eq\R(,7)，a＋b＝10，求△ABC的面积．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．EDB1A1C1CBA求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq\F(x2,a2)＋eq\F(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\F(eq\R(,2),2)，且短轴长为2．（1）求椭圆的方程；yxONMDCBA（2）设椭圆的上、下顶点分别为A，B，点C，D是椭圆上关于y轴对称的两个不同的点，直线AC，BD交x轴分别于点M，N，求证：eq\o(OM,\d\fo1()\s\up7(→))·eq\o(ON,\d\fo1()\s\up7(→))为定值．18．（本小题满分16分）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形ABCD．QUOTEAB，AD的长分别为2eq\R(,3)m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，∠COD＝eq\F(2π,3)QUOTE．图1图2图3图4（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设BC与地面水平线l所成的角为θ．记拱门上的点到地面的最大距离为h，试用θ的函数 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示hQUOTE，并求出h的最大值．19．（本小题满分16分）等差数列{an}公差大于零，且a2＋a3＝eq\f(5,2)，a22＋a32＝eq\f(13,4)，记{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}各项均为正数，公比为q，记{bn}的前n项和为Tn．（1）求Sn；（2）若q为正整数，且存在正整数k，使得Tk，T3k∈{S2，S5，S6}，求数列{bn}的通项公式；（3）若将Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，求{cn}的一个通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝x2－(a＋2)x＋2，g(x)＝lnx，a∈R．（1）若曲线y＝g(x)在x＝1处的切线恰与曲线y＝f(x)相切，求a的值；（2）不等式f(x)≥xg(x)对一切正实数x恒成立，求a的取值范围；（3）已知a＜2，若函数h(x)＝f(x)＋ag(x)＋2a在(0，2)上有且只有一个零点，求a的取值范围．2019-2020学年度第一学期高三期中考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21．【选做题】在A、B、C三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换已知x，y∈R，矩阵A＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(x1,y0))有一个属于特征值－2的特征向量α＝eq\b\bc\[(\a\al\vs2(1,－1))，（1）求矩阵A；（2）若矩阵B＝eq\b\bc\[(\a\al\vs4(12,06))，求A－1B．B．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，P为曲线C1：eq\b\lc\{(\a\al(x＝cosθ，,y＝eq\R(,3)sinθ，))(θ为参数)上的动点，Q为曲线C2：eq\b\lc\{(\a\al(x＝4－eq\F(eq\R(,2),2)t，,y＝4＋eq\F(eq\R(,2),2)t，))(t为参数)上的动点，求线段PQ的最小值．C．选修4—5：不等式选讲设a，b，c为正实数，求证：eq\F(a,b＋c)＋eq\F(b,c＋a)＋eq\F(c,a＋b)≥eq\F(3,2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，AP＝AB＝1，F，E分别是PB，PC中点．（1）求DE与平面PAB所成角的正弦；APFECBD（2）求平面ADEF与平面PDE所成锐二面角的值．23．（本小题满分10分）2020年6月，第十六届欧洲杯足球赛将在12个国家的13座城市举行.某体育网站组织球迷对德国、西班牙、法国、葡萄牙四支热门球队进行竞猜，每位球迷可从四支球队中选出一支球队，现有三人参与竞猜.