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2019-2020年高考数学四海八荒易错集专题06三角函数的图像与性质理

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2019-2020年高考数学四海八荒易错集专题06三角函数的图像与性质理PAGE/NUMPAGES2019-2020年高考数学四海八荒易错集专题06三角函数的图像与性质理1.为了得到函数y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)))的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点(  )A.向左平行移动eq\f(π,3)个单位长度B.向右平行移动eq\f(π,3)个单位长度C.向左平行移动eq\f(π,6)个单位长度D.向右平行移动eq\f(π,6)个单位长度答案 D解析 由题意可知,y=sine...

2019-2020年高考数学四海八荒易错集专题06三角函数的图像与性质理
PAGE/NUMPAGES2019-2020年高考数学四海八荒易错集专题06三角函数的图像与性质理1.为了得到函数y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)))的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点(  )A.向左平行移动eq\f(π,3)个单位长度B.向右平行移动eq\f(π,3)个单位长度C.向左平行移动eq\f(π,6)个单位长度D.向右平行移动eq\f(π,6)个单位长度答案 D解析 由题意可知,y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)))=sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,6))))),则只需把y=sin2x的图象向右平移eq\f(π,6)个单位,故选D.2.若将函数y=2sin2x的图象向左平移eq\f(π,12)个单位长度,则平移后图象的对称轴为(  )A.x=eq\f(kπ,2)-eq\f(π,6)(k∈Z)B.x=eq\f(kπ,2)+eq\f(π,6)(k∈Z)C.x=eq\f(kπ,2)-eq\f(π,12)(k∈Z)D.x=eq\f(kπ,2)+eq\f(π,12)(k∈Z)答案 B3.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0,|φ|≤\f(π,2))),x=-eq\f(π,4)为f(x)的零点,x=eq\f(π,4)为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,18),\f(5π,36)))上单调,则ω的最大值为(  )A.11B.9C.7D.5答案 B解析 因为x=-eq\f(π,4)为f(x)的零点,x=eq\f(π,4)为f(x)的图象的对称轴,所以eq\f(π,4)-eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(π,4)))=eq\f(T,4)+kT,即eq\f(π,2)=eq\f(4k+1,4)T=eq\f(4k+1,4)·eq\f(2π,ω),所以ω=4k+1(k∈N),又因为f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,18),\f(5π,36)))上单调,所以eq\f(5π,36)-eq\f(π,18)=eq\f(π,12)≤eq\f(T,2)=eq\f(2π,2ω),即ω≤12,由此得ω的最大值为9,故选B.4.已知函数f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx+\f(π,5)))(x∈R,ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为eq\f(π,2).为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象(  )A.向左平移eq\f(3π,20)个单位长度B.向右平移eq\f(3π,20)个单位长度C.向左平移eq\f(π,5)个单位长度D.向右平移eq\f(π,5)个单位长度答案 A5.如图,函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|≤eq\f(π,2))与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0),∠PQR=eq\f(π,4),M为QR的中点,PM=2eq\r(5),则A的值为(  )A.eq\f(8,3)eq\r(3)B.eq\f(16,3)eq\r(3)C.8D.16答案 B解析 由题意设Q(a,0),R(0,-a)(a>0).则M(eq\f(a,2),-eq\f(a,2)),由两点间距离公式得,PM=eq\r(2-\f(a,2)2+\f(a,2)2)=2eq\r(5),解得a1=8,a2=-4(舍去),由此得,eq\f(T,2)=8-2=6,即T=12,故ω=eq\f(π,6),由P(2,0)得φ=-eq\f(π,3),代入f(x)=Asin(ωx+φ)得,f(x)=Asin(eq\f(π,6)x-eq\f(π,3)),从而f(0)=Asin(-eq\f(π,3))=-8,得A=eq\f(16,3)eq\r(3).6.义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是________.答案 7解析 在区间[0,3π]上分别作出y=sin2x和y=cosx的简图如下:由图象可得两图象有7个交点.7.已知函数f(x)=2asinωx·cosωx+2eq\r(3)cos2ωx-eq\r(3)(a>0,ω>0)的最大值为2,x1,x2是集合M={x∈R|f(x)=0}中的任意两个元素,且|x1-x2|的最小值为6.(1)求函数f(x)的解析式及其图象的对称轴方程;(2)将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位后得到函数y=g(x)的图象,当x∈(-1,2]时,求函数h(x)=f(x)·g(x)的值域.解 (1)f(x)=2asinωx·cosωx+2eq\r(3)cos2ωx-eq\r(3)=asin2ωx+eq\r(3)cos2ωx.由题意知f(x)的最小正周期为12,则eq\f(2π,2ω)=12,得ω=eq\f(π,12).由f(x)的最大值为2,得eq\r(a2+3)=2,又a>0,所以a=1.