2000考研数学三试题解析【无水印】

2000年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析一、填空题（1）设,,xyzfxygyx⎛⎞⎛⎞=+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠其中,fg均可微，则zx∂=∂________.【答】1221.yyffgxx′′′+−【详解】2122211.zyyfyfgyffgxyxxx∂⎛⎞′′′′′′=⋅+⋅+⋅−=+−⎜⎟∂⎝⎠（2）设21xxdxee+∞−=+∫__________【答】.4eπ【详解】()22221111arctan0xxxxxxdxedxdtteteeeteeee+∞+∞+∞−+∞===+++∫∫∫1244eeπππ⎛⎞=−=⎜⎟⎝⎠（3）已知四阶矩阵A与B相似；矩阵为A的特征值1111,,,,2345则行列式-1B-E=______.【答】24【详解】因为A与B相似，而相似矩阵有相同的特征值，所以B得四个特征值1111,,,,2345又由0,iiλλ≠Bx=x,有()-111ixxλ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠B-E，可见矩阵B-E有特征值11iλ−，即1，2，3，4.从而有行列式-1B-E=1×2×3×4＝24（3）设随机变量X的概率密度为()[][]1,0,1,32,3,6,90,xfxx⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩其他若k使得{}2,3PXk≥=则k的取值范围是_________【答】[]1,3【详解】由题设{}2,3PXk≥=知道{}211,33PXk<=−=而{}().kPXkfxdx−∞<=∫再对照概率密度函数的定义，可见上式成立的充要条件是13.k≤≤此时{}1011.33PXkdx<==∫（5）假设随机变量X在区间]2,1[−上服从均匀分布，随机变量⎪⎩⎪⎨⎧<−=>=010X001xxY若若若，则方差DY=________________.【答】98【详解】因为X在区间]2,1[−上服从均匀分布，所以其密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤−=其他02131)(xxf于是{}310}-1P{Y=<==XP{}00}0P{Y====XP{}320}1P{Y=>==XP因此3132100311)(=×+×+×−=YE13210031)1()(2222=×+×+×−=YE故98911)]([)()(22=−=−=YEYEYD二、选择题（1）设对任意的x，总有),()()(xgxfx≤≤ϕ且0)]()([lim=−∞→xxgxϕ，则)(limxfx∞→(A)存在且等于零(B)存在但不一定为零(C)一定不存在(D)不一定存在【】【答】[D]【详解】若令1)(,1)(,1)(=+=−=−−xfexgexxxϕ，则有),()()(xgxfx≤≤ϕ且,0)]()([lim=−∞→xxgxϕ1)(lim=∞→xfx可排除（A）（C）两个选项.又如xxxxxexfeexgeex=+=−=−−)(,)(,)(ϕ显然)(),(),(xfxgxϕ满足题设条件，但)(limxfx∞→不存在。因此（B）也可排除，剩下（D）为正确选项.（2）设函数()fx在点ax=处可导，则函数)(xf在点ax=处不可导的充分条件是(A)0)(0)('==afaf且（B）0)(0)('≠=afaf且(C)0)(0)('>>afaf且(D)0)(0)('<<afaf且【】【答】（B）【详解】举反例进行说明：如2)(xxf=在点0=x处，0)0(,0)0('==ff，并不能推倒出2)(xxf=在点0=x处不可导，排除（A）2)(xxf=在点1=x处，0)1(>f，0)1('>f，但2)(xxf=在点1=x处可导，排除（C）；同样，2)(xxf−=在点1=x处，0)1(<f，0)1('<f,但2)(xxf=,在点1x=处可导,排除(D).剩下(B)为正确选项.事实上,当(B)成立,即()0fa=且'()0fa≠时,有()()()limlim'(),xaxafxfafxfaxaxa−−→→−=−=−−−()()()limlim'().xaxafxfafxfaxaxa+→+→−=−=−−−可见当'()0fa≠时,)(xf在点ax=处的左、右导数不相等,因此导数不存在.故()0fa=且'()0fa≠是)(xf在点ax=处不可导的充分条件.（3）设123,,aaa是四元非齐次线形方程组AX=b的三个解向量，且秩(A)=3,1(1,2,3,4)T=a,23(0,1,2,3)T+=aa,c表示任意常数，则线形方程组bAX=得通解=X(A)⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛11114321c(B)⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛32104321c(C)⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛54324321c(D)⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛65434321c【】【答】（C）【详解】.由题设,r(A)=3,可见对应齐次线性方程组的基础解系所包含的解向量的个数为4-3=1,即其任一非零解均可作为基础解系.又根据解的性质知12312132()()()(2,3,4,5)0T−+=−+−=≠ααααααα为对应齐次线性方程组的解,即可作为基础解系,从而线性方程组b=Ax的通解为1212323.434545xcc⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=+=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠α故正确选项为(C)（4）设A为n阶实矩阵，TA是A的转置矩阵，则对于线性方程组（Ⅰ）：0=Ax和（Ⅱ）0T=xAx，必有（A）（Ⅱ）的解都是（Ⅰ）的解，（Ⅰ）解也是（Ⅱ）的.（B）（Ⅱ）的解都是（Ⅰ）的解，但（Ⅰ）解不是（Ⅱ）的.（C）（Ⅰ）解不是（Ⅱ）的，（Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解（D）（Ⅰ）解是（Ⅱ）的，但Ⅱ）的解不是（Ⅰ）的解【】【答】（A）【详解】设x是0=Ax的解，则显然TA为0=Ax，即（Ⅰ）解是（Ⅱ）的；反过来，设x为0T=xAx的解，即TA为0=Ax，则有()()0,TTT==xAAxAxAx从而可以推出0=Ax.因为若设()12,,Tnaaa="Ax,则()()222120,Tnaaa=+++="AxAx于是有120,naaa===="即0=Ax，说明（Ⅱ）的解也是（Ⅰ）的解.故正确选项为(A)（5）在电炉上安装4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，设)4()3()2()1(TTTT≤≤≤为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件(A)}{0)1(tT≥.(B)}{0)2(tT≥.(C)}{0)3(tT≥.(D)}{0)4(tT≥.【】【答】(C)【详解】.“电炉断电”这一事件E发生,意味着四个温控器至少有两个显示的温度值大于或等于0t,即若将4个温控器上的值(1)(2)(3)(4),,,TTTT从小到大排列的话,排在第3的温度值一定大于或等于0t,即有}{0)3(tT≥,故正确为(C).三、（本题满分6分）求微分方程220xyye′′′−−=满足条件(0)0,(0)1yy′==的解.【详解】对应齐次方程20yy′′′−=的特征方程为220.λλ−=其特征根为120,2λλ==对应的齐次方程的解为212.xyCCe=+由于22aλ==为单根，因此可设非齐次方程的特解为2.xyAxe∗=将()()()()222,41.xxyAAxeyAxe∗∗′′′=+=+将(0)0,(0)1yy′==代入通解，求得1231,.44CC==从而所求满足初始条件的特解为22311.442xxyexe=++四、（本题满分6分）计算二重积分22222,4Dxydaxyσ+−−∫∫其中D是由曲线()220yaaxa=−+−<和直线yx=−围成的区域.【详解】积分区域如下图所示，在极坐标下，有(),|0,02sin,4Drraπθθθ⎧⎫=−≤≤≤≤−⎨⎬⎩⎭于是2222sin4222204.44aDxyrIdddraxyarπθπσθ−−+==−−−∫∫∫∫令2sinrat=，于是()0022044121cos22sin22Idatdtadθππθθθθ−−−⎛⎞=−=−+⎜⎟⎝⎠∫∫∫221.162aπ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠五、（本题满分6分）假设某企业在两个相互分割的市场上出手同一种产品，两个市场的需求函数分别是11218Qp−=，23212Qp−=，其中21,pp分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元/顿），21QQ和分别表示改产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：顿），并且该企业生产这种产品的总成本函数是52+=QC，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即21QQQ+=（1）如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场该产品的销售量和价格，使该企业获得最大利润；（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上改产品的销售量及其统一的价格，使该企业的总利润最大化；并比较两种策略的总利润大小。