初二数学知识点总结2第一章 轴对称
1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形
2 轴对称的性质
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线;
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
3 用坐标表示轴对称
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),关于y轴对称的点的坐标是(-x,y),关于原点对称的点的坐标是(-x,-y).
4 等腰三角形
等腰三角形的两个底角相等;(等边对等...
第一章 轴对称
1 轴对称图形和关于直线对称的两个图形
2 轴对称的性质
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;
如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线;
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
3 用坐标表示轴对称
点(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y),关于y轴对称的点的坐标是(-x,y),关于原点对称的点的坐标是(-x,-y).
4 等腰三角形
等腰三角形的两个底角相等;(等边对等角)
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合;(三线合一)
一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。(等角对等边)
5 等边三角形的性质和判定
等边三角形的三个内角都相等,都等于60度;
三个角都相等的三角形是等边三角形;
有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形;
推论:
直角三角形中,如果有一个锐角是30度,那么他所对的直角边等于斜边的一半。
在三角形中,大角对大边,大边对大角。
第二章勾股定理、平方根
一、勾股定理:
1、勾股定理定义:如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么
a2+b2=c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾:直角三角形较短的直角边
股:直角三角形较长的直角边
弦:斜边
勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c有下面关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数:满足a2+b2=c2的三个正整数叫做勾股数(注意:若a,b,c、为勾股数,那么ka,kb,kc同样也是勾股数组。)
*附:常见勾股数:3,4,5; 6,8,10; 9,12,15; 5,12,13
3. 判断直角三角形:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ,那么这个三角形是直角三角形。(经典直角三角形:勾三、股四、弦五)
其他方法:(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形。
(2)有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是:
(1)确定最大边(不妨设为c);
(2)若c2=a2+b2,则△ABC是以∠C为直角的三角形;
若a2+b2<c2,则此三角形为钝角三角形(其中c为最大边);
若a2+b2>c2,则此三角形为锐角三角形(其中c为最大边)
4.注意:(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(2)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(3)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用:
(1)已知直角三角形的两边求第三边。
(2)已知直角三角形的一边,求另两边的关系。
(3)用于证明线段平方关系的问题。
(4)利用勾股定理,作出长为
的线段
二、平方根:(11——19的平方)
1、平方根定义:如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根。(也称为二次方根),也就是说如果x2=a,那么x就叫做a的平方根。
2、平方根的性质:
①一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
一个正数a的正的平方根,记作“
”,又叫做算术平方根,它负的平方根,记作“—
”,这两个平方根合起来记作“±
”。( a叫被开方数, “
”是二次根号,这里“
”,亦可写成“
”)
②0只有一个平方根,就是0本身。算术平方根是0。
③负数没有平方根。
3、 开平方:求一个数的平方根的运算叫做开平方,开平方和平方运算互为逆运算。
4、(1) 平方根是它本身的数是零。
(2)算术平方根是它本身的数是0和1。
(3)
(4)一个数的两个平方根之和为0
三、立方根:(1——9的立方)
1、立方根的定义:如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根。(也称为二次方根),也就是说如果x3=a,那么x就叫做a的立方根。记作“
”。
2、立方根的性质:
①任何数都有立方根,并且只有一个立方根,正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.
②互为相反数的数的立方根也互为相反数,即
=
③
3、开立方:求一个数的立方根的运算叫做开立方,开立方与立方运算为互逆运算,开立方的运算结果是立方根。
4、立方根是它本身的数是1,0,-1。
5、平方根和立方根的区别:
(1)被开方数的取值范围不同:在
中,
,在
中,a可以为任意数值。
(2)正数的平方根有两个,而它的立方根只有一个;负数没有平方根,而它有一个立方根。
6、立方根和平方根:
不同点:
(1)任何数都有立方根,正数和0有平方根,负数没有平方根;即被开方数的取值范围不同:±
中的被开方数a是非负数;
中的被开方数可以是任何数.
(2)正数有两个平方根,任何数都有惟一的立方根;
(3)立方根等于本身的数有0、1、—1,平方根等于本身的数只有0.