于是所求函数的解析式为f(x)=sineq\f(π,6)x+eq\r(3)coseq\f(π,6)x=2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x+\f(π,3))),令eq\f(π,6)x+eq\f(π,3)=eq\f(π,2)+kπ(k∈Z),解得x=1+6k(k∈Z),即函数f(x)图象的对称轴方程为x=1+6k(k∈Z).易错起源1、 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式例1、(1)点P从(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动eq\f(2π,3)弧长到达Q点,则Q点的坐标为(  )A.(-eq\f(1,2),eq\f(\r(3),2))B.(-eq\f(\r(3),2),-eq\f(1,2))C.(-eq\f(1,2),-eq\f(\r(3),2))D.(-eq\f(\r(3),2),eq\f(1,2))(2)已知sinα+2cosα=0,则2sinαcosα-cos2α的值是________.答案 (1)A (2)-1解析 (1)设Q点的坐标为(x,y),则x=coseq\f(2π,3)=-eq\f(1,2),y=sineq\f(2π,3)=eq\f(\r(3),2).∴Q点的坐标为(-eq\f(1,2),eq\f(\r(3),2)).(2)∵sinα+2cosα=0,∴sinα=-2cosα,∴tanα=-2,又∵2sinαcosα-cos2α=eq\f(2sinαcosα-cos2α,sin2α+cos2α)=eq\f(2tanα-1,tan2α+1),∴原式=eq\f(2×-2-1,-22+1)=-1.【变式探究】(1)已知点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4),cos\f(3π,4)))落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为(  )A.eq\f(π,4)B.eq\f(3π,4)C.eq\f(5π,4)D.eq\f(7π,4)(2)如图,以Ox为始边作角α(0<α<π),终边与单位圆相交于点P,已知点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,5),\f(4,5))),则eq\f(sin2α+cos2α+1,1+tanα)=________.答案 (1)D (2)eq\f(18,25)解析 (1)tanθ=eq\f(cos\f(3,4)π,sin\f(3,4)π)=eq\f(-cos\f(π,4),sin\f(π,4))=-1,又sineq\f(3π,4)>0,coseq\f(3π,4)<0,所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π),所以θ=eq\f(7π,4).(2)由三角函数定义,得cosα=-eq\f(3,5),sinα=eq\f(4,5),∴原式=eq\f(2sinαcosα+2cos2α,1+\f(sinα,cosα))=eq\f(2cosαsinα+cosα,\f(sinα+cosα,cosα))=2cos2α=2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,5)))2=eq\f(18,25).【名师点睛】(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等),常常借助三角函数的定义求解.应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关.(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等.【锦囊妙计,战胜自我】1.三角函数:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则sinα=y,cosα=x,tanα=eq\f(y,x).各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.2.同角关系:sin2α+cos2α=1,eq\f(sinα,cosα)=tanα.3.诱导公式:在eq\f(kπ,2)+α,k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变,符号看象限”.易错起源2、三角函数的图象及应用例2、(1)要得到函数y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x-\f(π,3)))的图象,只需将函数y=sin4x的图象(  )A.向左平移eq\f(π,12)个单位B.向右平移eq\f(π,12)个单位C.向左平移eq\f(π,3)个单位D.向右平移eq\f(π,3)个单位(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,则f(eq\f(π,3))的值为________.答案 (1)B (2)1解析 (1)∵y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x-\f(π,3)))=sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,12))))),∴要得到y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x-\f(π,3)))的图象,只需将函数y=sin4x的图象向右平移eq\f(π,12)个单位.(2)根据图象可知,A=2,eq\f(3T,4)=eq\f(11π,12)-eq\f(π,6),所以周期T=π,由ω=eq\f(2π,T)=2.又函数过点(eq\f(π,6),2),所以有sin(2×eq\f(π,6)+φ)=1,而0<φ<π,所以φ=eq\f(π,6),则f(x)=2sin(2x+eq\f(π,6)),因此f(eq\f(π,3))=2sin(eq\f(2π,3)+eq\f(π,6))=1.【变式探究】(1)已知函数f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx+\f(π,3)))(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象(  )A.向左平移eq\f(π,12)个单位长度B.向右平移eq\f(π,12)个单位长度C.向左平移eq\f(π,3)个单位长度D.