【详解】(1)根据题意,总利润函数为1122(25)LRCpQpQQ=−=+−+221212216105.QQQQ=−−++−令12'1'24160,2100QQLQLQ⎧=−+=⎪⎨=−+=⎪⎩解得124,5,QQ==对应110p=(万元/吨),27p=(万元/吨).因驻点(4,5)唯一,且实际问题一定存在最大值,故最大值必在驻点处达到,相应最大利润为22245164105552L=−×−+×+×−=(万元).(2)若实际价格无差别策略,则12pp=,于是有约束条件1226.QQ−=构造拉格朗日函数2212121212(,,)216105(26).FQQQQQQQQ=−−++−+−−λλ令123'1'2'12416202100260QQQFQFQFQQ⎧=−++=⎪⎪=−+−=⎨⎪=−−=⎪⎩λλ解得125,4,2,QQ===λ对应128pp==.最大利润22254165104549L=−×−+×+×−=(万元).由上述结构可知,企业实行差别定价,所得利润总要大于统一价格的利润.六、（本题满分7分）求函数xexyarctan2)1(+−=π的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线.【详解】因为2arctan22';1xxxyex++=+π令'0,y=得驻点120,1.xx==−列表讨论如下:x(,1)−∞−1−(1,0)−0(0,)+∞'y+0−0+y↑极大值↓极小值↑由此可见,递增区间为(,1),(0,);−∞−+∞递减区间为(1,0)−.极小值为2(0);fe=−π极大值为4(1)2.fe−=−π又因为111()lim,lim[()]2,xxfxaebfxaxex→∞→∞===−=−ππ222()lim1,lim[()]2,xxfxabfxaxx→−∞→−∞===−=−故所求渐近线为11(2),yaxbex=+=−π以及222.yaxbx=+=−七、（本题满分6分）设40sincos,0,1,2,,nnIxxdxnπ==∫"求0.nnI∞=∑【详解】因为()1,140112sincossin41120nnnnIxxdxxnnππ++⎛⎞===⎜⎟⎜⎟++⎝⎠∫所以10001212.122nnnnnnnIInn+∞∞∞===⎛⎞⎛⎞==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠⎝⎠∑∑∑考虑幂级数()1,nnxSxn∞==∑其收敛区间为()1,1−，则有()111,1nnSxxx∞−=′==−∑于是()()()0010ln1,1xxSxSSxdxdxxx′=+==−−−∫∫令()21,1,2x=∈−得()111222ln1ln22.222nnniISn∞∞==⎛⎞⎛⎞⎛⎞===−−=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑∑八、（本题满分6分）设函数)(xf在],0[π上连续，且0)(0=∫πdxxf，0cos)(0=∫πxdxxf试证明：在),0(π内存在两个不同的点21,ξξ，使0)()(21==ξξff【详解】令0()(),Fxftdt=∫π则有(0)()0.FF==π又因为000()coscos()fxxdxxdFx==∫∫ππ00()cos()sinFxxFxxdx=+∫ππ0()sin.Fxxdx=∫π令0()()sin,GxFttdt=∫π则(0)()0,GG==π于是由罗尔定理存在(0,),∈ξπ使'()()sin0.GF==ξξξ因为当(0,),sin0,∈≠ξπξ所以有()0F=ξ.这样就证明了(0)()()0.FFF===ξπ再对()Fx在区间[0,],[,]ξξπ上分别用罗尔中值定理知,至少存在()()120,,,.∈∈ξξξξπ使12'()'()0,FF==ξξ.即12()()0ff==ξξ九、（本题满分8分）设向量组1(,0,10)Ta=α，2(2,1,5)T=−α，3(1,1,4)T=−α，(1,,)Tbc=β，试问：当a,b,c满足什么条件时，（1）β可由123,,ααα线性表出，且表示唯一？（2）β不可由123,,ααα线性表出？（3）β可由123,,ααα线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式。【详解1】设有一组数123,,xxx,使得112233,xxx++=αααβ即1231231232121054axxxxxxbxxxc−−=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩该方程组的系数行列式212114.1054aAa−−==−−(1)当4a≠−时,行列式0,A≠方程组有唯一解,β可由123,,ααα线性表出,且表示唯一.(2)4a=−,对增广矩阵作初等行变换,有4211210121100121,105400031bAbbcbc−−−−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=→+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦######若31,bc−≠则秩()()rArA≠秩,方程组无解,β不可由123,,ααα线性表出(3)4a=−且31,bc−=时.