（1）若三人中每个人可以选择任何一支球队，且选择每个球队都是等可能的，求四支球队中恰好有两支球队有人选择的概率；（2）若三人中有一名女球迷，假设女球迷选择德国队的概率为eq\F(1,3)，男球迷选择德国队的概率为eq\F(2,5)，记X为三人中选择德国队的人数，求X的分布列和数学期望.南京市建邺高级中学、溧水第二高级中学期中考试高三数学参考答案2019.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{2，3}2．3．804．eq\F(1,2)5．26．eq\F(1,3)7．－28．19．eq\F(24,5)10．±eq\F(eq\R(,7),7)11．eq\F(4eq\R(,3)－3,10)12．2713．7214．(－eq\F(9,4)，－2]∪(0，eq\F(1,2)]二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．解：（1）因为，由正弦定理可得：所以…………4分又因为…………5分所以…………6分（2）因为…………8分所以…………10分所以…………14分EDB1A1C1CBA16．证明：（1）直三棱柱ABC－A1B1C1中，，所以四边形是平行四边形，且所以为中点，…………2分同理为中点，所以…………4分又因为平面，平面，所以…………6分（2）直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面，因为平面，所以，因为，，平面所以平面…………12分又因为平面所以平面平面…………14分yxONMDCBA17．解：（1），…………2分解得：所以椭圆方程为：…………4分（2）设，则：…………6分所以…………8分同理…………10分所以又因为，…………14分18．解：（1）如图，过作与地面垂直的直线交，QUOTE于点，，交劣弧于点，的长即为拱门最高点到地面的距离．在中，，，所以，圆的半径．所以．…………4分答：拱门最高点到地面的距离为5．（2）在拱门放倒过程中，过点作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点．当点在劣弧上时，拱门上的点到地面的最大距离等于圆的半径长与圆心到地面距离之和；当点在线段上时，拱门上的点到地面的最大距离等于点到地面的距离．连接由（1）知，在中，…………6分．以为坐标原点，水平直线为轴，建立如图所示的坐标系．①当点在劣弧上时，．由，，由三角函数定义，得则．…………8分所以当，QUOTE即时，取得最大值．…………10分②当点在线段上时，．连接，设，在中，则，．由，得QUOTE．所以QUOTEQUOTE．…………13分又当时，QUOTEQUOTE．所以QUOTE在上递增．所以当QUOTE时，取得最大值5．因为，所以的最大值为．…………15分综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）m。……16分19．解：（1）设{an}公差为d，d＞0，因为a2＋a3＝eq\f(5,2)，a22＋a32＝eq\f(13,4)，所以a1＋d＋a1＋2d＝eq\f(5,2)，(a1＋d)2＋(a1＋2d)2＝eq\f(13,4)，解得a1＝eq\f(1,2)，d＝eq\f(1,2)，于是Sn＝eq\f(1,2)n＋eq\F(n(n－1),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(n2＋n,4)．…………4分（2）{S2，S5，S6}＝{eq\f(3,2)，eq\f(15,2)，eq\f(21,2)}当q＝1时，Tk＝kb1，T3k＝3kb1，eq\f(T3k,Tk)＝3，舍；…………5分当q≠1时，Tk＝eq\f(b1(1－qk),1－q)，T3k＝eq\f(b1(1－q3k),1－q)，所以eq\f(T3k,Tk)＝1＋qk＋q2k，…………6分因为q∈N*且q≠1，所以q≥2，因此eq\f(T3k,Tk)≥1＋2＋4＝7，于是Tk＝eq\F(3,2)，T3k＝eq\f(21,2)，因此1＋qk＋q2k＝7，解得qk＝2或－3(舍)，…………8分从而q＝2，k＝1，代入Tk＝eq\f(b1(1－qk),1－q)得b1＝eq\f(3,2)所以bn＝3×2n－2…………10分（3）因为Sn＝eq\f(n2＋n,4)为整数项，所以n＝4k或者4k－1，k∈N*当n＝4k－1，k∈N*时，Sn＝k(4k－1)；当n＝4k，k∈N*时，Sn＝k(4k＋1)；……………………12分因为Sn中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{cn}，且k(4k－1)＜k(4k＋1)＜(k＋1)[4(k＋1)－1]＜(k＋1)[4(k＋1)＋1]，所以当n为奇数时，cn＝(4×eq\f(n＋1,2)－1)×eq\f(n＋1,2)＝eq\f(2n2＋3n＋1,2)；当n为偶数时，cn＝eq\f(n,2)×(2n＋1)＝eq\f(2n2＋n,2)；所以cn＝eq\b\lc\{(\a\al(eq\f(2n2＋3n＋1,2)，n为奇数，,eq\f(2n2＋n,2)，n为偶数．))