线性方程组的解法新

第一章线性方程组的解法求解线性方程组是科学研究和工程应用中最普遍和最重要的问题，和工程应用中的数学问题，在某一阶段都与线性方程组的求解有关.组的消元法及其矩阵形式.超过75%的科学研究本章介绍求解线性方程引例交通流量问题随着城市人口以及交通流量的增加，城市道路交通拥堵问题已成为制约经济发展、降低人民生活质量、削弱经济活力的瓶颈之一•为解决这个世界性难题，各国政府和民间都进行了广泛的研究，提出了提高交通管理水平、增强交通参与者的素质、扩大道路容量、限制车辆增长速度等政策及车牌限行、设置单向行驶道路等措施•以上的政策和措施的一个基础性工作就是各道路的车流量的统计与分流控制•使各道路的交通流量要达到平衡，所谓交通流量平衡是指在每个路口进入的车辆数与离开的车辆数相等.图1是某一城市的道路交通网络图，所有车道都是单行道.箭头给出了车辆的通行方向，数字是高峰期每小时进入和离开路口的车辆数.在满足交通流量平衡的条件下，试问如何分流车辆.200A兀卩£D300B五C三20030C图1()为了保证交通流量平衡，得线性方程组XiX2300,X2X3200,X3X4X5300,X4X6100,XiX5X6300.问题归结为讨论线性方程组（）是否有解若有解，求出方程组的解.第一节线性方程组的消元法、线性方程组的概念设Xi,X2,L,Xn为实未知量，丄，an,b为实数，n为正整数.方程a1x1a2X2LanXnb称为含未知量X!,X2,L,Xn的线性方程.由m个含未知量X!,X2,L,Xn的线性方程组成的方程组a11X1a12X2La1nXnb1,a21X1a22X2La2nXnb2,（）LLLLLLLLLLLam1X1am2X2LamnXnbm,称为n元线性方程组，其中aj,b（i1,2,L,m;j1,2,L,n）为实数•若X1c1,X2c2,L,Xncn使（）中的每一个方程都成立，则称（）为方程组（）的解.如果线性方程组（）有解，则称方程组（）是相容的；否则，称方程组（）是不相容的.线性方程组解的全体所构成的集合称为该线性方程组的解集.显然，如果线性方程组不相容，其解集必为空集.能 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示线性方程组全部解的表达式称为方程组的通解或一般解.具有相同解集的线性方程组称为同解方程组或等价方程组.二、线性方程组的消元法中学所学的解线性方程组的消元法是求解线性方程组简单有效的方法.元法的过程.例1利用消元法求解线性方程组X12X23,（1）4X15X26.（2）解将方程（1）乘以4加到方程（2）上，得等价方程组现在我们回忆消X12X23,(3)3X26.(4)由方程（4）解得X22，再代入方程（3），得X11，则原方程组的解为X11,X22.该方程组有唯一解.例2利用消元法求解线性方程组5x-|6x27x35,(1)X1X2X31,(1)(I)4x-|8x24x35,(2)；(II)x12x2X33,(2)3x16x23x39.(3)5x18x2X311.⑶1TOC\o"1-5"\h\z解（I）方程（3）的两边乘以不为零的常数，得35x16x27X35,(4)4x18x24X35,(5)X12x2X33.(6)交换方程(4)与（6）的位置，得X12x2X33,(7)4x18x24X35,(8)5x16x27X35.(9)方程（7）乘以4加到方程（8）上;方程（7）乘以5加到方程（9）上，得x-i2x2X33,(10)07,(11)4x22x310.(12)TOC\o"1-5"\h\z交换方程（11）与（12）的位置，得Xi2x2X33,（13）4X22x310,（14）07.（15）方程（15）是矛盾方程，则方程组（I）无解.（II）方程（1）乘以1加到方程（2）上；方程（1）乘以5加到方程（3）上，得X1X2X31,（4）X22x32,（5）3x26x36.（6）方程（5）乘以3加到方程（6）上，得X1X2X31,（7）X22x32,（8）00.（9）解得X13x31,X22x32,令X3C，得方程组的通解为x13c1,x22c2,x3c,其中c为任意常数．此时方程组有无穷多解．总结例1与例2，我们发现利用消元法求解线性方程组的过程，本质上是对线性方程组的方程进行下列三种变换：（1）交换任意两个方程的位置；（2）某一方程两边乘以不为零的常数；（3）把某一方程的倍数加到另一方程上去．上述三种变换称为线性方程组的同解变换．另外，我们还可以看到，线性方程组可能无解、可能有解，在有解时可能是唯一解或无穷多解，关于这方面的更深入的研究可参考下一节与第三章第六节．思考题1．