Logistic Regression(逻辑回归)原理及公式推导
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(逻辑回归)是机器学习中一个非常非常常见的模型,在实际生产环境中也常常被使用,是一种经典的分类模型(不是回归模型)。本文主要介绍了Logistic Regression(逻辑回归)模型的原理以及参数估计、公式推导方法。
模型构建
在介绍Logistic Regression之前我们先简单说一下线性回归,,线性回归的主要思想就是通过历史数据拟合出一条直线,用这条直线对新的数据进行预测,线性回归可以参考我之前的一篇文章。
我们知道,线性回归的公式如下:
z=θ0+θ1x1+θ2x2+θ3x3...+θnxn=θTx
而对于Logistic Regression来说,其思想也是基于线性回归(Logistic Regression属于广义线性回归模型)。其公式如下:
hθ(x)=11+e?z=11+e?θTx
其中,y=11+e?x被称作sigmoid函数,我们可以看到,Logistic Regression算法是将线性函数的结果映射到了sigmoid函数中。
sigmoid的函数图形如下:我们可以看到,sigmoid的函数输出是介于(0,1)之间的,中间值是0.5,于是之前的公式h θ(x) 的含义就很好理解了,因为hθ(x) 输出是介于(0,1)之间,也就
表
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明了数据属于某一类别的概率,例如:
hθ(x)0.5 则说明当前数据属于B类。
所以我们可以将sigmoid函数看成样本数据的概率密度函数。
有了上面的公式,我们接下来需要做的就是怎样去估计参数θ了。
首先我们来看,θ函数的值有特殊的含义,它表示hθ(x) 结果取1的概率,因此对于输入x分类结果为类别1和类别0的概率分别为:
P(y=1|x;θ)=hθ(x)
P(y=0|x;θ)=1?hθ(x)
极大似然估计
根据上式,接下来我们可以使用概率论中极大似然估计的方法去求解损失函数,首先得到概率函数为:
P(y|x;θ)=(hθ(x))y?(1?hθ(x))1?y
因为样本数据(m个)独立,所以它们的联合分布可以表示为各边际分布的乘积,取似然函数为:
L(θ)=∏i=1mP(y(i)|x(i);θ)
L(θ)=∏i=1m(hθ(x(i)))y(i)?(1?hθ(x(i)))1?y(i)
取对数似然函数:
l(θ)=log(L(θ))=∑i=1mlog((hθ(x(i)))y(i))+log((1?hθ
(x(i)))1?y(i))
l(θ)=log(L(θ))=∑i=1my(i)log(hθ(x(i)))+(1?y(i))log(1?hθ(x(i)))
最大似然估计就是要求得使l(θ) 取最大值时的θ,这里可以使用梯度上升法求解。我们稍微变换一下:
J(θ)=?1ml(θ)
因为乘了一个负的系数?1m,然后就可以使用梯度下降算法进行参数求解了。梯度下降具体就不在这里多说了,可以参考之前的文章。
参考文章: