立体几何题型的解题技巧适合总结提高用

第六讲 立体几何新 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型的解题技巧 考点1 点到平面的距离 例1（2007年福建卷理）如图，正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为 中点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的大小； （Ⅲ）求点 到平面 的距离． 例2.( 2006年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4. (Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD； (Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角； (Ⅲ)求点P到平面QAD的距离. 考点2 异面直线的距离 例3 已知三棱锥 ，底面是边长为 的正三角形，棱 的长为2，且垂直于底面. 分别为 的中点，求CD与SE间的距离. 考点3 直线到平面的距离 例4． 如图，在棱长为2的正方体 中，G是 的中点，求BD到平面 的距离. 考点4 异面直线所成的角 例5（2007年北京卷文） 如图，在 中， ，斜边 ． 可以通过 以直线 为轴旋转得到，且二面角 的直二面角． 是 的中点． （I）求证：平面 平面 ； （II）求异面直线 与 所成角的大小． 例6．（2006年广东卷）如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD. (Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小； (Ⅱ)求直线BD与EF所成的角. 考点5 直线和平面所成的角 例7.（2007年全国卷Ⅰ理） 四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧面 底面 ．已知 ， ， ， ． （Ⅰ）证明 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的大小． 考点6 二面角 例8．（2007年湖南卷文） 如图，已知直二面角 ， ， ， ， ， ，直线 和平面 所成的角为 ． （I）证明 ； （II）求二面角 的大小． 例9．( 2006年重庆卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA 底面ABCD, DAB为直角，AB‖CD，AD=CD=2AB, E、F分别为PC、CD的中点. （Ⅰ）试证：CD 平面BEF； （Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于 ,求k的取值范围. 考点7 利用空间向量求空间距离和角 例10．（2007年江苏卷） 如图，已知是棱长为的正方体， 点在上，点在上，且． （1）求证：四点共面； （2）若点在上，，点在上， ，垂足为，求证：平面； （3）用 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求． 例11．（2006年全国Ⅰ卷） 如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线段，点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MN （I）证明AC NB； （II）若 ，求NB与平面ABC所成角的余弦值. 考点8 简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断. 例12 . 如图（1），将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为 时容积最大. 例13 .如图左，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为（ ） A、90° B、60° C、45° D、0° 例14.长方体ABCD－A1B1C1D1中， 1 设对角线D1B与自D1出发的三条棱分别成α、β、 EMBED Equation.3 角 求证：cos2α＋cos2β＋cos2 ＝1 2 设D1B与自D1出发的三个面成α、β、 角，求证： cos2α＋cos2β＋cos2 ＝2 考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算 例15. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝ a，BC＝CA＝AA1＝a， A1在底面△ABC上的射影O在AC上 1 求AB与侧面AC1所成角； 2 若O恰好是AC的中点，求此三棱柱的侧面积. 例16. 等边三角形ABC的边长为4，M、N分别为AB、AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得面AMN与面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥A—MNCB的体积为 （ ） A、 B、 C、 D、3 例17.如图，四棱锥P—ABCD中，底面是一个矩形，AB＝3，AD＝1，又PA⊥AB，PA＝4，∠PAD＝60° 1 求四棱锥的体积； 2 求二面角P－BC－D的大小. 例18 .（2006年全国卷Ⅱ）已知圆O1是半径为R的球O的一个小圆，且圆O1的面积与球O的表面积的比值为 ，则线段OO1与R的比值为 . 【专题训练与高考预测】 一、选择题 1．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在BB1上， 且BD=1，若AD与侧面AA1CC1所成的角为 ，则 的值为 （ ） A. B. C. D. 2．直线a与平面 成 角，a是平面 的斜线，b是平面 内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（ ） A. 最小值 ，最大值 B. 最小值 ，最大值 C. 最小值 ，无最大值 D. 无最小值，最大值 3．在一个 的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成 角，则此直线与二面角的另一平面所成的角为（ ） A. B. C. D. 4．如图，直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2， ，则对角线A1C与侧面DCC1D1所成 的角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 5．已知在 中，AB=9，AC=15， ，它所在平面外一点P到 三顶点的距离都是14，那么点P到平面 的距离为（ ） A. 13 B. 11 C. 9 D. 7 6．如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的距离是（ ） A. B. C. D. 2 7．将 ，边长MN=a的菱形MNPQ沿对角线NQ折成 的二面角，则MP与NQ间的距离等于( ) A. B. C. D. 8．二面角 的平面角为 ，在 内， 于B，AB=2,在 内， 于D，CD=3,BD=1, M是棱 上的一个动点，则AM+CM的最小值为( ) A. B. C. D. 9．