向右平移eq\f(π,3)个单位长度(2)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x+φ))+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(  )A.5B.6C.8D.10答案 (1)A (2)C【名师点睛】(1)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求A;由函数的周期确定ω;确定φ常根据“五点法”中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置.(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换.变换只是相对于其中的自变量x而言的,如果x的系数不是1,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向.【锦囊妙计,战胜自我】函数y=Asin(ωx+φ)的图象(1)“五点法”作图:设z=ωx+φ,令z=0,eq\f(π,2),π,eq\f(3π,2),2π,求出x的值与相应的y的值,描点、连线可得.(2)图象变换:y=sinxeq\o(―――――――――→,\s\up7(向左φ>0或向右φ<0),\s\do5(平移|φ|个单位))y=sin(x+φ)eq\o(―――――――――――→,\s\up7(纵坐标变为原来的AA>0倍),\s\do5(横坐标不变))y=Asin(ωx+φ).易错起源3、 三角函数的性质例3、已知函数f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-x))sinx-eq\r(3)cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)讨论f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(2π,3)))上的单调性.解 (1)f(x)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)-x))sinx-eq\r(3)cos2x=cosxsinx-eq\f(\r(3),2)(1+cos2x)=eq\f(1,2)sin2x-eq\f(\r(3),2)cos2x-eq\f(\r(3),2)=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x-\f(π,3)))-eq\f(\r(3),2),因此f(x)的最小正周期为π,最大值为eq\f(2-\r(3),2).(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(2π,3)))时,0≤2x-eq\f(π,3)≤π,从而当0≤2x-eq\f(π,3)≤eq\f(π,2),即eq\f(π,6)≤x≤eq\f(5π,12)时,f(x)单调递增,当eq\f(π,2)≤2x-eq\f(π,3)≤π,即eq\f(5π,12)≤x≤eq\f(2π,3)时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6),\f(5π,12)))上单调递增;在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,12),\f(2π,3)))上单调递减.【变式探究】设函数f(x)=2cos2x+sin2x+a(a∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)当x∈[0,eq\f(π,6)]时,f(x)的最大值为2,求a的值,并求出y=f(x)(x∈R)的对称轴方程.解 (1)f(x)=2cos2x+sin2x+a=1+cos2x+sin2x+a=eq\r(2)sin(2x+eq\f(π,4))+1+a,则f(x)的最小正周期T=eq\f(2π,2)=π,且当2kπ-eq\f(π,2)≤2x+eq\f(π,4)≤2kπ+eq\f(π,2)(k∈Z),即kπ-eq\f(3π,8)≤x≤kπ+eq\f(π,8)(k∈Z)时,f(x)单调递增.所以[kπ-eq\f(3π,8),kπ+eq\f(π,8)](k∈Z)为f(x)的单调递增区间.【名师点睛】函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用的求解思路第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y=Asin(ωx+φ)+B的形式;第二步:把“ωx+φ”视为一个整体,借助复合函数性质求y=Asin(ωx+φ)+B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.【锦囊妙计,战胜自我】1.三角函数的单调区间:y=sinx的单调递增区间是[2kπ-eq\f(π,2),2kπ+eq\f(π,2)](k∈Z),单调递减区间是[2kπ+eq\f(π,2),2kπ+eq\f(3π,2)](k∈Z);y=cosx的单调递增区间是[2kπ-π,2kπ](k∈Z),单调递减区间是[2kπ,2kπ+π](k∈Z);y=tanx的递增区间是(kπ-eq\f(π,2),kπ+eq\f(π,2))(k∈Z).2.y=Asin(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ+eq\f(π,2)(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ+eq\f(π,2)(k∈Z)求得.y=Acos(ωx+φ),当φ=kπ+eq\f(π,2)(k∈Z)时为奇函数;当φ=kπ(k∈Z)时为偶函数;对称轴方程可由ωx+φ=kπ(k∈Z)求得.y=Atan(ωx+φ),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数.1.若0≤sinα≤eq\f(\r(2),2),且α∈[-2π,0],则α的取值范围是(  )A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-2π,-\f(7π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(5π,4),-π))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-2π+2kπ,-\f(7π,4)+2kπ))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(5π,4)+2kπ,-π+2kπ))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3π,4),π))D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ,2kπ+\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(3π,4),2kπ+π))(k∈Z)答案 A解析 根据题意并结合正弦线可知,α满足eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ,2kπ+\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ+\f(3π,4),2kπ+π))(k∈Z),∵α∈[-2π,0],∴α的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-2π,-\f(7π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(5π,4),-π)).