在例1与例2中，细心的读者会发现，这里用消元法求解线性方程组与中学所介绍的形式上有所不同，您能指出它们各自的优点所在吗2．线性方程组的解与未知量的符号表示有关吗3．给定方程组x2y4x5y3,6.将每个方程交换未知量x与y的位置，得方程组2xy3,5x4y6.试问这两个方程组同解吗第二节矩阵及其初等行变换、矩阵例3利用消元法求解线性方程组x2y3,（1）4x5y6.（2）解将方程（1）乘以4加到方程（2）上，得x2y3,（3）3y6.（4）由方程（4）解得y2，代入方程（3），得x1，则原方程组的解x1,y2．仔细比较例1和例3两个方程组，我们发现线性方程组的解是由未知量系数aij和方程右边的常数bj所决定，而与线性方程组的未知量用哪个符号表示无关．鉴于此，在讨论线，建立方程组（））的第i个方程．我们称该数表为方程组性方程组（）的求解时，我们可以舍弃未知量（但把未知量牢记于心中）与m行n1列的数表a11a12La1nMb1a21a22La2nMb2MMMMMam1am2LamnMbm的一一对应关系：该数表的第j（j1,2丄，n）列是未知量Xj前的系数，第n1列是方程右边的常数bi（i1,2,L,m）;第i行代表方程组的增广矩阵，简记为B．而把数表a11a12a1na21Ma22Ma2nMam1am2amn称为方程组（）的系数矩阵，简记为A．例4写出线性方程组x1x2x31,x1x2x3x1x2x3的系数矩阵与增广矩阵．解方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为11A11；BM111MM2在代数上给出了数表——矩阵的概念．（名词“矩阵（Matrix）”是由Sylvester首先使用的）以上讨论启发我们，为了简化线性方程组的求解，定义1由mn个数aij(i1,2,Lm;j1,2丄n）排成的m行n列的数表a12a21Ma22Ma2nMam1am2amn称为m行n列矩阵，简称mn矩阵，其中aij称为矩阵A的第i行第j列的元素.mn矩阵可以表示为（aij）mn，一般用大写的英文字母A,B,C,L等表示矩阵．元素为实数的矩阵称为实矩阵，元素为复数的矩阵称为复矩阵.本 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 如无特殊声明，所讨论的矩阵都是指实矩阵.2个方程两边乘以2加到第1个方程上去,得方程组的解二、矩阵的初等行变换矩阵的初等行变换起源于求解线性方程组的消元法.由方程组的同解变换可知，对线性方程组作同解变换相当于对方程组的增广矩阵的行作相应的变换.由此有定义2以下对矩阵的三种变换称为矩阵的初等行变换：交换矩阵两行的位置；不为零的数k乘以矩阵的某一行中所有元素；将矩阵的某一行乘以数k加到另一行上去.为了说明方便，通常用ri表示矩阵的第i行.用rirj表示交换矩阵的第i行与第j行;k乘以矩阵的第i行加到第j行上去.用rik表示数k乘以矩阵的第i行；用rjkri表示数定义3若矩阵A经过有限次初等行变换变成矩阵B，则称矩阵A与B行等价，记作下面介绍消元法的矩阵形式。例5利用矩阵的初等行变换求解线性方程组TOC\o"1-5"\h\zx-i2x23,4x-|5x26.解方程组的增广矩阵r24ri36B1，得同解方程组Xi2x23,3x26,()由第2个方程解得X代入第1个方程,得x,则方程组的解为X11,X22.消元法的代入过程也可以对增广矩阵作初等行变换来代替.X2，则X2的系数必须为1•将()的第2个方程两边乘以要在()的第2个方程解出-，得3X12x23,X22,()得到()的过程相当于将X2代入()的第1个方程，即将()的第1个方程中X2的系数化为零，只需将()的第x11,（）x22.得到（）的过程相当于r12M3r2r10M1Br12r2B2，01M201M22从而得方程组的解x11,x22．M013r2(2r2r13M21r14r23M21B现在我们可以给出例5的完整求解过程了．方程组的增广矩阵5中得到矩阵B1，从而得方程组的解x11,x22．般地，消元法是由两个步骤所构成．第一个步骤是消元过程，在例称为矩阵B的行阶梯形，其特点是：非零行的第一个非零元素的列标随着行标的增加而严格增加．如下列矩阵都是行阶梯形矩阵．第二个步骤是代入过程，在例5中得到矩阵B2，称为矩阵B的行最简213121310101A10105,A20015,A30015（）000000000000形，其特点是：它是特殊的行阶梯形矩阵，且非零行的第一个非零元素为1，而该元素所在列的其他元素全为0．如（）中的A3是行最简形矩阵．例6利用初等行变换，将矩阵1111A12422513化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵．1111r2r111111111解A1242r32r10333r3r20333251303310002最后一个矩阵即为行阶梯形矩阵，进一.rk步，r(2)111111101020r3(2)r1r3Ar230111r2r30110r1r20110，000100010001最后一个矩阵即为行最简形矩阵．总结例6利用初等行变换将矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵的方法，有定理1任何一个矩阵都可经有限次初等行变换变成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.证设A(aj)为mn矩阵，对A的行数m利用数学归纳法.1m1时该矩阵为行阶梯形•不妨设an0,作行变换ri，则矩阵化为行最简形.设ms1结论成立.当ms时，不妨设a110,有a11a12a13La1na11a12a13La1na21a22a23La2nai1ri—r1a110b22b23Lb2nAa31a32a33La3ni2,3,L,s0b33Ldn•MMMMMMMMas1as2as3Lasn0bs2bs3Lbsn矩阵B(bj)(i2,3丄,s;j2,3,L,n)为(s1)(n1)矩阵，由归纳假设，知B可化为行阶梯形矩阵，从而A也可化为行阶梯形矩阵.由归纳假设，知B可化为行最简形矩阵，有ana12a13ai4La*a1,t1Lain010C24L0Q,t1LQn001034L0C3,t1L°3nMMMMMMMAr0000L1q,t1L0tn0000L0000MMMMMMMM0000L0000100C14L0G,t1LGn010C24L0C2,t1LC2nr1a1jrj,.j2,3,L,t001C34L0C3,t1LC3n1r1MMMMMMMa110000L1ct,t1LCtn0000L0000MMMMMMMM0000L0000得A的行最简形矩阵.要注意的是，矩阵的行阶梯形矩阵一般不唯一，而矩阵的行最简形矩阵是唯一的.注由例5可得，利用初等行变换求解线性方程组的方法(也称为Gauss-Jordan消元法)，其步骤是：写出线性方程组的增广矩阵；其中X3为自由变量•令X3k,则方程组的通解为将增广矩阵用初等行变换化成行阶梯形(等价于消元法的消元过程)判断线性方程组是否有解•如果行阶梯形的最后一个非零行代表矛盾方程0d0,则方程组无解；否则线性方程组有解，并进行下一步；将行阶梯形矩阵用初等行变换化成行最简形矩阵(等价于代入过程)由行最简形矩阵得线性方程组的解.例7利用Gauss-Jordan消元法求解线性方程组2%X2X32x41,XiX22x3X40,XiX22x32x43,6x14x22x34.解对方程组的增广矩阵进行初等行变换化为行阶梯形:2112M1「1$1122M31121M0I421121M0B21122M32112:M16420M43210M21122M3r2r31122M3「2R1rb2ri0003M3330156M7I43【ir4r2仃阶梯形0156M70001M10156M70000M0其最后•个非零行对应的不是矛盾方程，则方程组有解.进-.[R步，1120M11030M02「30150M10150M1B「2613r1r2-—行最简形0001M10001M10000M00000M0得对应的方程组为X13X30,X25X31,X41解得X13X3,X25X31,X41,x13k,x2x3k,5k1,其中k为任意常数．x41,例8利用Gauss-Jordan消元法求解线性方程组x1x2x31,x12x24x32,2x15x2x33.解方程组的增广矩阵111M1rrr2r1111M1111M1B124M2r32r1033M3r3r2033M3251M3033M1000M2因为02，矛盾，所以方程组无解参考例5、例7、例8，对线性方程组有如下重要结论：定理2对于n元线性方程组，当增广矩阵的行阶梯形最后一个非零行代表矛盾方程时，则方程组无解；否则方程组有解，且（1）当增广矩阵的行阶梯形有n个非零行时，方程组有唯一解；（2）当增广矩阵的行阶梯形少于n个非零行时，方程组有无穷多解．思考题二1．为什么说对线性方程组作同解变换相当于对该方程组的增广矩阵作相应的初等行变换2．比较行阶梯形矩阵与行最简形矩阵的相同点与不同点．3．回忆利用Gauss-Jordan消元法求解线性方程组的过程．4．