十字相乘法概念

十字相乘法概念十字相乘法概念十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1?a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2,并使a 1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号。例题例1 把2x^2-7x+3 分解因式. 分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项...

十字相乘法概念十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1?a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1?c2,并使a 1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号。例题例1 把2x^2-7x+3 分解因式. 分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数): 2=1×2=2×1; 分解常数项: 3=1×3=3×1=(-3) ×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况: 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 =7 1 -1 ╳ 2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于一次项系数-7. 解 2x^2-7x+3=(x-3) (2x-1). 一般地,对于二次三项式ax2+bx+c(a≠0),如果二次项系数a可以分解成两个因数之积,即a=a 1a2,常数项c可以分解成两个因数之积,即c=c 1c2,把a1,a2,c1,c2, 排列如下: a1 c1 ╳ a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘,再相加,得到a1c2+a2c1, 若它正好等于二次三项式ax2+bx+c的一次项系数b,即a1c2+a2c1=b, 那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1 与a2x+c2之积,即 ax2+bx+c=(a1x+c1) (a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法. 例2 把6x^2-7x-5 分解因式. 分析:按照例1的方法,分解二次项系数6及常数项-5,把它们分别排列,可有8种不同的排列方法,其中的一种 2 1 ╳ 3 -5 2×(-5)+3×1=-7 是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x^2-7x-5=(2x+ 1)(3x-5) 指出:通过例1和例 2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+ 2x-15分解因式,十字相乘法是 1 -3 ╳ 1 5 1×5+1×(-3)=2 所以x^2+2x-15=(x-3)(x+5). 例3 把5x^2+6xy-8y ^2分解因式. 分析:这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y^2看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与 -8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即 1 2 ╳ 5 -4 1×(-4)+5×2=6 解 5x^2+6xy-8y^2= (x+2y)(5x-4y). 指出:原式分解为两个关于x,y的一次式. 例4 把(x-y)(2x-2y -3)-2分解因式. 分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算, 把变形后的多项式再因式分解. 问:两上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答:第二个因式中的前两项如果提出公因式 2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3) -2 =(x-y)[2(x-y)-3]- 2 =2(x-y) ^2-3(x-y) -2 =[(x-y)-2][2(x-y) +1] =(x-y-2)(2x-2y+1). 1 -2 ╳ 2 1 1×1+2×(-2)=-3 指出:把(x-y)看作一个整体进行因式分解, 这又是运用了数学中的 “整体”思想方法. 例5 x^2+2x-15 分析:常数项(-15)< 0,可分解成异号两数的积,可分解为(-1)(15), 或(1)(-15)或(3) (-5)或(-3)(5),其中只有(-3)(5)中-3和5 的和为2。 =(x-3)(x+5) 总结:①x^2+(p+q) x+pq型的式子的因式分解这类二次三项式的特点是:二次项的系数是 1;常数项是两个数的积; 一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解: x^2+(p+q)x+ pq=(x+p)(x+q) ②kx^2+mx+n型的式子的因式分解如果能够分解成k= ac,n=bd,且有ad+bc =m 时,那么 kx^2+mx+n=(ax+ b)(cx+d) a b ╳ c d 通俗方法先将二次项分解成 (1 X 二次项系数),将常数项分解成(1 X 常数项)然后以下面的格式写 1 1 X 二次项系数常数项若交叉相乘后数值等于一次项系数则成立 ,不相等就要按照以下的方法进行试验。(一般的题很简单,最多3次就可以算出正确答案。) 需要多次实验的格式为:(注意:此时的a bcd不是指(ax^2+bx+c)里面的系数,而且abcd 最好为整数) a b ╳ c d 第一次a=1 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 第二次a=1 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 第三次a=2 b=1 c= 二次项系数÷a d=常数项÷b 第四次a=2 b=2 c= 二次项系数÷a d=常数项÷b 第五次a=2 b=3 c= 二次项系数÷a d=常数项÷b 第六次a=3 b=2 c= 二次项系数÷a d=常数项÷b 第七次a=3 b=3 c= 二次项系数÷a d=常数项÷b ...... 依此类推直到(ad+cb=一次项系数)为止。最终的结果格式为(ax+b)(cx+d) 例解: 2x^2+7x+6 第一次: 1 1 ╳ 2 6 1X6+2X1=8 8>7 不成立继续试第二次 1 2 ╳ 2 3 1X3+2X2=7 所以分解后为:(x+2)(2x+3)

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