§10.3 抛物线及其性质
考纲解读
考点
考纲内容
要求
浙江省五年高考统计
2013
2014
2015
2016
2017
1.抛物线的定义和
标准
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方程
1.了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.
掌握
15,4分
22(文),
约5分
22(文),
约5分
9,4分
19(1)(文),
6分
15,约4分
2.抛物线的几何性质
1.掌握抛物线的简单几何性质.
2.理解数形结合的思想.
掌握
22(文),
约5分
22(文),
约6分
5,5分
20(文),
约7分
19(2)(文),
9分
15,约6分
分析解读 1.考查抛物线的定义、标准方程及简单几何性质.
2.考查直线与抛物线的位置关系,以及与抛物线有关的综合问题.
3.预计2019年高考中,抛物线的标准方程及简单几何性质仍将被考查.
五年高考
考点一 抛物线的定义和标准方程
1.(2013课标全国Ⅱ,11,5分)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )
A.y2=4x或y2=8x
B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x
D.y2=2x或y2=16x
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
C
2.(2016浙江,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是 .
答案 9
3.(2017课标全国Ⅱ理,16,5分)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|= .
答案 6
4.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p= .
答案 2
5.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(a
0)经过C,F两点,则= .
答案 1+
考点二 抛物线的几何性质
1.(2015浙江,5,5分)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
2.(2016课标全国Ⅰ,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )
A.2
B.4
C.6
D.8
答案 B
3.(2017山东理,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .
答案 y=±x
4.(2016浙江文,19,15分)如图,设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|-1.
(1)求p的值;
(2)若直线AF交抛物线于另一点B,过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N,AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围.
解析 (1)由题意可得,抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x=-1的距离,由抛物线的定义得=1,即p=2.
(2)由(1)得,抛物线方程为y2=4x,F(1,0),可设A(t2,2t),t≠0,t≠±1.
因为AF不垂直于y轴,可设直线AF:x=sy+1(s≠0),由消去x得y2-4sy-4=0,
故y1y2=-4,所以,B.
又直线AB的斜率为,故直线FN的斜率为-.
从而得直线FN:y=-(x-1),直线BN:y=-.
所以N.
设M(m,0),由A,M,N三点共线得
=,于是m=.
所以m<0或m>2.
经检验,m<0或m>2满足题意.
综上,点M的横坐标的取值范围是(-∞,0)∪(2,+∞).
5.(2014浙江文,22,14分)已知△ABP的三个顶点都在抛物线C:x2=4y上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,=3.
(1)若||=3,求点M的坐标;
(2)求△ABP面积的最大值.
解析 (1)由题意知焦点F(0,1),准线方程为y=-1.
设P(x0,y0),由抛物线定义知|PF|=y0+1,得到y0=2,
所以P(2,2)或P(-2,2).
由=3,分别得M或M.
(2)设直线AB的方程为y=kx+m,点A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0).
由得x2-4kx-4m=0,
于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,
所以AB中点M的坐标为(2k,2k2+m).
由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),
所以由=4y0得k2=-m+.
由Δ>0,k2≥0,得-f,
所以,当m=时, f(m)取到最大值,此时k=±.
所以,△ABP面积的最大值为.
6.(2013浙江文,22,14分)已知抛物线C的顶点为O(0,0),焦点为F(0,1).
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点F作直线交抛物线C于A,B两点.若直线AO,BO分别交直线l:y=x-2于M,N两点,求|MN|的最小值.
解析 (1)由题意可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),则=1,所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+1.
由消去y,整理得x2-4kx-4=0,
所以x1+x2=4k,x1x2=-4.从而|x1-x2|=4.
由
解得点M的横坐标xM===.
同理点N的横坐标xN=.
所以|MN|=|xM-xN|
=
=8
=.
令4k-3=t,t≠0,则k=.
当t>0时,|MN|=2>2.
当t<0时,|MN|=2≥.
综上所述,当t=-,即k=-时,|MN|的最小值是.
7.(2017北京理,18,14分)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.
(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(2)求证:A为线段BM的中点.
解析 本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.
(1)由抛物线C:y2=2px过点P(1,1),得p=.
所以抛物线C的方程为y2=x.
抛物线C的焦点坐标为,准线方程为x=-.
(2)由题意,设直线l的方程为y=kx+(k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).
由得4k2x2+(4k-4)x+1=0.
则x1+x2=,x1x2=.
因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y=x,点B的坐标为.
因为y1+-2x1=
=
===0,
所以y1+=2x1.
故A为线段BM的中点.
8.(2014大纲全国,21,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程.
解析 (1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.
所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.
由题设得+=×,
解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程为y2=4x.(5分)
(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).