故选A.2.函数f(x)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x-\f(π,3)))的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度后得到的图象对应的函数为(  )A.y=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x+\f(π,3)))B.y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x+\f(π,3)))C.y=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x+\f(2π,3)))D.y=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x+\f(2π,3)))答案 C解析 函数f(x)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x-\f(π,3)))的图象向左平移eq\f(π,3)个单位长度后所得图象的解析式为y=cos[3(x+eq\f(π,3))-eq\f(π,3)]=cos(3x+eq\f(2π,3)),故选C.3.已知tanα=3,则eq\f(cosπ-α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,2))))的值为(  )A.-eq\f(1,3)B.-3C.eq\f(1,3)D.3答案 A解析 eq\f(cosπ-α,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,2))))=eq\f(-cosα,sinα)=-eq\f(1,tanα)=-eq\f(1,3).4.已知角α的终边经过点A(-eq\r(3),a),若点A在抛物线y=-eq\f(1,4)x2的准线上,则sinα等于(  )A.-eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),2)C.-eq\f(1,2)D.eq\f(1,2)答案 D解析 由条件,得抛物线的准线方程为y=1,因为点A(-eq\r(3),a)在抛物线y=-eq\f(1,4)x2的准线上,所以a=1,所以点A(-eq\r(3),1),所以sinα=eq\f(1,\r(3+1))=eq\f(1,2).5.函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(xx)的值为(  )A.0    B.3eq\r(2)C.6eq\r(2)    D.-eq\r(2)答案 A解析 由图可得,A=2,T=8,eq\f(2π,ω)=8,ω=eq\f(π,4),∴f(x)=2sineq\f(π,4)x,∴f(1)=eq\r(2),f(2)=2,f(3)=eq\r(2),f(4)=0,f(5)=-eq\r(2),f(6)=-2,f(7)=-eq\r(2),f(8)=0,而xx=8×251+7,∴f(1)+f(2)+…+f(xx)=0.6.函数y=2sin(eq\f(πx,6)-eq\f(π,3))(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为________.答案 2+eq\r(3)解析 因为0≤x≤9,所以-eq\f(π,3)≤eq\f(πx,6)-eq\f(π,3)≤eq\f(7π,6),因此当eq\f(πx,6)-eq\f(π,3)=eq\f(π,2)时,函数y=2sin(eq\f(πx,6)-eq\f(π,3))取得最大值,即ymax=2×1=2.当eq\f(πx,6)-eq\f(π,3)=-eq\f(π,3)时,函数y=2sin(eq\f(πx,6)-eq\f(π,3))取得最小值,即ymin=2sin(-eq\f(π,3))=-eq\r(3),因此y=2sin(eq\f(πx,6)-eq\f(π,3))(0≤x≤9)的最大值与最小值之差为2+eq\r(3).7.已知函数f(x)=3sin(ωx-eq\f(π,6))(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈[0,eq\f(π,2)],则f(x)的取值范围是________.答案 [-eq\f(3,2),3]8.已知α是三角形的内角,若sinα+cosα=eq\f(1,5),则tanα=________.答案 -eq\f(4,3)解析 方法一 由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2α+cos2α=1,,sinα+cosα=\f(1,5),))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα=\f(4,5),,cosα=-\f(3,5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα=-\f(3,5),,cosα=\f(4,5).))因为α∈(0,π),所以sinα>0,所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα=\f(4,5),,cosα=-\f(3,5).))所以tanα=eq\f(sinα,cosα)=-eq\f(4,3).方法二 由已知得(sinα+cosα)2=eq\f(1,25),化简得2sinαcosα=-eq\f(24,25),则可知角α是第二象限角,且(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=eq\f(49,25),由于sinα-cosα>0,所以sinα-cosα=eq\f(7,5),将该式与sinα+cosα=eq\f(1,5)联立,解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα=\f(4,5),,cosα=-\f(3,5).))