椭圆的参数方程
椭圆的参数方程
教学目的
1.建立椭圆的参数方程
2.正确理解离心角的意义
3.正确运用离心角解题
教学重点
椭圆的参数方程及其应用
教学难点
正确理解椭圆离心角的几何意义
教学过程
一、椭圆参数方程的构建
问题：以坐标原点O为圆心，分别以a、b为半径作两个圆。点A是大圆上任意一点，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥x轴于点N，再过点B作BM⊥AN于点M。求当半径OA绕点O旋转时，点M的轨迹的参数方程。
首先，师生共同阅读、正确理解题意，同时运用《几何画板》制作出合符题意的图形。
其次，引导学生选择恰当的参数，构建椭圆的参数方程。
①提问学生选取什么作为参数？
②再问学生选择该参数的理由；
(因为点A是主动点，点M是从动点，所以选择∠xOA为参数)
③构建椭圆的参数方程：
如图，设∠xOA＝θ，点M的坐标为(x,y)。
则x＝ON＝|OA|cosθ＝acosθ，
y＝NM＝|OB|sinθ＝bsinθ。
即 (θ为参数)。
这就是点M轨迹的参数方程。
最后，提问学生点M的轨迹是一条什么曲线？为什么？并引出离心角的概念。
①直接消去参数θ，化参数方程为普通方程可知点M的轨迹是椭圆；
②利用《几何画板》对点M进行“跟踪”，发现点M的轨迹确实是椭圆；
二、正确理解椭圆离心角θ的几何意义
1.给出离心角与旋转角的概念
如图，我们称∠xOA为椭圆的离心角，而把∠xOM叫做椭圆的旋转角。
2.初步认识椭圆的离心角θ
①由图可知∠xOA≠∠xOM；
②提问：∠xOA与∠xOM有相等的可能吗？一共有多少次？
(缓慢拖动点A，引导学生进行观察)
3.通过下面的练习加深对离心角的认识
练习：已知椭圆 ＝1，点M是椭圆上位于第一象限的弧上一点，且∠xOM＝60°。求点M的坐标。
①首先让学生自行解答，期望得到以下不同的解题方法与过程。
(错)解：由已知可得a＝3，b＝2，θ＝60°。
∴x＝acosθ＝3cos60°＝ ，y＝bsinθ＝2sin60°＝ 。
从而，点M的坐标为 。
(正)解：设点M的坐标为(x,y)，则由已知可得y＝ x。
与 ＝1联立，解得x＝ ，y＝ 。
所以点M的坐标为( , )。
另解：∵∠xOM=60°，∴可设点M的坐标为(|OM|cos60°，|OM|sin60°)。
代入椭圆方程解出|OM，进而得到点M的坐标(略)。
②提问：上面的解题方法哪些是正确的？哪些又是错误的？为什么？
③提问：如何
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示椭圆在第一象限的弧？
(将椭圆参数方程中θ的取值范围限定为(0， )即可)
三、正确利用椭圆的离心角解题
1.已知椭圆 ＝1，（1）点P(x,y)是椭圆上一点，求x2+y2的最值；（2）若四边形ABCD内接于椭圆，其中点A(3,0)，C(0,4)，B、D分别位于椭圆第一象限与第三象限的弧上。求四边形ABCD面积的最大值。
答：（1）16，9；（2）12√ 2
四、本课小结
①椭圆的参数方程： (θ为参数)。
②参数θ是椭圆的离心角，它不同于椭圆的旋转角。
关于这一点我们应当予以足够的重视。
浙公网安备 33021202002483