代入y2=4x得y2-4my-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.
故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).
又l'的斜率为-m,
所以l'的方程为x=-y+2m2+3.
将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.
设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).
故MN的中点为E,
|MN|=|y3-y4|=.(10分)
由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,
即4(m2+1)2++=.
化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.
所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)
教师用书专用(9—10)
9.(2013安徽,13,5分)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为 .
答案 [1,+∞)
10.(2013江西,14,5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= .
答案 6
三年模拟
A组 2016—2018年模拟·基础题组
考点一 抛物线的定义和标准方程
1.(2017浙江“超级全能生”联考(3月),4)设抛物线的顶点在原点,焦点在x轴上,若抛物线上的点A(-1,a)与焦点F的距离为2,则a=( )
A.4
B.4或-4
C. -2
D.-2或2
答案 D
2.(2017浙江杭州二模(4月),7)设倾斜角为α的直线经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点,设点A在x轴上方,点B在x轴下方.若=m,则cos α的值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 A
3.(2018浙江名校协作体期初,15)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若=,则||= .
答案 5
4.(2017浙江稽阳联谊学校联考(4月),11)已知抛物线y2=-2px过点M(-2,2),则p= ,准线方程是 .
答案 1;x=
5.(2018浙江镇海中学期中,19)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C:x2=2py的焦点为F(0,1),过O作斜率为k(k≠0)的直线l交抛物线于A(异于O点),已知D(0,5),直线AD交抛物线于另一点B.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若OA⊥BF,求k的值.
解析 (1)由题意知,=1,所以p=2,所以抛物线C:x2=4y.(6分)
(2)由题意知,直线OA:y=kx,将其代入抛物线方程:x2=4y中,
消去y,得x2-4kx=0,则A(4k,4k2).(8分)
直线AB:y=x+5,直线BF:y=-x+1,(10分)
联立可解得B. (12分)
又因为B在抛物线C上,则=4×,(13分)
得(4k2+3)(4k2-5)=0,得k=±.(15分)
考点二 抛物线的几何性质
6.(2018浙江镇海中学期中,6)已知抛物线y2=4x的焦点为F,O为原点,若M是抛物线上的动点,则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
7.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),12)已知抛物线x2=4y,则该抛物线的焦点坐标是 ;过焦点斜率为1的直线与抛物线交于P,Q两点,则|PQ|= .
答案 (0,1);8
8.(2016浙江宁波二模,19)在“2016”的Logo
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
中,有这样一个图案:.其由线段l、抛物线弧E及圆C三部分组成.对其进行代数化的分析,如图建系,发现:圆C方程为(x-4)2+y2=16,抛物线弧E:y2=2px(p>0,y≥0,0≤x≤8),若圆心C恰为抛物线y2=2px的焦点,线段l所在的直线恰为抛物线y2=2px的准线.
(1)求p的值及线段l所在的直线方程;
(2)P为圆C上的任意一点,过P作圆的切线交抛物线弧E于A、B两点,问是否存在这样的点P,使得弦AB在l上的投影的长度与圆C的直径之比为4∶3?若存在,求出P点坐标;若不存在,请
说明
关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书
理由.
解析 (1)由题意易得p=8,线段l所在直线方程为x=-4.(5分)
(2)假设存在这样的P点,设P(x0,y0)(0≤x0≤8),
则切线方程为(x0-4)(x-4)+y0y=16,(7分)
将其与抛物线方程y2=16x联立,显然x0≠4,y0>0.
整理得y2+y0y-4x0=0,(9分)
设点A、B在l上的投影分别为M,N.
由题意可得|MN|=|yA-yB|==,
解得x0=1(x0=16舍去).
此时P(1,),则yA,B=(±2),(11分)
因为抛物线弧的右上端点坐标为(8,8),
且(+2)>8,故此时的P不满足条件,即这样的P点不存在.(15分)
B组 2016—2018年模拟·提升题组
一、选择题
1.(2017浙江绍兴质量调测(3月),7)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点M(p,0)的直线交抛物线于A,B两点,若=2,则=( )
A.2
B.
C.
D.与p有关
答案 B
二、填空题
2.(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,13)设抛物线y2=4x的焦点为F,P,R为抛物线上的点,若|PF|=4,则点P的坐标是 ;若直线RF与抛物线的另一交点为Q,且△RQO(O为坐标原点)的重心在直线y=x上,则直线RF的斜率是 .
答案 (3,±2);2或1
3.(2017浙江台州4月调研卷(一模),15)过抛物线y2=4x的焦点F作直线与抛物线及其准线分别交于A,B,C三点,若=4,则||= .