共同点:0的立方根和平方根都是0.
四、实数:
1、定义:有理数和无理数统称为实数
无理数:无限不循环小数称(包括所有开方开不尽的数,∏)。
有理数:有限小数或无限循环小数
注意:分数都是有理数,因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式
2、实数的分类:
实数的性质:①实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。
②实数同有理数一样,可用数轴上的点表示,且实数和数轴上的点一一对应。
③两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。
④实数可以按有理数的运算法则和运算律进行运算。
3、近似数:由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量,甚至在更多情况下不可能得到
精确的数,用以描述所研究的量,这样的数就叫近似数。
取近似值的方法——四舍五入法
4、有效数字:对一个近似数,从左边第一个不是0的数字起,到末位数字止,所有的数
都称为这个近似数的有效数字
5、科学记数法:
把一个数记为
6、实数和数轴:
每一个实数都可以用数轴上的点来表示;反过来,数轴上每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是一一对应的。
第四章 数量、位置的变化
一、 在平面内,确定物体的位置一般需要两个数据。
二、平面直角坐标系及有关概念
1、平面直角坐标系
在平面内,两条互相垂直且有公共原点的数轴,组成平面直角坐标系。其中,水平的数轴叫做x轴或横轴,取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴,取向上为正方向;x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点O称为直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的平面,叫做坐标平面。
2、为了便于描述坐标平面内点的位置,把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:x轴和y轴上的点(坐标轴上的点),不属于任何一个象限。
3、点的坐标的概念
对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线,垂足在上x轴、y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序数对(a,b)叫做点P的坐标。
点的坐标用(a,b)表示,其顺序是横坐标在前,纵坐标在后,中间有“,”分开,横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对,当
时,(a,b)和(b,a)是两个不同点的坐标。
平面内点的与有序实数对是一一对应的。
4、不同位置的点的坐标的特征
(1)、各象限内点的坐标的特征
点P(x,y)在第一象限
点P(x,y)在第二象限
点P(x,y)在第三象限
点P(x,y)在第四象限
(2)、坐标轴上的点的特征
点P(x,y)在x轴上
,x为任意实数
点P(x,y)在y轴上
,y为任意实数
点P(x,y)既在x轴上,又在y轴上
x,y同时为零,即点P坐标为(0,0)即原点
(3)、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上
x与y相等
点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上
x与y互为相反数
(4)、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
(5)、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称
横坐标相等,纵坐标互为相反数,即点P(x,y)关于x轴的对称点为P’(x,-y)
点P与点p’关于y轴对称
纵坐标相等,横坐标互为相反数,即点P(x,y)关于y轴的对称点为P’(-x,y)
点P与点p’关于原点对称
横、纵坐标均互为相反数,即点P(x,y)关于原点的对称点为P’(-x,-y)
(6)、点到坐标轴及原点的距离
点P(x,y)到坐标轴及原点的距离:
(1)点P(x,y)到x轴的距离等于
(2)点P(x,y)到y轴的距离等于
(3)点P(x,y)到原点的距离等于
三、坐标变化与图形变化的规律:
坐标( x , y )的变化
图形的变化
x × a或 y × a
被横向或纵向拉长(压缩)为原来的 a倍
x × a, y × a
放大(缩小)为原来的 a倍
x ×( -1)或 y ×( -1)
关于 y 轴或 x 轴对称
x ×( -1), y ×( -1)
关于原点成中心对称
x +a或 y+ a
沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位
x +a, y+ a
沿 x 轴平移 a个单位,再沿 y 轴平移 a个单
第五章 一次函数
一、函数:
一般地,在某一变化过程中有两个变量x与y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y值,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量。
二、自变量取值范围
使函数有意义的自变量的取值的全体,叫做自变量的取值范围。一般从整式(取全体实数),分式(分母不为0)、二次根式(被开方数为非负数)、实际意义几方面考虑。
三、函数的三种表示法及其优缺点
(1)关系式(解析)法
两个变量间的函数关系,有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示,这种表示法叫做关系式(解析)法。
(2)列表法
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