PAGE角的有关概念中的误区警示
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中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略,经常出现错误。本文结合实例就角的有关概念中的误区，剖析致错原因，给出相应的求解策略，希望能对同学们的学习有警示作用，不断提高思维的严密性。误区警示1表示角时角度和弧度混用，忽略整数的条件致错。[例1]用弧度制表示终边在轴上的角的集合.[解]：终边在轴上的角的集合能够表示为的形式,只需要把角度制表示的角的集合转化为弧度制表示的集合就可以,故有终边在轴上的角的集合[这样做对吗?]当然不对.[为什么错了?]在表示角时，注意使用表示
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的统一性,不能弧度制与角度制混用,也即是说,在同一表示中用角度制表示就不能够出现弧度,用弧度制表示就不能够出现角度.所以终边在轴上的角的集合应表示为;[感悟]:在表示角的时候，由于弧度制的优点，常常使用弧度表示角，但也要注意，用弧度制表示角时，不能与角度制混用，比如α＝2kπ＋30°（k∈Z），,等都是不正确的。同时应该知道,只表示与终边相同的角的集合,而则表示与角和角的反向延长线的终边相同的角的集合,(也即是角终边所在直线的角的集合);则表示互相垂直的4个角的终边相同的角的集合，且要注意整数的条件.练一练1．把-1480°写成α+2kπ(k∈Z)的形式是.其中0≤α＜2π.【提示】先把-1480°转化成弧度制再写成α+2kπ(k∈Z)的形式。答案：误区警示2运用不等式性质求整体角的范围，多次运用同向不等式相加法则致使扩大了整体角的范围。[例2]已知＜α+β＜，-＜α-β＜-，求2α-β的范围.[解]：因为＜α+β＜，-＜α-β＜-,两同向不等式相加得0＜2α＜再由第二个已知不等式得＜β-α＜②将第一个已知不等式与②相加得：＜2β＜即＜β＜，所以-＜2α-β＜③①与③相加得-＜2α-β＜。[这样做对吗?]当然不对.[为什么错了?]欲求2α-β的范围，一般考虑建立相应的不等式再解之，因此多直接从两已知不等式出发，运用不等式四则运算法则先导出α的范围和β的范围，最后再导出2α-β的范围，但由于同向不等式相加时不是同解变形，因此所求结果误差太大.为了解决这一问题，应尽量少进行此类运算.为此，可先利用待定系数法用A(α+β)+B(α-β)表示2α-β，最后再利用条件导出所求范围,解答过程如下:.设2α-β=A(α+β)+B(α-β)表示2α-β=(A+B)α+(A-B)β比较α与β的系数所以A=，B=.所以2α-β=(α+β)+(α-β).而＜(α+β)＜，-＜(α-β)＜-所以-＜2α-β＜.[感悟]:通过比较我们可以发现,前面的算法把范围扩大了,其原因是多两次同向不等式相加运算.角的范围的确定是三角函数中的一个重要内容,不等式的运用要注意是否扩大了角的范围.借助待定系数沟通所求整体角范围与已知的整体角的范围，可避免上当受骗，随着后继的线性规划的学习你将会进一步的明确错因，体会待定系数法线性表示的作用。练一练2．若,则的范围是_________________________.【提示】注意〈0答案：误区警示3应用问题中忽略角的方向致错。[例3]如图所示，点P沿单位圆从点A(1,0)出发,依顺时针方向运动,在1秒钟内转过的角度为.经过2秒钟第一次到达第三象限.经过14秒钟后又恰好回到出发点A，求.[解]：如何认识P点重回A点的数学语言？即的终边与x正半轴重合.xyA于是.又,从而,n=4或n=5故或.[这样做对吗?]当然不对.[为什么错了?]顺时针转过的角度是负角,故.解答过程如下:于是.又,从而,n=-2或n=-3故或.[感悟]:对角的认识经历了一个从“静态的,特定的”到“动态的,任意的”过程,角被看成是轴的正半轴的方向的射线绕其端点旋转所成的图形.需要注意的是逆时针旋转成正角,顺时针旋转成负角，不旋转时的角为0角.练一练3．经过5小时25分钟,时针与分针各转了多少弧度?【提示】时针与分针所成角为负角。答案：时针转；分针转
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