数列例题

（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列 满足 . （1）求 ； （2）证明： . 解：（1） . （2）证明：由已知 ，故 ， 所以证得 . 例题2. 数列 的前 项和记为 （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）等差数列 的各项为正，其前 项和为 ，且 ，又 成等比数列，求 . 解：（Ⅰ）由 可得 ， 两式相减得： ， 又 ∴   故 是首项为1，公比为3的等比数列  ∴ （Ⅱ）设 的公比为 ，由 得，可得 ，可得 故可设 ，又 ， 由题意可得 ，解得 ∵等差数列 的各项为正，∴   ∴   ∴ 例题3. 已知数列 的前三项与数列 的前三项对应相同，且 对任意的 都成立，数列 是等差数列. ⑴求数列 与 的通项公式； ⑵是否存在 ，使得 ，请说明理由. 点拨：（1） 左边相当于是数列 前n项和的形式，可以联想到已知 求 的方法，当 时， . （2）把 看作一个函数，利用函数的思想方法来研究 的取值情况. 解：（1）已知 … ）① 时， … ）② ①－②得， ，求得 ， 在①中令 ，可得得 ， 所以 N*）.                                  由题意 ， ， ，所以 ， ， ∴数列 的公差为 ， ∴ ， ）.        （2） ， 当 时， 单调递增，且 ， 所以 时， ，            又 ， 所以，不存在 ，使得 . 例题4. 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足：an、bn、an+1成等差数列，bn、an+1、bn+1成等比数列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项an，bn 解： 依题意得： 2bn+1 = an+1 + an+2      ①  a2n+1 = bnbn+1          ② ∵ an、bn为正数，  由②得 ， 代入①并同除以 得： ， ∴ 为等差数列 ∵ b1 = 2 ， a2 = 3 ， ， ∴ ， ∴当n≥2时， ， 又a1 = 1，当n = 1时成立， ∴ 2. 研究前n项和的性质 例题5. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 . （1）求 、 的值及数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 解：（1） 时， .而 为等比数列，得 ， 又 ，得 ，从而 .又 . （2） ，     ） ，得 ， . 例题6. 数列 是首项为1000，公比为 的等比数列，数列 满足 ， （1）求数列 的前 项和的最大值；（2）求数列 的前 项和 . 解：（1）由题意： ，∴ ，∴数列 是首项为3，公差为 的等差数列， ∴ ，∴ 由 ，得 ，∴数列 的前 项和的最大值为 . （2）由（1）当 时， ，当 时， ， ∴当 时， 当 时， ∴ . 例题7. 已知递增的等比数列{ }满足 ，且 是 ， 的等差中项. （1）求{ }的通项公式 ；（2）若 ， 求使 成立的 的最小值.  解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由 a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q= （舍） ∴an=2·2（n－1）=2n （2） ∵ ，∴Sn=－（1·2+2·22+3·23+…+n·2n） ∴2Sn=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴Sn=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2， 若Sn+n ·2n+1＞30成立，则2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值为5. 例题8. 已知数列 的前n项和为Sn，且 成等差数列， . 函数 . （I）求数列 的通项公式； （II）设数列 满足 ，记数列 的前n项和为Tn，试比较 的大小. 解：（I） 成等差数列， ①  当 时， ②. ①－②得： ， ， 当n=1时，由①得 ， 又 是以1为首项3为公比的等比数列，         （II）∵ ， ， ，    比较 的大小，只需比较 与312 的大小即可. ∵ ∴当 时， 当 时， 当 时， . 3. 研究生成数列的性质 例题9. （I） 已知数列 ，其中 ，且数列 为等比数列，求常数 ； （II） 设 、 是公比不相等的两个等比数列， ，证明数列 不是等比数列. 