宁夏大学附属中学2020届高三数学上学期第六次月考试卷 理

PAGE宁大附中2020学年第一学期第六月考高三数学（理）试卷选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案填在试卷答题卡上）（1）已知集合M{1,2，zi}，i为虚数单位，N＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z＝(　　)A．－2i　　　　　　　　B．2iC．－4iD．4i（2）已知下列四个命题：①设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充要条件②命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是:∃x0∈R，|x0|＋xeq\o\al(2,0)<0③若一个球的半径缩小到原来的eq\f(1,2)，则其体积缩小到原来的eq\f(1,8)；④设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件；其中真命题的序号为(　　)A．①②③④　　　B．①②③　C．②③④D．②③（3）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石（4）已知等比数列{}中，等差数列中，，则数列的前9项和等于（）A.9B.18C.36D.72（5）已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是（）A、.B、.C、.D、.（6）如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC、ED，则sin∠CED＝(　　)A.eq\f(3\r(10),10)　　　　B.eq\f(\r(10),10)C.eq\f(\r(5),10)D.eq\f(\r(5),15)（7）已知a、b是不重合的直线，、是不重合的平面，下列说法中：⑴a∥，∥a∥；⑵a⊥α，a∥b⇒b⊥α⑶；a⊥α，a⊥b⇒b∥α.⑷a⊥α，a⊥β⇒α∥β.其中正确说法的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个（8）下列命题正确的是（）A．若·=·，则=B．若与是单位向量，则·=1C．若//，//，则//D．若，则·=0（9）已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（）A、B、C、D、（10）设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　　)　A.B.C.D.（11）已知函数则函数的图象的一条对称轴是()A．B．C．D．（12）对二次函数（为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是（）A．是的零点B．1是的极值点C．3是的极值D.点在曲线上二、填空题：本题共4小题，每小题5分（13）若直线过点，则的最小值等于（14）已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的正切值为（15）已知圆，设平面区域，若圆心,且圆C与x轴相切，则的最大值为（16）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n，六边形数N(n,6)＝2n2－n，……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分为12分）设向量a＝(eq\r(3)sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).（Ⅰ）若|a|＝|b|，求x的值；（Ⅱ）设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值．(18)（本小题满分12分）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)，抛物线E：x2＝2py的焦点为M.（Ⅰ）若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；（Ⅱ）过F的直线L与C相交于A、B两点，求的值（19）（本小题满分为12分）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．（20）（本小题满分12分）已知动点P到定点F(1，0)和到直线x＝2的距离之比为eq\f(\r(2),2)，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y＝mx＋n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点(与A，B不重合)．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2＋y2＝1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值？若有，求出其最大值及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．（21）（本小题满分12分）设函数，．（Ⅰ）求的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．（22）（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆C的极坐标方程为ρ2－2eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＋1＝0；以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系。（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程并写出圆心坐标和半径；（Ⅱ）若α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t为参数)，点P的直角坐标为(2,2)，直线l交圆C于A，B两点，求eq\f(PA·PB,PA＋PB)的最小值．宁大附中2020学年高三年级月考数学（理）试卷答案一、选择题（5分×12分=60分）题号123456789101112答案CCBBDBCDADAA二、填空题（5分×4=20分）13、414、15、3716、1000三、解答题（17-21题每题12分，22题10分，共计70分）17解：本题考查向量与三角函数的综合应用，侧重考查三角函数的性质．(1)由|a|2＝(eq\r(3)sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，从而sinx＝eq\f(1,2)，所以x＝eq\f(π,6).(2)f(x)＝a·b＝eq\r(3)sinx·cosx＋sin2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)的最大值为，f(x)的最小值为018解：(1)证明：在题图①中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.即在题图②中，BE⊥OA1，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，又由(1)知，BE⊥OA1，BE⊥OC，所以∠A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以∠A1OC＝.设平面A1BC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD的夹角为θ，19【解析】：(1)由题意得抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F(1，0)，抛物线E：x2＝2py的焦点为M，所以p＝2，M(0，1)，①当直线l的斜率不存在时，x＝0，满足题意；②当直线l的斜率存在时，设方程为y＝kx＋1，代入y2＝4x，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0，当k＝0时，x＝eq\f(1,4)，满足题意，直线l的方程为y＝1；当k≠0时，Δ＝(2k－4)2－4k2＝0，所以k＝1，方程为y＝x＋1，综上可得，直线l的方程为x＝0或y＝1或y＝x＋1.[来(2)-420【解析】：(1)设点P(x，y)，由题意可得，eq\f(\r(（x－1）2＋y2),|x－2|)＝eq\f(\r(2),2)，整理可得eq\f(x2,2)＋y2＝1.∴曲线E的方程是eq\f(x2,2)＋y2＝1.21.由解得.与在区间上的情况如下：所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.因为存在零点，所以，从而.当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点.当时，在区间上单调递减，且，，所以在区间上仅有一个零点.22【解析】(1):