基本初等函数知识点及练习

【指数与指数函数】 一、指数 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： ； ． 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ： ． 2．整数指数幂的运算性质：（1） ， （2） ； （3） ； （4） ． （二）根式 1．根式的概念（ 的 次方根的概念）：一般地，如果一个数的 次方等于 EMBED Equation.3 ，那么这个数叫做 的 次方根． 即： 若 ，则 叫做 的 次方根． 例如：27的3次方根 ， 的3次方根 ， 32的5次方根 ， 的5次方根 ． 说明：（1）若 是奇数，则 的 次方根记作 ；若 ，则 ，若 ，则 ； （2）若 是偶数，且 ，则 的正的 次方根记作 ， 的负的 次方根，记作： ； 例如：8的平方根 ；16的4次方根 ． （3）若 是偶数，且 则 没意义，即负数没有偶次方根； （4） ， ； （5）式子 叫根式， 叫 ， 叫 ． 2． 的 次方根的性质 （1）一般地，若 是奇数，则 ；若 是偶数，则 ． （2） （注意 必须使 有意义）． （二）分数指数幂 1．分数指数幂： 规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是 ； （2）正数的负分数指数幂的意义是 ； （3）0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 ． 2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用 ； ； ． 说明：当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式； 例如： ， 【练习巩固】 1．求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 2．已知 ， ， 化简： ． 3．计算： 4．求值： ． 5． 用分数指数幂的形式表示下列各式 ：（1） ；（2） ；（3） ． 6．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1） ；（2） ； 7．计算下列各式：（1） ；（2） ． 二、指数函数 1．指数函数定义：一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，函数定义域是 ． 2．指数函数 在底数 及 的图象特征及函数性质： 图象特征 函数性质 图象的伸展： 图象的对称性： 图象的位置： 图象过定点： 自左向右看，图象逐渐 自左向右看，图象逐渐 在第一象限内的图象纵坐标都 在第一象限内的图象纵坐标都 在第二象限内的图象纵坐标都 在第二象限内的图象纵坐标都 图象上升趋势是越来越 图象下降趋势是越来越 函数值开始增长 ，到了某一值后增长速度 函数值开始减小 ，到了某一值后减小速度 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf ：指数函数 在底数 及 这两种情况下的图象和性质： 图象 性质 （1）定义域： ． （2）值 域： ． （3）过点 ，即 时， ． （4）在 上是 函数， 当 时， ；当 时， ． （4）在 上是 函数， 当 时， ；当 时， ． 掌握指数函数在底数不同时的图象变化规律． 当 时， 的图象向上越接近 轴，向下越接近 轴． 当 时， 的图象向上越接近 轴，向下越接近 轴． 【练习巩固】 一、指数函数的定义问题 例：若 ，则 ______________． 练1．已知指数函数图像经过点 ，则 ______________． 练2．设函数 （ 且 ）， ，则（ ） A． B． C． D． 练3．已知 是指数函数，且 ，则 ． 二、指数函数的图像问题 例1：若函数 的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ） A． B． C． D． 例2：画函数 的图像． 练1．方程 的实根的个数为_______． 练2．直线 与函数 的图像有两个公共点，则 的取值范围是________ ． 练3．若 ，则下列不等式中成立的是（ ） 练4．函数 的图象恒过定点____________． 练5．函数 的图像必经过点____________． 练6．设 都是不等于 的正数， 在同一坐标系中的图像如图所示，则 的大小顺序是（ ） A． B． C． D． 三、求解有关指数不等式、方程 例：已知 ，则 的取值范围是___________． 练1．设 ，解关于 的不等式 ． 练2．解方程 ． 练3．若方程 有正数解，则实数 的取值范围是 ． 练4．设 ，使不等式 成立的 的集合是 ． 四、定义域与值域问题 例：求下列函数的定义域、值域． （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 练1．当 时， 的值域为________． 练2．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________． 练3．设集合 ，则 是（ ） A、 B、 C、 D、有限集 练4．求下列函数的定义域与值域（1） ；（2） ；（3） ． 练5．已知 ，求函数 的值域． 五、最值问题 例：函数 在区间 上有最大值14，则 的值是_______． 练1．已知 ，求 的最小值与最大值． 练2．已知 ，求函数 的最大值和最小值． 练3．设 ，求函数 的最大值和最小值． 