矩形典型例题选讲 本讲通过以下例题的分析与解答，介绍如何综合运用所学知识解决问题。 例1.：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于O点，AE平分∠BAD，交BC于E点，若∠CAE=15°，求∠BOE 分析：由已知不难得出∠OBE=30°，欲求∠BOE的度数，需解决BO与BE之间的大小关系。 解：如图所示，在矩形ABCD中， ∵AE平分∠BAD，∴∠EAD=∠EAB=45° 在△ABE中，∵∠BAE=45°，∠ABE=90° ∴∠AEB=45°，∴AB=BE ∵∠EAD=45°，∠EAC=15° ∴∠CAD=30° ∴∠BAC=90°-30°=60° ∵矩形ABCD的对角线AC与BD相交于O点， ∴AO=BO ∴△ABO是等边三角形，即AB=BO ∴在△BEO中，BE=BO 而∠EBO=30° 例2.已知：如图，矩形ABCD中，延长BC至E点，使BE=BD，连结DE，若F是DE的中点，试确定线段AF与CF的位置关系。 分析：如果连结BF，由已知，设法推出∠AFB+∠BFC=90°，若连结AC，设与BD交于O点，并连结OF，还可利用矩形的对角线互相平分且相等，以及三角形中位线的性质，得出，相比之下，后者方法较好 解：AF⊥CF，证明如下， 如图，连结AC，设它与BD交于O点，连结OF ∵四边形ABCD是矩形， 在△DBE中，∵DO=OB，DF=FE 又∵BE=BD，BD=AC 在△ACF中，∵AO=OC， ∴∠AFC=90° ∴AF⊥CF。 例3.已知：如图，矩形ABCD中，CM⊥BD，AE平分∠BAD和MC的延长线交于E点。 求证：AC=CE 分析：欲证AC=CE，只要∠E=∠CAE，为了证明这两个角相等，不妨设∠DAO=α，这样可确定此图形的形状。只
要求
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出∠E也等于45°-α即可 解：如图，在矩形ABCD中，设∠DAO=α ∵EA平分∠BAD，∴∠EAD=45° ∴∠CAE=45°-α ∵AO=OD，∠DOC是△AOD的外角 ∴∠DOC=2α 又∵CM⊥BD，∴∠MCO=90°-2α 而∠OCM是△ACE的一个外角 ∴∠E=∠OCM-∠CAE =(90°-2α)-(45°-α) =45°-α ∴在△ECA中，∠E=∠EAC ∴AC=CE 想一想：如果作AN⊥BD于N点，由已知EM⊥BD，可得AN∥ME，则∠E=∠EAN，这样，欲证∠E=∠CAE，只要证∠EAN=∠CAE。这又转化为证明∠BAN=∠DAC。试一下，这样作辅助线进行证明如何？ 例4.已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，AE是∠BAC的外角平分线，DE∥AB，交AE于E，试确定四边形是什么图形？ 解：四边形ADCE是矩形 证明如下： 对于△ABC， ∵AB=AC，AD⊥BC ∴∠B=∠ACB，BD=DC 又∵AE是其外角∠CAF的一部分线 ∴AE∥BC 又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形 ∴AE=BD，AB=DE，从而AC=DE ∴AEDC∴四边形ADCE是平行四边形。 又∵AC=DE，∴四边形ADCE是矩形。 例5.取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图(1)： 第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得Rt△AB'E，如图(2) 第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，如图(3) 利用展开图(4)探究： (1)△AEF是什么三角形？证明你的
结论
圆锥曲线的二级结论椭圆中二级结论圆锥曲线的二级结论圆锥曲线的二级结论探究欧姆定律实验步骤
。 (2)对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。 [解] (1)证明：如图7-72△AEF是等边三角形， 证法一： 由平行线分线段定理知PE=PA， ∴B'P是Rt△AB'E斜边上的中线， ∴PA=PB'，∠1=∠3 又∵PN∥AD，∴∠2=∠3而2∠1+∠2=90° ∴∠1=∠2=30°，在Rt△AB'E中，∠1+∠AEF=90° ∴∠AEF=60°，∠EAF=∠1+∠2=60° ∴△AEF是等边三角形。 证法二： ∵△ABE与△AB'E完全重合， ∴△ABE≌△AB'E，∠BAE=∠1 由平行线等分线段定理知EB'=B'F 又∠AB'E=90°，∴△AB'E≌△AB'F，AE=AF ∴△AEF是等边三角形。 (2)不一定。 由上推证可知当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时，即矩形的时正好能折出。 如果设矩形的长为a，宽为b，可知 当时，按此法一定能折出等边三角形； 当时，按此法无法折出完整的等边三角形
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