《椭圆》方程典型例题20例(含标准答案)

《椭圆》方程典型例题20例 典型例题一 例1 椭圆的一个顶点为 ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的MATCH_ word word文档格式规范word作业纸小票打印word模板word简历模板免费word简历 _1715037657424_0方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当 为长轴端点时， ， ， 椭圆的标准方程为： ； （2）当 为短轴端点时， ， ， 椭圆的标准方程为： ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 典型例题二 例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解： ∴ ， ∴ ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求 ，求 ，再求比．二是列含 和 的齐次方程，再化含 的方程，解方程即可． 典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆与直线 交于 、 两点， 为 中点， 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为 ， 由 ，得 ， ∴ ， ， ，∴ ， ∴ 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题． 典型例题四 例4椭圆 上不同三点 ， ， 与焦点 的距离成等差数列． （1）求证 ； （2）若线段 的垂直平分线与 轴的交点为 ，求直线 的斜率 ． 证明：（1）由椭圆方程知 ， ， ． 由圆锥曲线的统一定义知： ， ∴ ． 同理 ． ∵ ，且 ， ∴ ， 即 ． （2）因为线段 的中点为 ，所以它的垂直平分线方程为 ． 又∵点 在 轴上，设其坐标为 ，代入上式，得 又∵点 ， 都在椭圆上， ∴ ∴ ． 将此式代入①，并利用 的结论得 ∴ ． 典型例题五 例5 已知椭圆 ， 、 为两焦点，问能否在椭圆上找一点 ，使 到左准线 的距离 是 与 的等比中项？若存在，则求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设 存在，设 ，由已知条件得 ， ，∴ ， ． ∵左准线 的方程是 ， ∴ ． 又由焦半径 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 知： ， ． ∵ ， ∴ ． 整理得 ． 解之得 或 ． ① 另一方面 ． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点 不存在． 说明： （1）利用焦半径公式解常可简化解题过程． （2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断． （3）本例也可设 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）． 典型例题六 例6 已知椭圆 ，求过点 且被 平分的弦所在的直线方程． 分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为 ，利用条件求 ． 解法一：设所求直线的斜率为 ，则直线方程为 ．代入椭圆方程，并整理得 ． 由韦达定理得 ． ∵ 是弦中点，∴ ．故得 ． 所以所求直线方程为 ． 分析二：设弦两端坐标为 、 ，列关于 、 、 、 的方程组，从而求斜率： ． 解法二：设过 的直线与椭圆交于 、 ，则由题意得 ①－②得 ． ⑤ 将③、④代入⑤得 ，即直线的斜率为 ． 所求直线方程为 ． 说明： （1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹． （2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率． （3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用． 典型例题七 例7 求适合条件的椭圆的标准方程． （1）长轴长是短轴长的2倍，且过点 ； （2）在 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6． 分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由 求出 ， ，在得方程 后，不能依此写出另一方程 ． 解：（1）设椭圆的标准方程为 或 ． 由已知 ． ① 又过点 ，因此有 或 ． ② 由①、②，得 ， 或 ， ．故所求的方程为 或 ． （2）设方程为 ．由已知， ， ，所以 ．故所求方程为 ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程 或 ． 典型例题八 例8 椭圆 的右焦点为 ，过点 ，点 在椭圆上，当 为最小值时，求点 的坐标． 分析：本题的关键是求出离心率 ，把 转化为 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求 均可用此法． 解：由已知： ， ．所以 ，右准线 ． 过 作 ，垂足为 ，交椭圆于 ，故 ．显然 的最小值为 ，即 为所求点，因此 ，且 在椭圆上．故 ．所以 ． 说明：本题关键在于未知式 中的“2”的处理．事实上，如图， ，即 是 到右准线的距离的一半，即图中的 ，问题转化为求椭圆上一点 ，使 到 的距离与到右准线距离之和取最小值． 典型例题九 例9 求椭圆 上的点到直线 的距离的最小值． 分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值． 解：椭圆的参数方程为 设椭圆上的点的坐标为 ，则点到直线的距离为 ． 当 时， ． 说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程． 典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 轴上，离心率 ，已知点 到这个椭圆上的点的最远距离是 ，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点 的距离等于 的点的坐标． 分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求 的最大值时，要注意讨论 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力． 解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是 ，其中 待定． 由 可得 ，即 ． 设椭圆上的点 到点 的距离是 ，则 其中 ． 如果 ，则当 时， （从而 ）有最大值． 由题设得 ，由此得 ，与 矛盾． 因此必有 成立，于是当 时， （从而 ）有最大值． 由题设得 ，可得 ， ． ∴所求椭圆方程是 ． 由 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点 ，点 到点 的距离是 ． 解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是 ，其中 ，待定， ， 为参数． 由 可得 ，即 ． 设椭圆上的点 到点 的距离为 ，则 如果 ，即 ，则当 时， （从而 ）有最大值． 由题设得 ，由此得 ，与 矛盾，因此必有 成立． 于是当 时 （从而 ）有最大值． 由题设知 ，∴ ， ． ∴所求椭圆的参数方程是 ． 由 ， ，可得椭圆上的是 ， ． 