六、比较大小问题 例：设 ，则（ ） A． B． C． D． 练1．若 ，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 练2．下列三个实数的大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 练3．比较下列各组数的大小： （1）若 ，比较 与 ； （2）若 ， ，比较 与 ； （3）若 ， ，比较 与 ； （4）若 ， ，且 ，比较 与 ； （5）若 ， ，且 ，比较 与 ． 七、单调性问题 例：讨论函数 的单调性． 练1．函数 的单调增区间为___________．练2．函数 的单调递增区间为 ． 练3．函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 练4．函数 的单调增区间为（ ） A． B． C． D． 练5．函数 在 上（ ） A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值 C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值 练6．求函数 的定义域，值域和单调区间． 练7．求函数 的单调区间． 八、函数的奇偶性问题 例：当 时，证明函数 是奇函数． 练1．如果函数 在区间 上是偶函数，则 _________． 练2．若函数 是奇函数，则 _________． 练3．若函数 的最大值为 ，且 是偶函数，则 ________． 练4．设 是实数， ，（1）试证明：对于任意 在 为增函数；（2）试确定 的值，使 为奇函数及此时 的值域． 练5．已知 ．（1）求函数的定义域；（2）判断函数 的奇偶性；（3）求证： ． 【对数与对数函数】 一、对数 1．对数的概念：一般地，如果 EMBED Equation.3 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （其中： 是 ， 是 ， 是 ） 两个重要对数： （1）常用对数：以10为底的对数 ；常用对数： （2）自然对数：以无理数 为底的对数的对数 ． 自然对数： （其中 ）； 对数式与指数式的互化： 2．对数的性质： （1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零： _______； （3）底数的对数是1： _______； （4）对数恒等式： _______； （5） _______． 3．对数的运算法则： ； ； ； 4．对数换底公式： ______________； 5．由换底公式推出一些常用的结论： （1） ， ； （2） ； （3） ； （4） ． 二、对数函数 1．对数函数的概念：函数 EMBED Equation.DSMT4 且 叫做对数函数其中 是自变量，函数的定义域是 2．对数函数 在底数 及 的图象特征及函数性质： 图象特征 函数性质 图象的位置：函数图象都在 轴右侧 图象对称性：图象关于原点和 轴不对称 图象的伸展：向 轴正负方向无限延伸 图象过定点为：函数图象都过定点 自左向右看，图象逐渐上升 自左向右看，图象逐渐下降 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象限的图象纵坐标都大于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 总结：指数函数 在底数 及 这两种情况下的图象和性质： 图象 性质 （1）定义域： ． （2）值 域： ． （3）过点 ，即 时， ． （4）在 上是 函数， 当 时， ； 当 时， ． （4）在 上是 函数， 当 时， ； 当 时， ． 注：对数函数 与 （ 且 ）的图像关于 轴对称． 例：如图中曲线分别表示 ， ， ， 的图象， 的关系是（ ） A． B． C． D． 三、反函数 1．定义：设式子 表示 是 的函数，定义域为 ，值域为 ，从式子 中解出 ，得到式子 ，如果对于 在 中的任何一个值，通过式子 ， 在 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子 就表示 是 的函数（ 是自变量），这样的函数，叫做 的反函数 ，记作 ，即 ，一般习惯上对调 中的字母 ，把它改写成 ． （1）反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 即函数 要有反函数由它必须为单调函数． （2）原函数 的定义域、值域分别是反函数 的 、 ． （3） 与 的图象关于 对称． （4）若 在原函数 的图像上，则 在其反函数 的图像上． 即： 2．求反函数的一般步骤 （1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域； （2）由 的解析式求出 ； （3）将 对换，得反函数的一般表达式 ，标上反函数的定义域（反函数的定义域不能由反函数的解析式求得） 分段函数的反函数可以分别求出各段函数的反函数后再合成． 4．掌握下列一些结论 （1）单调函数 一一对应 有反函数 （2）周期函数不存在反函数． （3）若一个奇函数有反函数，则反函数也必为奇函数 （4）证明 的图象关于直线 对称，只需证 的反函数和 相同． 【练习巩固】 一、对数运算 1．已知 ， ，求 (用 表示)． 2． 3．计算：（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 二、大小比较 1．