空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于a, 动点P在线段AB上, 动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为( ) A. B. C. D. 10．在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a ，现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠），那么包装纸的最小边长应为（ ） A. B. C. D. 11．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=AB=2，若棱AB上存在点P，使 ，则棱AD的长的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 12．将正方形ABCD沿对角线AC折起，使点D在平面ABC外，则DB与平面ABC所成的角一定不等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题 1．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是A1B1的中点，则下列四个命题： 1 E到平面ABC1D1的距离是 ； 2 直线BC与平面ABC1D1所成角等于 ； 3 空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成 面积最小值为 ； 4 BE与CD1所成的角为 2．如图，在四棱柱ABCD---A1B1C1D1中，P是A1C1 上的动点，E为CD上的动点，四边形ABCD满 足___________时，体积 恒为定值（写上 你认为正确的一个答案即可） 3．边长为1的等边三角形ABC中,沿BC边高线AD 折起,使得折后二面角B-AD-C为60°,则点A到 BC的距离为_________,点D到平面ABC的距离 为__________. 4．在水平横梁上A、B两点处各挂长为50cm的细绳， AM、BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm 的木条，MN平行于横梁，木条的中点为O，若木条 绕过O的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了 _________. 5．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点A在 平面内.其余顶点在 的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到 的距离分别是1、2和4. P是正方体其余四个顶点中的一个，则P到平面 的距离可能是： ①3；②4；③5；④6；⑤7. 以上结论正确的为 . （写出所有正确结论的编号） 6. 如图，棱长为1m的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔（不计小孔直径）O1、O2、O3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是_______m3. 三、解答题 1． 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，底面边长为a,D为BC为中点，M在BB1上，且BM= B1M，又CM⊥AC1; （1） 求证：CM⊥C1D; （2） 求AA1的长. 2． 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA= ，PA⊥底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上. (1) 求F在何处时，EF⊥平面PBC； (2) 在(1)的条件下，EF是不是PC与AD的公垂线段.若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由； (3) 在(1)的条件下，求直线BD与平面BEF所成的角. 3．如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB= ． （1）求证BC SC； （2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小； （3）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的 大小． 4．在直角梯形ABCD中，(D=(BAD=90(,AD=DC= AB=a,(如图一)将△ADC 沿AC折起，使D到 ．记面AC 为(,面ABC为(．面BC 为(． （1）若二面角((AC((为直二面角（如图二），求二面角((BC((的大小; （2）若二面角((AC((为60(（如图三），求三棱锥 (ABC的体积． 5．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB= ，AF=1，M是线段EF的中点． （1）求证AM//平面BDE； （2）求二面角A(DF(B的大小； （3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与 BC所成的角是60(． A B C D � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� Q B C P A D O M � EMBED PBrush ��� B A C D O G H � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� A B C Q � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� P � � � � � � � � � � � � � B A C D E F G H I J (A、B、C) D E F G H I J A B CA D A1 B1 C1 D1 A1 B1 C1 A B C D O A B C M N K L A B C M N K L P A H E D B C R r A O1 O C B A � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� D B A C D D1 C1 B1 A1 A D B A D1 C1 B1 A1 M N D C B A E D1 A1 C1 B1 A B D C P E A1 D1 C1 B1 � EMBED Equation.3 ���O1 � EMBED Equation.3 ���O2 � EMBED Equation.3 ���O3 � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� � EMBED PBrush ��� PAGE 1 _1225725791.unknown _1225726559.unknown _1257833799.unknown _1257834220.unknown _1257834525.unknown _1257834529.unknown _1257834531.unknown _1257834533.unknown _1257834536.unknown _1257834534.unknown _1257834532.unknown _1257834530.unknown _1257834527.unknown _1257834528.unknown _1257834526.unknown _1257834224.unknown _1257834523.unknown _1257834524.unknown _1257834225.unknown _1257834222.unknown _1257834223.unknown _1257834221.unknown _1257833814.unknown _1257834216.unknown _1257834218.unknown _1257834219.unknown _1257834217.unknown _1257833816.unknown _1257834215.unknown _1257833815.unknown _1257833803.unknown _1257833808.unknown _1257833810.unknown _1257833812.unknown _1257833813.unknown _1257833811.unknown _1257833809.unknown _1257833806.unknown _1257833807.unknown _1257833805.unknown _1257833801.unknown _1257833802.unknown _1257833800.unknown _1257832069.unknown _1257832073.unknown _1257833797.unknown _1257833798.unknown _1257832074.unknown _1257832071.unknown _1257832072.unknown _1257832070.unknown _1225726580.unknown _1225727061.unknown _1257832067.unknown _1257832068.unknown _1257832064.unknown _1257832066.unknown _1257832065.unknown _1257832063.unknown _1225726593.unknown _1225726594.unknown _1225726592.unknown _1225726561.unknown _1225726562.unknown _1225726560.unknown _1225725807.unknown _1225725816.unknown _1225725823.unknown _1225725829.unknown _1225725833.unknown _1225725843.unknown _1225726558.unknown _1225725831.unknown _1225725832.unknown _1225725830.unknown _1225725826.unknown _1225725827.unknown _1225725825.unknown _1225725818.unknown _1225725820.unknown _1225725821.unknown _1225725822.unknown _1225725819.unknown _1225725817.unknown _1225725811.unknown _1225725814.unknown _1225725815.unknown _1225725813.unknown _1225725809.unknown _1225725810.unknown _1225725808.unknown _1225725799.unknown _1225725803.unknown _1225725805.unknown _1225725806.unknown _1225725804.unknown _1225725801.unknown _1225725802.unknown _1225725800.unknown _1225725795.unknown _1225725797.unknown _1225725798.unknown _1225725796.unknown _1225725793.unknown _1225725794.unknown _1225725792.unknown _1225725758.unknown _1225725775.unknown _1225725783.unknown _1225725787.unknown _1225725789.unknown _1225725790.unknown _1225725788.unknown _1225725785.unknown _1225725786.unknown _1225725784.unknown _1225725779.unknown _1225725781.unknown _1225725782.unknown _1225725780.unknown _1225725777.unknown _1225725778.unknown _1225725776.unknown _1225725766.unknown _1225725770.unknown _1225725773.unknown _1225725774.unknown _1225725771.unknown _1225725768.unknown _1225725769.unknown _1225725767.unknown _1225725762.unknown _1225725764.unknown _1225725765.unknown _1225725763.unknown _1225725760.unknown _1225725761.unknown _1225725759.unknown _1225725742.unknown _1225725750.unknown _1225725754.unknown _1225725756.unknown _1225725757.unknown _1225725755.unknown _1225725752.unknown _1225725753.unknown _1225725751.unknown _1225725746.unknown _1225725748.unknown _1225725749.unknown _1225725747.unknown _1225725744.unknown _1225725745.unknown _1225725743.unknown _1225724857.unknown _1225725526.unknown _1225725696.unknown _1225725739.unknown _1225725741.unknown _1225725740.unknown _1225725736.unknown _1225725695.unknown _1225724861.unknown _1225725524.unknown _1225725525.unknown _1225725523.unknown _1225724862.unknown _1225724859.unknown _1225724860.unknown _1225724858.unknown _1225724831.unknown _1225724855.unknown _1225724856.unknown _1225724832.unknown _1225724829.unknown _1225724830.unknown _1225724827.unknown