答案
4.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,11)已知抛物线C:y2=2x,若C上的点M到焦点F的距离为,则△OFM的面积是 .
答案 1
三、解答题
5.(2018浙江名校协作体期初,21)如图,已知抛物线C1:x2=2py的焦点在抛物线C2:y=x2+1上,点P是抛物线C1上的动点.
(1)求抛物线C1的方程及其准线方程;
(2)过点P作抛物线C2的两条切线,A、B为两个切点,求△PAB面积的最小值.
解析 (1)C1的方程为x2=4y,(3分)
其准线方程为y=-1.(5分)
(2)设P(2t,t2),A(x1,y1),B(x2,y2),
则切线PA的方程:y-y1=2x1(x-x1),即y=2x1x-2+y1,又y1=+1,所以y=2x1x+2-y1,同理得切线PB的方程为y=2x2x+2-y2,又切线PA和PB都过P点,所以所以直线AB的方程为4tx-y+2-t2=0.(9分)
联立得x2-4tx+t2-1=0,所以
所以|AB|=|x1-x2|=.(11分)
点P到直线AB的距离d==.(13分)
所以△PAB的面积S=|AB|d=2(3t2+1)=2(3t2+1,
所以当t=0时,S取得最小值,为2.即△PAB面积的最小值为2.(15分)
6.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,21)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,直线l过点F,且与C交于M,N两点.
(1)当l与y轴垂直时,△OMN的面积为2(O为坐标原点),求此时抛物线C的方程;
(2)过M,N分别作抛物线C的两条切线交于点P,当直线l变化时,证明:P点在一条定直线上,并且以MP为直径的圆过定点.
解析 (1)当直线l与y轴垂直时,|MN|=2p,S△OMN=·2p·==2,因此p=2,
所以此时抛物线C的方程为x2=4y.(4分)
(2)证明:由题意知,直线l的斜率必存在,设l的方程为y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2),P(xP,yP).
由x2=2py,得y=x2,所以y'=x,
所以切线PM的斜率为x1,PM的方程为y-y1=x1(x-x1),即x1x=p(y1+y).
同理,PN的方程为x2x=p(y2+y).
联立消去x,得y===-,
故点P的纵坐标为定值,所以点P在定直线y=-,即抛物线的准线上.(12分)
把yP=-代入x1x=p(y1+y),得xP==pk,所以P,
又因为F,所以kPF=-.
于是PF⊥MN,亦即∠PFM=90°,
所以以PM为直径的圆过定点F.(15分)
C组 2016—2018年模拟·
方法
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题组
方法1 抛物线的定义和标准方程的解题策略
1.(2017浙江名校协作体期初,9)双曲线C:-y2=1的渐近线方程是 ;若抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线C的一个焦点重合,则p= .
答案 y=±x;4
2.(2016浙江嘉兴第一中学能力测试,20)已知抛物线x2=2py(p>0)与直线3x-2y+1=0交于A,B两点,|AB|=,点M在抛物线上,MA⊥MB.
(1)求p的值;
(2)求点M的坐标.
解析 (1)将y=x+代入x2=2py,得x2-3px-p=0,
由|AB|=及p>0得p=.
(2)由(1)得A(1,2),B,抛物线方程为y=2x2.
设点M(x0,y0),由MA⊥MB得·=0,
即(x0-1)+(y0-2)=0,
将y0=2代入得(x0-1)+4(x0-1)(x0+1)·=0,
又x0≠1且x0≠-,所以1+4(x0+1)=0,解得x0=0或x0=-,
所以点M的坐标为(0,0)或.
方法2 抛物线的几何性质的解题策略
3.(2016“江南十校”信息优化卷,13)经过抛物线y2=2px(p≠0)的顶点O作两条弦OA和OB,若弦OA、OB所在直线的斜率k1、k2恰好是方程x2+6x-4=0的两个根,则直线AB的斜率为 .
答案
方法3 与抛物线有关的综合问题的解题策略
4.(2016浙江模拟训练卷(三),19)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点M(-1,0)且斜率为k的直线l与抛物线C相交于不同的两点A、B,且∠AFB为锐角.
(1)求k的取值范围;
(2)求△AFB面积的取值范围.
解析 (1)显然k≠0,直线l的方程为y=k(x+1),
由得k2x2+2(k2-2)x+k2=0.
设A(x1,y1)、B(x2,y2),则有x1+x2=-,x1x2=1.
显然A,F,B三点不共线,故∠AFB为锐角等价于·>0.
而·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k2(x1+1)·(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2-1)(x1+x2)+k2+1=2k2+2+,
从而有2k2+2+>0,即有k2>.
由Δ=4(k2-2)2-4k4>0,得k2<1.
则有
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