所以tanα=eq\f(sinα,cosα)=-eq\f(4,3).9.已知函数f(x)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(π,4))).(1)若f(α)=eq\f(3,5),其中eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4),求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,4)))的值;(2)设g(x)=f(x)·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,2))),求函数g(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),\f(π,3)))上的最大值和最小值.解 (1)因为f(α)=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,4)))=eq\f(3,5),且0<α-eq\f(π,4)<eq\f(π,2),所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α-\f(π,4)))=eq\f(4,5).(2)g(x)=f(x)·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,2)))=coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)-x))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))=sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)+x))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,4)))=eq\f(1,2)cos2x.x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,6),\f(π,3)))时,2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(π,3),\f(2π,3))).则当x=0时,g(x)的最大值为eq\f(1,2);当x=eq\f(π,3)时,g(x)的最小值为-eq\f(1,4).10.已知a>0,函数f(x)=-2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,6)))+2a+b,当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2)))时,-5≤f(x)≤1.(1)求常数a,b的值;(2)设g(x)=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,2)))且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间.(2)由(1)得,f(x)=-4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,6)))-1,g(x)=feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(π,2)))=-4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(7π,6)))-1=4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,6)))-1,又由lgg(x)>0,得g(x)>1,∴4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,6)))-1>1,∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x+\f(π,6)))>eq\f(1,2),∴2kπ+eq\f(π,6)<2x+eq\f(π,6)<2kπ+eq\f(5π,6),k∈Z,其中当2kπ+eq\f(π,6)<2x+eq\f(π,6)≤2kπ+eq\f(π,2),k∈Z时,g(x)单调递增,即kπ0)的部分图象如图所示,点A,B是最高点,点C是最低点,若△ABC是直角三角形,则f(eq\f(1,2))=________.答案 eq\f(\r(2),2)12.已知函数f(x)=Asin(ωx+eq\f(π,4))(A>0,ω>0),g(x)=tanx,它们的最小正周期之积为2π2,f(x)的最大值为2g(eq\f(17π,4)).(1)求f(x)的单调递增区间;(2)设h(x)=eq\f(3,2)f2(x)+2eq\r(3)cos2x.当x∈[a,eq\f(π,3))时,h(x)有最小值为3,求a的值.解 (1)由题意,得eq\f(2π,ω)·π=2π2,所以ω=1.又A=2g(eq\f(17π,4))=2taneq\f(17,4)π=2taneq\f(π,4)=2,所以f(x)=2sin(x+eq\f(π,4)).令2kπ-eq\f(π,2)≤x+eq\f(π,4)≤2kπ+eq\f(π,2)(k∈Z),得2kπ-eq\f(3π,4)≤x≤2kπ+eq\f(π,4)(k∈Z).故f(x)的单调递增区间为[2kπ-eq\f(3π,4),2kπ+eq\f(π,4)](k∈Z).(2)因为h(x)=eq\f(3,2)f2(x)+2eq\r(3)cos2x=eq\f(3,2)×4×sin2(x+eq\f(π,4))+2eq\r(3)cos2x=3(sinx+cosx)2+2eq\r(3)cos2x=3+3sin2x+eq\r(3)(cos2x+1)=3+eq\r(3)+2eq\r(3)sin(2x+eq\f(π,6)),又h(x)有最小值为3,所以有3+eq\r(3)+2eq\r(3)sin(2x+eq\f(π,6))=3,即sin(2x+eq\f(π,6))=-eq\f(1,2).因为x∈[a,eq\f(π,3)),所以2x+eq\f(π,6)∈[2a+eq\f(π,6),eq\f(5π,6)),所以2a+eq\f(π,6)=-eq\f(π,6),即a=-eq\f(π,6).温馨提示:最好仔细阅读后才下载使用,万分感谢!
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分类:工学
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