解：（Ⅰ）因为{cn+1－pcn}是等比数列，故有 （cn+1－pcn）2=（ cn+2－pcn+1）（cn－pcn－1）， 将cn=2n＋3n代入上式，得 [2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2 =[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n－1＋3n－1）]，                  即[（2－p）2n+（3－p）3n]2 =[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][ （2－p）2n－1+（3－p）3n－1]， 整理得 （2－p）（3－p）·2n·3n=0， 解得p=2或p=3.                                                  （Ⅱ）设{an}、{bn}的公比分别为p、q，p≠q，cn=an+bn. 为证{cn}不是等比数列只需证 ≠c1·c3. 事实上， =（a1p＋b1q）2= p2＋ q2＋2a1b1pq， c1·c3=（a1＋b1）（a1 p2＋b1q2）= p2＋ q2＋a1b1（p2＋q2）. 由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零， 因此 c1·c3，故{cn}不是等比数列.                                例题10. n2（ n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a24=1， 求S=a11 + a22 + a33 + … + ann 解： 设数列{ }的公差为d， 数列{ }（i=1，2，3，…，n）的公比为q 则 = a11 + （k－1）d ， akk = [a11 + （k－1）d]qk－1 依题意得： ，解得：a11 = d = q = ± 又n2个数都是正数， ∴a11 = d = q = ， ∴akk = ， ， 两式相减得： 例题11. 已知函数 的图象经过点 和 ，记 （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，若 ，求 的最小值； （3）求使不等式 对一切 均成立的最大实数 . 解：（1）由题意得 ，解得 ， （2）由（1）得 ，         ① ②    ①－②得 . ， 设 ，则由 得 随 的增大而减小 时， 又 恒成立， （3）由题意得 恒成立 记 ，则 是随 的增大而增大  的最小值为 ， ，即 . （二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列. 例题12. 数列 中， 且满足 ， . ⑴求数列 的通项公式； ⑵设 ，求 ； ⑶设 = ，是否存在最大的整数 ，使得对任意 ，均有 成立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意， ， 为等差数列，设公差为 ， 由题意得 ， . （2）若 ， 时， 故 （3） ， 若 对任意 成立，即 对任意 成立， 的最小值是 ， 的最大整数值是7. 即存在最大整数 使对任意 ，均有 例题13. 已知等比数列 与数列 满足 N*. （1）判断 是何种数列，并给出证明； （2）若 . 解：（1）设 的公比为q，∵ ，∴ 。 所以 是以 为公差的等差数列. （2）∵ 所以由等差数列性质可得 … 2. 由简单递推关系证明等差等比数列 例题14. 已知数列 和 满足： ， ， ， （ ）， 且 是以 为公比的等比数列. （I）证明： ； （II）若 ，证明：数列 是等比数列； （III）求和： . 解法1：（I）证：由 ，有 ， . （II）证：∵ ， ， ， . 是首项为5，公比为 的等比数列. （III）解：由（II）得 ， ，于是 . 当 时， . 当 时， . 故 解法2：（I）同解法1（I）. （II）证： ，又 ， 是首项为5，公比为 的等比数列. （III）由解法1中（II）的类似方法得 ， ， ， . ∴ . 例题15. 设数列 （1）证明：数列 是等比数列； （2）设数列 的公比 ，数列 满足 ，bn=f （bn－1）（n∈N*，n≥2），求数列 的通项公式； （3）设 ， ，求数列 的前n项和Ｔn. （1）证明：由 相减得： ∴数列 是等比数列 （2）解： 是首项为 ，公差为1的等差数列，∴ . . （3）解： 时 ① ② ①－②得： ∴ 所以： . 例题16. 的各个顶点分别为 ，设 为线段 的中点， 为线段OC的中点， 为线段 的中点. 对每一个正整数 为线段 的中点. 令 的坐标为 ， . （1）求 及 ； （2）证明： （3）记 ，证明： 是等比数列. （1）解：因为y1=y2=y4=1， y3= ，y5= ，所以 得a1=a2=a3=2. 又由 ，对任意的正整数n有 an+1= = = =an 恒成立，且a1=2，  所以{an}为常数数列， an=2，（n为正整数） （2）证明：根据 ， 及 =an=2，  易证得yn+4=1－ （3）证明：因为bn+1= =（1－ ）－（1－ ）= ， 又由b1= =1－ y4= ， 所以{bn}是首项为 ，公比为 的等比数列.