典型例题十一 例11 设 ， ， ，求 的最大值和最小值． 分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程 与椭圆方程的结构一致．设 ，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值． 解：由 ，得 可见它表示一个椭圆，其中心在 点，焦点在 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点． 设 ，则 它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为 ． 在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即 ，此时 ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即 ，∴ ． ∴ 的最小值为0，最大值为15． 典型例题十二 例12 已知椭圆 ， 、 是其长轴的两个端点． （1）过一个焦点 作垂直于长轴的弦 ，求证：不论 、 如何变化， ． （2）如果椭圆上存在一个点 ，使 ，求 的离心率 的取值范围． 分析：本题从已知条件出发，两问都应从 和 的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质： ， ，根据 得到 ，将 代入，消去 ，用 、 、 表示 ，以便利用 列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成． 解：（1）设 ， ， ． 于是 ， ． ∵ 是 到 的角． ∴ ∵ ∴ 故 ∴ ． （2）设 ，则 ， ． 由于对称性，不妨设 ，于是 是 到 的角． ∴ ∵ ， ∴ 整理得 ∵ ∴ ∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 或 （舍），∴ ． 典型例题十三 例13 已知椭圆 的离心率 ，求 的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 ．由 ，得 ． 当椭圆的焦点在 轴上时， ， ，得 ． 由 ，得 ，即 ． ∴满足条件的 或 ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在 轴上，也可能在 轴上．故必须进行讨论． 典型例题十四 例14 已知椭圆 上一点 到右焦点 的距离为 EMBED Equation.3 ，求 到左准线的距离． 分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解． 解法一：由 ，得 ， ， ． 由椭圆定义， ，得 ． 由椭圆第二定义， ， 为 到左准线的距离， ∴ ， 即 到左准线的距离为 ． 解法二：∵ ， 为 到右准线的距离， ， ∴ ． 又椭圆两准线的距离为 ． ∴ 到左准线的距离为 ． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解． 椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义． 典型例题十五 例15 设椭圆 ( 为参数)上一点 与 轴正向所成角 ，求 点坐标． 分析：利用参数 与 之间的关系求解． 解：设 ，由 与 轴正向所成角为 ， ∴ ，即 ． 而 ， ，由此得到 ， ， ∴ 点坐标为 ． 典型例题十六 例16 设 是离心率为 的椭圆 上的一点， 到左焦点 和右焦点 的距离分别为 和 ，求证： ， ． 分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离． 解： 点到椭圆的左准线 的距离， ， 由椭圆第二定义， ， ∴ ，由椭圆第一定义， ． 说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在 轴上的焦半径公式． 典型例题十七 例17　已知椭圆 内有一点 ， 、 分别是椭圆的左、右焦点，点 是椭圆上一点． H:\fanwen caiji two\药检所医疗器械室主任竟聘演讲稿.doc(1)　求 的最大值、最小值及对应的点 坐标； (2)　求 的最小值及对应的点 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解． 解： (1)如上图， ， ， ，设 是椭圆上任一点，由 ， ，∴ ，等号仅当 时成立，此时 、 、 共线． 由 ，∴ ，等号仅当 时成立，此时 、 、 共线． 建立 、 的直线方程 ，解方程组 得两交点 、 ． 综上所述， 点与 重合时， 取最小值 ， 点与 重合时， 取最大值 ． (2)如下图，设 是椭圆上任一点，作 垂直椭圆右准线， 为垂足，由 ， ，∴ ．由椭圆第二定义知 ，∴ ，∴ ，要使其和最小需有 、 、 共线，即求 到右准线距离．右准线方程为 ． ∴ 到右准线距离为 ．此时 点纵坐标与 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点 坐标 ． 说明：求 的最小值，就是用第二定义转化后，过 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径 与点准距 互化是解决有关问题的重要手段． 典型例题十八 例18　 (1)写出椭圆 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积． 分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题． 解：(1) EMBED Equation.3 ． (2)设椭圆内接矩形面积为 ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于 轴和 轴，设 为矩形在第一象限的顶点， ， 则 故椭圆内接矩形的最大面积为12． 说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便． 典型例题十九 例19 已知 ， 是椭圆的两个焦点， 是椭圆上一点，且 ． (1)求椭圆离心率的取值范围； (2)求证 的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为 （ ）， （ ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即 ，设 ， ， ，化简可得 ．又 ，两方程联立消去 得 ，由 ，可以确定离心率的取值范围；解出 可以求出 的面积，但这一过程很繁． 思路二：利用焦半径公式 ， ，在 中运用余弦定理，求 ，再利用 ，可以确定离心率 的取值范围，将 代入椭圆方程中求 ，便可求出 的面积． 思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合 求解． 解：(法1)设椭圆方程为 （ ）， ， ， ， ， 则 ， ． 在 中，由余弦定理得 ， 解得 ． (1)∵ ， ∴ ，即 ． ∴ ． 故椭圆离心率的取范围是 ． (2)将 代入 得 ，即 ． ∴ ． 即 的面积只与椭圆的短轴长有关． (法2)设 ， ， ， ， 则 ． (1)在 中，由正弦定理得 ． ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ． 当且仅当 时等号成立． 故椭圆离心率的取值范围是 ． (2)在 中，由余弦定理得： ∵ ， ∴ ，即 ． ∴ ． 即 的面积与椭圆短轴长有关． 说明：椭圆上的一点 与两个焦点 ， 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现 的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关 ， 的关系式，使问题找到解决思路． 