指数对数函数求导

1、自然常数e 1、求导 令         已知导数差商公式定义式： 由导数差商定义式得： （因子 与 无关，因此我们可以将它提到极限号前面） 注意到上式中的极限是函数 的导数在 处的值，即 因此，我们已经说明了如果指数函数 在 处是可微的，则该函数是处处可微的，并且 上述等式说明了任何指数函数的变化率是和指数函数本身成正比的. 令 ，因为 已知，要求 必须求得 ，从 的定义式可以猜测 可能是一个无线不循环的数值，只能无限取小 值求得 的估算值，这种估算的过程相当繁琐且得不到 的准确数值. 0.1 0.7177 1.1612 0.01 0.6956 1.1047 0.001 0.6934 1.0992 0.0001 0.6932 1.0987       在上表中，给出了 和 时的情况，通过数值举例，说明了 的存在.极限明显存在并且 当 ， 当 ， 实际上，我们将在《微积分》5.6节说明它们极限存在并且精确到小数点后六位，如下： 因此，由等式，我们有 在等式对于底数 的所有可能的选择中，当 时，微分公式最为简单，即 ， ，并且有 ，则有当 时， ， ，因此 ，再次说明了存在 使得 ，同样 可能是一个无限不循环小数. 再来看看上表中估计 和 时， 的数值，结合定义式 可以看出 大小决定于 的取值，可以证明 在实数域单调递增，由 ，可知 . 数 的定义：     即 是使 成立的数. 这里要注意一点，一个确定的 确定一个具体的数 ，即当 值确定时，原函数 也确定了一个具有确切数值的底数 ， 与 和 与 都具有对应关系，所以 存在且使 的意义在于我们可以求得 的导函数 ，当然 是一个确定的常数，即我们只能求唯一的指数函数 的导函数 . 自然指数求导公式： 指数函数 曲线有一个重要特点，当 时， 恒成立，也就是说所有的指数函数均通过 点；再来看看 在 图像中的几何意义. ，也就是说 表示指数函数在 处的切线斜率 ，也只有 在 处导函数 ，注意体会底数 与 的唯一对应关系. 在指数函数 中， 值的大小直接影响图像的形状. 值越大， 曲线越陡峭，即变化率越大，导函数值 越大； 值越小， 曲线越平顺，即变化率越小，导函数 越小. 当 取值相等时， 2. 的含义 2.1 由定义式 来理解 的含义，简单地说 就是单位时间内，持续翻倍增长所能达到的极限值. 假设你在银行存了1元钱，很不幸同时又发生了严重的通货膨胀，银行存款利率达到了逆天的100%！ 银行一般1年才付一次利息，满1年后银行付给你1元利息，存款余额=2元，后来银行发善心，每半年付利息，半年后本息共计 ，你可以把利息提前存入，利息生利息，1年本息共计 元.假设银行超级实在，每4个月就付利息，4个月后本息共计 ，8个月后本息共计 ，年底本息共计 元 .假设银行人品爆发，时时刻刻都在付利息，则第一期本息共计 元，第二期本息共计 元........第 期本息共计 元，这样年底本息余额 元  1元存1年，在年利率100%下，无论怎么利滚利，其余额总有一个无法突破的天花板，这个天花板就是 ，有兴趣可以用这个 网上计算器算一下. 2.2.1一个有关复利的例子 很久以前，一个名叫伯努力的家伙回答了一个有关复利的问题.下面就是该问题。我们假设，你在一家银行有一个银行账户，该银行付给你一个慷慨的年利率12%，是一年一次的复利的形式.你将一笔初始存款1元存入账户.每一年你的财富增加12%.这意味着 年后，你的财富将增加到原来的 倍.特别地，一年后，你的财富就是 元. 现在，假设你发现另一家银行.它也提供12%的年利率，但现在它是一年两次的复利的形式.当然，对于半年，你不会得到12%的利息；你必须用它除以2，这意味着半年你会得到6%的利息.一年后，它会以6%的利息复利两次；结果就是你的财富会增加到 ，其结果是1.1236元. 第二个账户的收益比第一个账户略好一些.因此在相同的年利率下，复利越频繁结果会越好.我们试着计算一下年利率为12%的每年3次的复利.我们取12%，并将它除以3会得到4%,然后复利3次，我们的财富将会增加到原来的 倍，其结果近似为1.1255元...同样一年时时刻刻都复利时即 ，复利利率为 ，复利 次后，我们的财富会增长的倍数为 我们用 代替0.12，并关心更一般的极限 首先，我们设 ，这样 .那么，当 时，我们看到 （由于 是常数）故 现在我们可以使用指数法则来写出 我们来变个魔术，设 代入极限中有 所以 2.2.2  关于 的更多内容 让我们来更好地看一下这个极限，记得 这一次，设 ，则 ，当 时，有 ，得到 这是一个右极限.事实上，你可以用 代替 ，对于双侧极限仍成立.我们需要证明左侧极限也是 ，然后左极限等于右极限，则双极限也等于 .因此，我们考虑 用 替换 ；那么，当 时， （当 是一个很小的负数时， 就是一个很小的正数）故 由于对于任意的 ，有 ，我们可以将极限重新写成 分母就是带有利率 而不是 的经典极限.这意味着，当 时，在极限中，分母趋于 ，因此综合起来有 该极限在 处可微且连续，所以有 2、自然对数求导 1.导数差商定义法 由 ，令 ，求 由定义式写出 令 ，则有 ，当 时， ，上式可写成 （通过换元巧妙地将 从对数中提到极限号外面） 2.隐函数微分法 对自然对数求导，也可以用隐函数微分法，这是求导逆函数的一般办法；记住，这就是知道某函数的导数，求其逆函数导数的方法. 原理如下： 令       左右同时取指数 左右同时微分 所以有                    ② ③ 联立②③等式得： 代入 是因为 最终要表达成关于 的因式. 3.隐函数微分法求导指数函数  原理如下： 令         左右同时取对数 则有         左右同时微分 所以                   ④ ⑤ 联立④⑤等式得： 所以 代入 是因为 最终要变达成关于 的因式. 3、换底公式 1.指数换底公式 ⑥    对等式⑥左右同时取对数得： 2.对数换底公式 证： 令 则有       左右同时取以 为底的对数 则有         其中底数 任意取值且 且 又     所以 如何对 进行换底求导呢？ 所以 4、求导任意指数函数 1. 底法 令 ，求导 办法就是用 做底数，也就是把底数 转化为 ，把 变成 的某次幂，应用指数函数的求导办法. 又因为 联立两式得：      2. 对数微分法 求 有时对原函数求导时会遇到问题，但求其对数导数会相对容易 因为 （应用了链式法则及对数求导公式） 因此，令       直接求导较麻烦 求导较容易 所以     又由 可知： 所以有            1.求导 2.求证   为实数 1. 底法 因为 所以 指数函数的定义域为什么是 （实数）. 解：什么是实数，即一切可以测量长度的数，也即可以用直角坐标系 轴表示的数. 看看指数函数的图像 （ ）在 轴可以无限延伸，也就是 取值任何实数值，指数函数都成立. 2. 对数微分法 令 则有 对 求导有 所以  5、求导任意对数函数 1.自然对数化简法 令     求 将 化简成两个自然对数的形式，其中一个自然对数含有 . 则有     所以    2.指数微分法 令     求 对           左右同时取指数 则有       左右同时求导 则有 所以有 3.现在来看看：如果原函数 ，那么我们知道 ，现在对 关于 求导，使用上述结论公式，我们得到 也可以用结论公式 （对换 换成 ， 换成 ），则有 ，变换写成