INTELLIGENCE人文论坛162关于对称矩阵与反对称矩阵的若干性质华北电力大学科技学院朱亚茹摘要:对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵,占有很重要的地位,但在高等代数和线性代数教材中只涉及到了两个矩阵的定义,而没有提到其性质。本文针对对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以了证明。关键词:对称矩阵反对称矩阵性质对称矩阵与反对称矩阵是矩阵论中经常用到的两个特殊矩阵,在高等代数和线性代数中占有重要地位。教材中在讨论对称矩阵时只给出了定义,但对其性质的研究很少,对反对称矩阵的性质则研究更少。本文围绕对称矩阵和反对称矩阵给出了其主要性质并加以证明,为广大读者学习矩阵时提供参考。一、对称矩阵定义:设()ijnAa=为n阶方阵,如果满足TAA=,即(,1,2,,)ijjiaaijn==⋅⋅⋅,那么称A为对称矩阵。由于对称矩阵形式的特殊性,使其具有一般矩阵没有的性质,下面列举出对称矩阵一系列的性质,并运用对称矩阵的定义和转置运算的性质对每个性质进行了证明。性质1:A为n阶对称矩阵,则mA(m为正整数)也是对称矩阵。证明:因为A为n阶对称矩阵,所以TAA=。则()()mTTmmAAA==,所以由定义可知mA(m为正整数)也是对称矩阵。性质2:A为n阶对称矩阵,则TAA+也是对称矩阵。证明:因为()()TTTTTTAAAAAA+=+=+,所以TAA+也是对称矩阵。性质3:A为n阶对称矩阵且A可逆,则1A−也是对称矩阵。证明:因为111()()TTAAA−−−==,所以1A−也是对称矩阵。性质4:A为mn×阶的矩阵,则TAA为m阶对称阵,TAA为n阶对称阵。证明:显然TAA为m阶矩阵,TAA为n阶矩阵,又由于()()TTTTTTAAAAAA==,()()TTTTTTAAAAAA==,所以TAA为m阶对称阵,TAA为n阶对称阵。性质5:A,B都为n阶对称矩阵,则AB+也是对称矩阵。证明:因为()TTTABABAB+=+=+,所以AB+也是对称矩阵。性质6:A,B都为n阶对称矩阵,则AB也是对称矩阵的充分必要条件是ABBA=。证明:必要性:设AB为对称矩阵,则()TABAB=,而()TTTABBABA==,所以ABBA=。充分性:设ABBA=,则()()TTTTABBAABAB===,所以AB为对称矩阵。二、反对称矩阵定义:设()ijnAa=为n阶方阵,如果满足TAA=−,即(,1,2,,)ijjiaaijn=−=⋅⋅⋅,那么称A为反对称矩阵。由于反对称矩阵形式的特殊性,使其具有了与对称矩阵不同的一些性质。性质7:设A为n阶反对称矩阵,则A的主对角线上的元素都为0。证明:因为A为n阶反对称矩阵,所以A的主对角线上的元素有(1,2,,)iiiiaain=−=⋅⋅⋅,所以0(1,2,,)iiain==⋅⋅⋅。性质8:设A为n阶反对称矩阵,n为奇数,则A的行列式值为0。证明:因为(,1,2,,)ijjiaaijn=−=⋅⋅⋅,所以将A的每一行提出一个公因子-1,由于n为奇数,则:(1)nTTAAA=−=−。而根据行列式的性质有TAA=,所以0A=。性质9:设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则(1)ABBA−为对称矩阵。(2)ABBA+为反对称矩阵。证明:(1)因为()()()TTTTTTTABBAABBABAABABBA−=−=−=−,所以ABBA−为对称矩阵。(2)同(1),因为()()()()TTTTTTTABBAABBABAABABBA+=+=+=−+,所以ABBA+为反对称矩阵。性质10:任一n阶方阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。证明:假设n阶方阵ABC=+,其中B为对称矩阵,C为反对称矩阵,则()TTTTABCBCBC=+=+=−。由TABCABC=+⎧⎨=−⎩得,22TTAAAABC+−==。而(),()2222TTTTTTTTAAAAAAAABBCC++−−======−,则B为对称矩阵,C为反对称矩阵,且ABC=+。性质11:设A为n阶反对称矩阵,B为n阶对称矩阵,则AB为反对称矩阵的充分必要条件为ABBA=。证明:必要性:设AB为反对称矩阵,则()TABAB=−,而()TTTABBABA==−,所以ABBA=。充分性:设ABBA=,则()()TTTTABBAABAB===−,所以AB为反对称矩阵。三、结束语对称矩阵与反对称矩阵在高等代数和线形代数中的性质还有很多,比如对称矩阵的特征值均为实数,对应不同特征值得的特征向量必正交等等,由于篇幅所限,本文只介绍一些基本的性质,方便读者参考。参考文献:[1]同济大学应用数学系:《线性代数》.高等教育出版社,2004[2]肖马成、周概容:《线性代数、概率论与数理统计证明题500例解析》.高等教育出版社,2008[3]陈惠汝、余巧生:《矩阵同时相似于对角矩阵问题的研究》[J].重庆三峡学院学报,2009,25
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