比较同底数对数值的大小：利用函数的单调性；当底数是同一参数时，要对对参数进行分类讨论； 2．比较同真数对数值的大小：可利用函数图像进行比较，对数函数在同一坐标系中的图像与底数的关系有如下规律：即无论在x轴上面还是下面，底数按顺时针由小变大． 3．比较底数和真数都不相同的对数值的大小：可选取中间量如：“1”、“0”等进行比较． 1．三个数 ， ， 的大小顺序是（ ） 2．比较下列三数的大小：（1） ， ；（2） ， ， ；（3） ， ． 三、对数函数的定义域、值域． 1．函数 的定义域是 ． 2．函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是 ． 3．函数 的定义域是 ，则实数 的取值范围是 ． 4．求下列函数的定义域、值域： (1) ； (2) ； (3) ； (4) 四、对数函数的性质 1． ，当 时，函数的最大值比最小值大3，则实数 ． 2．函数 的图像关于（ ）A． 轴对称 B． 轴对称 C．原点对称 D．直线 对称 3．函数 在 时的值域为 ． 4．设 为奇函数，且当 时， ．(1)求当 时， 的解析式；(2)解不等式 ． 5．根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是增函数． 6．函数 恒过定点_________________． 五、反函数 1．求下列函数的反函数：（1） ；（2） ， ；（3） ； （4） ． 2．求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．（1） ；（2） ． 3．已知函数 ，求其的反函数，以及反函数的定义域和值域． H:\fanwen caiji two\工商局政务服务处廉洁勤政演讲稿.doc 4．已知函数 ，（1）求它的反函数；（2）求使 的实数 的值． 5．设点 既在函数 的图像上，又在它的反函数图像上， （1）求 ；（2）证明： 在其定义域内是减函数． 【幂函数】 1．幂函数的定义： ． 2．幂函数的图象 函 数 图 象 定义域 值 域 奇偶性 单调性 过定点 3．幂函数的性质 （1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象． 幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于 轴对称)； 是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)； 是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． （2）过定点：所有的幂函数在 都有定义，并且图象都通过点 ． （3）单调性：如果 ，则幂函数的图象过原点，并且在 上为增函数． 如果 ，则幂函数的图象在 上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 轴与 轴． （4）奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数．当 （其中 互质， 和 ），若 为奇数 为奇数时，则 是奇函数； 若 为奇数 为偶数时，则 是偶函数； 若 为偶数 为奇数时，则 是非奇非偶函数． （5）图象特征：幂函数 ， 当 时，若 ，其图象在直线 下方，若 ，其图象在直线 上方； 当 时，若 ，其图象在直线 上方，若 ，其图象在直线 下方． 【练习巩固】 一、幂函数定义： 1．在函数 中，幂函数的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ） A． B． C． D． 二、幂函数的图像性质： 1．幂函数的图象都经过点（ ） A． B． C． D ． 2．若幂函数 在 上是增函数，则（ ） A． B． C． D．不能确定 3．幂函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 4．下列函数中既是偶函数又是 上是增函数的是（ ） A． B． C． D． 5．函数 在区间 上的最大值是（ ） A． B． C． D． 6．函数 的图象是（ ） A． B． C． D． 7．下列命题中正确的是（ ） A．当 时函数 的图象是一条直线 B．幂函数的图象都经过 和 点 C．若幂函数 是奇函数，则 是定义域上的增函数 D．幂函数的图象不可能出现在第四象限 8．若 ，那么下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 9．若幂函数 在 上是减函数，则（ ） A． B． C． D．不能确定 10．若点 在幂函数 的图象上，那么下列结论中不能成立的是（ ） A． B． Ｃ． D． 11．使 成立的 的取值范围是（ ） A． 且 B． C． D． 12．当 时，函数 的图象恒在直线 的下方，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 13．若四个幂函数 ， ， ， 在同一坐标系中的图象如右图，则 、 、 、 的大小关系是（ ） A． B． C． D． 14．函数 的图象只可能是（ ） A．B．C．D．13题 15．函数 和 图象满足（ ） A．关于原点对称 B．关于 轴对称 C．关于 轴对称 D．关于直线 对称 16．函数 ，满足（ ） A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数 C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数 17．