典型例题二十 例20　椭圆 EMBED Equation.3 与 轴正向交于点 ，若这个椭圆上总存在点 ，使 ( 为坐标原点)，求其离心率 的取值范围． 分析：∵ 、 为定点， 为动点，可以 点坐标作为参数，把 ，转化为 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于 、 、 的一个不等式，转化为关于 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程． 解：设椭圆的参数方程是 EMBED Equation.3 ， 则椭圆上的点 ， ， ∵ ，∴ ， 即 ，解得 或 ， ∵ 　∴ （舍去）， ，又 ∴ ， ∴ ，又 ，∴ ． 说明：若已知椭圆离心率范围 ，求证在椭圆上总存在点 使 ．如何证明？ _1097410028.unknown _1097410051.unknown _1097410067.unknown _1097410083.unknown _1097410099.unknown _1097410146.unknown _1097410160.unknown _1097410172.unknown _1097410182.unknown _1097410192.unknown _1097410202.unknown _1097410232.unknown _1097410248.unknown _1097410255.unknown _1097410308.unknown _1097410417.unknown _1097410444.unknown _1097410474.unknown _1097410490.unknown _1097410541.unknown _1097410555.unknown _1097410571.unknown _1097410615.unknown _1097410749.unknown _1097410778.unknown _1097410788.unknown _1097410808.unknown _1097410887.unknown _1097410934.unknown _1097410949.unknown _1097411001.unknown _1097411023.unknown _1097411078.unknown _1097411124.unknown _1097411148.unknown _1097411226.unknown _1097411322.unknown _1097411337.unknown _1097411345.unknown _1097411368.unknown _1097411369.unknown _1097411370.unknown _1097411371.unknown _1097411373.unknown _1097411388.unknown _1097411416.unknown _1097411429.unknown _1097411444.unknown _1097411520.unknown _1097411544.unknown _1097411556.unknown _1097411569.unknown _1097411583.unknown _1097411610.unknown _1097411624.unknown _1097411654.unknown _1097411959.unknown _1097411978.unknown _1097412077.unknown _1097412144.unknown _1097412175.unknown _1097412199.unknown _1097412214.unknown _1097412254.unknown _1097412426.unknown _1097412506.unknown _1097412525.unknown _1097412526.unknown _1097412534.unknown _1097412589.unknown _1097412597.unknown _1097412618.unknown _1097412645.unknown _1097412720.unknown _1097412780.unknown _1097412810.unknown _1097412826.unknown _1097412856.unknown _1097412882.unknown _1097412924.unknown _1097412939.unknown _1097412959.unknown _1097412968.unknown _1097412978.unknown _1097412993.unknown _1097413034.unknown _1097413072.unknown _1097413088.unknown _1097413376.unknown _1097413435.unknown _1097413509.unknown _1097413524.unknown _1097413546.unknown _1097413811.unknown _1097413812.unknown _1097413830.unknown _1097413924.unknown _1097413938.unknown _1097413939.unknown _1097413951.unknown _1097413952.unknown _1097413977.unknown _1097414003.unknown _1097414076.unknown _1097414077.unknown _1097414078.unknown _1097414087.unknown _1097414088.unknown _1097414133.unknown _1097414241.unknown _1097414257.unknown _1097414320.unknown _1097414340.unknown _1097414383.unknown _1097414401.unknown _1097414439.unknown _1097414446.unknown _1097414467.unknown _1097414488.unknown _1097414653.unknown _1097414666.unknown _1097414684.unknown _1097414694.unknown _1097414695.unknown _1097414696.unknown _1097414697.unknown _1097414698.unknown _1097414699.unknown _1097414700.unknown _1097414701.unknown _1097414702.unknown _1097414724.unknown _1097414782.unknown _1097414796.unknown _1097414855.unknown _1097414886.unknown _1097414920.unknown _1097414932.unknown _1097414976.unknown _1097415008.unknown _1097415009.unknown _1097415098.unknown _1097415106.unknown _1097415120.unknown _1097415136.unknown _1097415164.unknown 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