秩()()23rArA≠=<秩,方程组有无穷多解,β可由123,,ααα线性表出,但表示不唯一.解方程组,得123,21,21xCxCbxb==−−−=+(C为任何常数).因此有123(21)(21).CCbbααα=−++++β【详解2】设有一组数123,,xxx,使得112233,xxx++=αααβ即1231231232121054axxxxxxbxxxc−−=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩.对方程组的增广矩阵作初等行变换,有2112112110211,22210540015baaaabAbccb⎡⎤−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=→−−−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥−−⎣⎦######(1)当202a−−≠,即4a≠−时,秩()()3rArA≠=秩,方程组有唯一解,β可由123,,ααα线性表出,且表示唯一.(2)当202a−−=,即4a=−时,对方程组的增广矩阵作初等行变换,有210100112.00013bAbbc−−⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥−+⎣⎦###当31,bc−≠则秩()()rArA≠秩,方程组无解,β不可由123,,ααα线性表出(3)同详解1.十、设有n元实二次型()()()()()222212112223111,,,,nnnnnnfxxxxaxxaxxaxxax−−=++++++++""其中()1,2,,iain="为实数，试问：当12,,,naaa"满足何种条件时，二次型()12,,,nfxxx"为正定二次型.【详解】由题设条件可知，对于任意的12,,,,nxxx"有()12,,,0nfxxx≥"其中等号当且仅当11222311100,0,0.nnnnnxaxxaxxaxxax−−+=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪+=⎪+=⎪⎩""同时成立.上述方程组仅有零解的充分必要条件是其系数行列式不为零，即()12112110000100110,00010001nnnnaaaaaaa+−=+−≠""#####"""所以，当()112110nnaaa++−≠"时，对于任意的不全为零的12,,,,nxxx"有()12,,,0,nfxxx>"即当()1121nnaaa+≠−"时，此时二次型()12,,,nfxxx"为正定二次型.十一、（本题满分8分）假设05.50、1.25、0.80、2.00是来自总体X的简单随机样本值.已知lnYX=服从正态分布(),1Nµ（1）求X的数学期望值E(X)（记E(X)为b）；（2）求µ的置信度为0.95的置信区间；（3）利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间.【详解】（1）Y的概率密度为()()221,,2yfyexµπ−−=−∞<<+∞于是有()()()22221122ytYytbEXEeeedtyteedtµµµµππ−+∞+∞−++−∞−∞===−=∫∫()211222yeedteµµµ−+∞+−+−∞==∫.（2）当置信度10.95α−=时，标准正态分布对应于0.05α=的双侧分位数等于1.96。故1~,4YNµ⎛⎞⎜⎟⎝⎠,可得参数µ的置信度为0.95的置信区间为()111.96,1.960.98,0.9844YYYY⎛⎞−×+×=−+⎜⎟⎝⎠其中Y表示总体Y的样本均值，有()11ln0.5ln0.8ln1.25ln2ln10,44Y=+++==将其代入上式，得µ的置信度为()0.98,0.98.−（4）由指数函数xe的严格单调递增性，知{}10.980.980.480.482PPµµ⎧⎫−<<=−<+<⎨⎬⎩⎭{}10.481.480.481.4820.95PeeePebeµ+−−⎧⎫=<<=<<=⎨⎬⎩⎭因此b的置信度为0.95的置信区间为()0.481.48,.ee−十二、（本题满分8分）设BA,是二随机事件，随机变量⎩⎨⎧−=不出现若出现若A1A1X，⎩⎨⎧−=不出现若出现若B1B1Y试证明随机变量YX和不相关的充分必要条件是BA和相互独立.【详解】记1212(),(),()PApPBpPABp===,由数学期望的定义,有1()()()21,EXPAPAp=−=−2()()()21,EYPBPBp=−=−进一步().EXY由于只有两个可能值1和-1,因此1212{1}()()21,PXYPABPABppp==+=−−+1212{1}1{1}2,PXYpXYppp=−=−==+−于是(){1}{1}EXYPXYPXY==−=−12124221,ppp=−−+从而1212(,)()()()44.CovXYEXYEXEYppp=−=−i可见1212(,)0,CovXYppp=⇔=即()()()PABPAPB=,也即YX和不相关的充分必要条件是BA和相互独立.