函数 的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 18．如图1—9所示，幂函数 在第一象限的图象，比较 的大小（ ） A． B． C． D． 19．对于幂函数 ，若 ，则 ， 大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 20．函数 的定义域为__________________． 21．幂函数 的图象过点 ，则 的解析式是____________， 的解析式是______________． 22． 是偶函数，且在 是减函数，则整数 的值是 ． 23．若 ，则 的取值范围是________________． 24．设 ，如果 是正比例函数，则 __________，如果 是反比例函数，则 _________，如果 是幂函数，则 _____________． 25．若幂函数 在 上是增函数， ___________． 26．函数 的对称中心是______________，在区间上是_______函数（填“增”或“减”）． 27．比较下列各组中两个值大小．（1） 与 ；（2） 与 28．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系． （1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ． （A） （B） （C） （D） （E） （F） 29．已知函数 ，求 为何值时， 是（1）正比例函数；（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数． 30．已知幂函数 （ ）在 上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求 的值，并写出相应的函数 ． 31．已知幂函数 的图象与 轴、 轴都无交点，且关于 轴对称，试确 的解析式． 32．求证：函数 在 上为奇函数且为增函数． 33．利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）．（1） ；（2） ． 【综合练习一】 1．已知集合 ，则集合 中元素个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图所示， 是全集， 、 、 是 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A． B． C． D． 3．函数 EMBED Equation.3 是单调函数时， 的取值范围（ ） A． B． C ． D． 4．如果偶函数在 具有最大值，那么该函数在 有（ ） A．最大值 B．最小值 C ．没有最大值 D． 没有最小值 5．函数 在区间 是增函数，则 的递增区间是（ ） A． B． C． D． 6．函数 在实数集上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 7．定义在 上的偶函数 ，满足 ，且在区间 上为递增，则（ ） A． B． C． D． 8．三个数 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 9．函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 10．与方程 的曲线关于直线 对称的曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 11．已知 是 上的增函数，那么 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．设函数 的图象过点 ，其反函数的图像过点 ，则 （ ） A．6 B．5 C．4 D．3 13．函数 的定义域是_________________；值域是____________________． 14．已知全集 ，则 ___________________． 15．函数 在 上为奇函数，且 ，则当 ， ． 16．函数 恒过定点 ． 17．若 ，则 ． 18．已知函数 ，则 的值为 ． 19．若函数 是偶函数，则 的递减区间是_____________． 20．函数 ，当 时是增函数，当 时是减函数，则 _________． 21．（1）求函数 的定义域；（2）求函数 的值域． 22．已知 ， （1）设 ，求 的最大值与最小值；（2）求 的最大值与最小值； 23．已知函数 是定义域在 上的偶函数，且在区间 上单调递减， 求满足 的 的集合． 【综合练习二】 1．设集合 ， ，由以下列对应 中不能构成A到B的映射的是（ ） A． B． C． D． 2．下列四个函数:（1） ；（2） ；（3） ；（4） ，其中定义域与值域相同的是（ ） A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（3） D．（2）（3）（4） 3．已知函数 ，若 ，则 的值为（ ） A．10 B．— 10 C．— 14 D．无法确定 4．设函数 ，则 的值为（ ） A． B． C． 、 中较小的数 D． 、 中较大的数 5．已知矩形的周长为1，它的面积 与矩形的长 之间的函数关系中，定义域为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数y=x2-2x+3在[0，a](a>0)上最大值是3，最小值是2，则实数a的取值范围是（ ） A．0