第二章基本初等函数知识点

状元家教 1 指数函数及其性质 一、指数与指数幂的运算 (一)根式的概念 1、如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>,且n N +∈,那么x 叫做a 的n 次方根.当n 是奇数时,a 的n 次方根用符号n 是偶数时,正数a 的正的n 的n 次方根用符号0的n 次方根是0;负数a 没有n 次方根. 2 n 叫做根指数,a 叫做被开方数.当n 为奇数时,a 为任意实数;当n 为偶数时,0a ≥. 3、根式的性质 :n a =;当n 为奇数时 , a =;当n 为偶数时, (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >.0的正分数指数幂等于0. 2 、正数的负分数指数幂的意义是: 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >.0的负分数指数幂没有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. 3、a 0=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0;p ∈N *) 4、指数幂的运算性质 (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念 一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 注意:○ 1 指数函数的定义是一个形式定义; ○ 2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1. 2 (1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈ (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f = (4)当1a >时,若21x x <,则)x (f )x (f 21< 四、底数的平移 对于任何一个有意义的指数函数: 在指数上加上一个数,图像会向左平移;减去一个数,图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数,图像会向上平移;减去一个数,图像会向下平移。 即“上加下减,左加右减” 五、幂的大小比较 常用方法(1)比差(商)法: (2)函数单调性法; (3)中间值法:要比较A 与B 的大小,先找一个中间值C ,再比较A 与C 、B 与 C 的大小,由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小。 注意: (1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断。 例如:y 1=34,y 2=35 (2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数图像的变化规律来判断。 例如:y 1=(1/2)4,y 2=34 , (3)对于底数不同,且指数也不同的幂的大小比较,则可以利用中间值来比较 ①对于三个(或三个以上)的数的大小比较,则应该先根据值的大小(特别是与0、 1的大小)进行分组,再比较各组数的大小即可。 ② 在比较两个幂的大小时,如果能充分利用“1”来搭“桥”(即比较它们与 “1”的大小),就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大 异小”。即当底数a 和1与指数x 与0之间的不等号同向时,a x 大于1,异向 时a x 小于1. 对数函数及其性质 一、对数与对数的运算 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为底..N 的对数,记作: N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 说明:① 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ②x N N a a x =?=log ; 3 ③注意对数的书写格式.N a log 两个重要对数:① 常用对数:以10为底的对数N lg ; ② 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 指数式与对数式的互化 幂值 真数 (二)对数的运算性质 如果 0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么: ① M a (log ·=)N M a log +N a log ;○2 =N M a log M a log -N a log ; ○3 n a M log n =M a log )(R n ∈. ④ M a M a n n log 1log = ⑤ b b a a =log ⑥ b a b a =log ⑦ log a 1 =0 ⑧ log a a=1 ⑨ a log a N=N ⑩ log a a b =b 注意:换底公式 a b b c c a log log log = (0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ). 推论(利用换底公式) ①b m n b a n a m log log = ; ②a b b a log 1log = . 二、对数函数 1、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量,函数 的定义域是(0,+∞). 注意:① 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如:x y 2log 2=, 5 log 5 x y = 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. ② 对数函数对底数的限制:0(>a ,且)1≠a . 4 反函数 一、反函数定义 设函数()y f x =的定义域为A ,值域为C ,从式子()y f x =中解出x ,得式子()x y ?=.如果对于y 在C 中的任何一个值,通过式子()x y ?=,x 在A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子()x y ?=表示 x 是y 的函数,函数()x y ?=叫做函数()y f x =的反函数,记作1()x f y -=,习惯上改写成1()y f x -=. 二、反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域; ②从原函数式()y f x =中反解出1 ()x f y -=; ③将1 ()x f y -=改写成1()y f x -=,并注明反函数的定义域. 三、反函数的性质 ①原函数()y f x =与反函数1 ()y f x -=的图象关于直线y x =对称. ②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1 ()y f x -=的值域、定义域. ③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上,则' (,)P b a 在反函数1 ()y f x -=的图象上. ④一般地,函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数. 幂函数及其性质 一、幂函数的定义 一般地,函数y x α =叫做幂函数,其中x 为自变量,α是常数. 二、幂函数的图象 5 三、幂函数的性质 1、图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象. ①幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称); ②幂函数是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称); ③幂函数是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. 2、过定点:所有的幂函数在(0,)+∞都有定义,并且图象都通过点(1,1). 3、单调性:①如果0α>,则幂函数的图象过原点,并且在[0,)+∞上为增函数. ②如果0α<,则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数,在第一象限内,图象无限接近x 轴与y 轴. 4、奇偶性:⑴当α为奇数时,幂函数为奇函数, ⑵当α为偶数时,幂函数为偶函数. ⑶当q p α=(其中,p q 互质,p 和q Z ∈), ①若p 为奇数q 为奇数时,则q p y x =是奇函数, ②若p 为奇数q 为偶数时,则q p y x =是偶函数, ③若p 为偶数q 为奇数时,则q p y x =是非奇非偶函数. 状元家教 6 5、图象特征:幂函数,(0,)y x x α=∈+∞, ⑴当1α>时,①若01x <<,其图象在直线y x =下方, ②若1x >,其图象在直线y x =上方, ⑵当1α<时,①若01x <<,其图象在直线y x =上方, ②若1x >,其图象在直线y x =下方.