怎样判别线性方程组有解或无解在有解时是唯一解还是无穷多解除了这三种情形，线性方程组的解还有其它情形吗第三节应用举例、引例解答（）的增广矩阵110000M300100011M300011000M200r010011M0B001110M300001011M200000101M100000101M100100011M300000000M0由定理2得方程组有无穷多解，且方程组的通解为X1k1k2300，X2k1k2，X3k1k2200，其中k1，k2为任意常数X4k2100，12X5k1，X6k2，要注意的是，方程组的解不一定都是实际问题的解．由未知量的实际意义，应满足X1k1k23000，X2k1k20，X3k1k22000X4k21000，X5k10，X6k20，即有K,k2还需满足0k2&300匕100的非负整数.二、化学方程式的平衡当丙烷(QH8)气体燃烧时，会产生二氧化碳和水，该反应的化学反应式具有下列反应式C3H8+O2CO2+H2O，试平衡此化学反应式。为了使反应式平衡，选取适当的x1,x2,x3,x4，使得x1C3H8+x2O2x3CO2+x4H2O．由质量守恒定律，对碳原子，有3xiX3;同理，对氢原子，有8X12X4;对氧原子，有2x22x3x4．从而得线性方程组3X1X30，8X12X40，2X22X3X40，方程组的通解为X1k，X25k，X33k，X44k．取k1，则化学反应式为C3H8+5O23CO2+4H2O．三、封闭的列昂惕夫(WassilyLeontief)投入-产出模型设某个封闭的产业链有n个工厂生产n种不同的产品，每个工厂需要投入自己的产品和其它工厂的产品．所谓封闭，是指每个工厂需要的产品该产业链内部可以提供，而不需要其4它产业链提供•试问在满足总需求的条件下，每个工厂的产出各是多少令Xj表示第j个工厂的产出量，aij表示第j个工厂生产一个单位产品，需要投入第i个工厂的产品数量（i,j1,2丄,n）•此处一个单位的投入或产出，是指价值为1元人民币的产品.由于产业链的封闭，第j个工厂的总投入等于第j个工厂的产出，则X1ai1X1ai2X2LainXn>()X2a21X1a22X2La2nXn，LLLLLLLLLLLXnan1Xlan2X2LannXn，问题转化为求（）的非负整数解.（）可以化为6nXn0,*21(a221)X2*2nXn0,LLLLLLLLLLLLL()an1X1an2X2L(ann1)Xn0.现给出n4时，各个工厂相互之间的需求有向图（图2）.】M4/41/481,84我们得到线性方程组1111X1X2X3X40,24841311X1X2X3X40,44841131X1X2X3X40,4448115-X2-X3X40.428方程组的增广矩阵得方程组的解为方程组的通解为111124841311448411314448011504282639X4,X2X4,23462639,k,X2k,2346M0M0M0M0XiX3XiX3262339461923019X4,2319k,x4k•所以四个工厂的产出量分别23其中x4为自由变量•令x4k，得为52m,39m,38m,46m，其中m为非负整数.(A)1•用消元法解下列线性方程组:X12x23x34,X12x2X3X41,(1)3x15x27X39,(2)X12x2X3X41,2x13x24X35.X12x2X35x45.X1X22X31,2x12x2X43,X12x2X32,2x13x2X33x46,(3)(4)3x12x25X33,3x14x2X32x40,X15X30.X13x2X3X42.2•用初等行变换将下列矩阵化成行阶梯形矩阵和行最简形矩阵:1223211(1)212(2)12322214423111112320321(3)11(4)136121242643用初等行变换解下列线性方程组：x3x23x35,XX24X33X41,(1)2x-iX24X311,(2)2x-iX26X35X42,X2X33.X2x22X32x42.x2x23X34x44,2x1X2X32x43X52,(3)x3x23x41,(4)6X13X22X34x45X53,X2X3X44,6X13X24X38X413x59,7X23X3X418.4x12X2X3X42X51.3.X2X31,1.当为何值时，线性方程组为X2X3,有无穷多解，并求解.XX22X32.试讨论平面上两条直线相交、重合、平行不重合的条件.3.（联合收入问题）已知三家公司A、B、C具有如下图所示的股份关系，即(B)A公司掌握C公司50%的股份，C公司掌握A公司30%的股份，而A公司70%的股份不受另外两家公司控制等等.现设A、B和C公司各自的营业净收入分别是12万元、10万元、8万元，每家公司的联合收入是其净收入加上其它公司的股份按比例的提成收入.试确定各公司的联合收入及实际收入.