……………………16分20．解：（1）因为g′(x)＝eq\F(1,x)，所以k＝g′(1)＝1，又切点为(1，0)因此曲线y＝g(x)在x＝1处的切线为y＝x－1，…………2分将y＝x－1与y＝x2－(a＋2)x＋2联立，消去y得：x2－(a＋3)x＋3＝0，由题意知△＝(a＋3)2－12＝0，解得a＝－3±2eq\R(,3)．…………4分（2）因为f(x)≥xg(x)，所以x2－(a＋2)x＋2≥xlnx，即a＋2≤x＋eq\F(2,x)－lnx，设φ(x)＝x＋eq\F(2,x)－lnx，x＞0，则φ′(x)＝eq\F((x＋1)(x－2),x2)，…………6分当x∈(0，2)时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增；因此φ(x)min＝φ(2)＝3－ln2，所以a＋2≤3－ln2，即a≤1－ln2．…………8分（3）h(x)＝f(x)＋ag(x)＋2a＝x2－(a＋2)x＋alnx＋2a＋2，h′(x)＝eq\F((x－1)(2x－a),x)，…………9分=1\*GB3①当a≤0时，当x∈(0，1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；所以h(x)min＝h(1)＝a＋1，当a＋1＜0即a＜－1时，因为h(e－2)＝e－4－(a＋2)e－2＋2＝e－2(e－2－a)＋2(1－e－2)＞0，又h(1)＝a＋1＜0，所以h(x)在(0，1)上存在唯一的零点，因此h(x)在(1，2)上无零点，所以h(2)≤0即aln2＋2≤0，解得a≤－eq\F(2,ln2)又a＜－1，所以a≤－eq\F(2,ln2)．当a＋1＝0即a＝－1时，h(x)有唯一的零点x＝1．当a＋1＞0即－1＜a≤0时，h(x)＞0恒成立，所以h(x)无零点．…………13分=2\*GB3②当0＜a＜2时，当∈(0，eq\F(a,2))时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x∈(eq\F(a,2)，1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；因为h(1)＝a＋1＞0，所以当x∈(eq\F(a,2)，＋∞)，h(x)无零点．设x0＝e－eq\F(2a＋2,a)，则0＜x0＜1，于是h(x0)＝x0(x0－a－2)＜0，又h(eq\F(a,2))＞h(1)＞0，所以h(x)在(0，eq\F(a,2))上存在唯一的零点，即h(x)在(0，2)上有且只有一个零点，…………15分综上可知：a≤－eq\F(2,ln2)或a＝－1或0＜a＜2．…………16分数学附加题答案：21.A【答案】（1）A.（2）.【详解】（1）由题意可得2，得即x＝﹣1，y＝2；∴A.…………4分（2）|A|＝﹣1，∴，…………8分∴.…………10分21.B【答案】最小值。【详解】对曲线消去参数曲线的直角坐标方程为．…………2分设曲线上的任意一点为，则点到曲线：的距离，…8分当，即时，．…………10分21.C【答案】见证明【详解】因为，，所以…………4分由，由柯西不等式，得…………8分所以，即.…………10分22.【答案】（1）证明见解析；（2）.【详解】(1)易知两两垂直，故分别以其所在直线为坐标轴建系则(2)求得平面的一个法向量，平面的一个法向量平面与平面所成锐二面角为.23.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：（1）由题意结合古典概型计算公式可知满足题意的概率值为.（2）由题知，计算相应的概率值可得，，,，据此得到相应的分布列，计算其数学期望为.详解：（1）设恰好有两支球队被人选择为事件，由于三人等可能的选择四支球队中的任意一支，有种不同选择，每种选择可能性相等，故恰好有两支球队被人选择有种不同选择，所以.（2）由题知，且，，,∴的分布列为∴.点睛：本题主要考查古典概型概率公式，离散型随机变量的分布列和数学期望等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.