第一课时:§3.2立体几何中的向量方法(一)教学要求:向量运算在几何
证明
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与计算中的应用.掌握利用向量运算解几何题的方法,并能解简单的立体几何问题.教学重点:向量运算在几何证明与计算中的应用.教学难点:向量运算在几何证明与计算中的应用.教学过程:一、复习引入1.用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是:⑴如何把已知的几何条件(如线段、角度等)转化为向量
表
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示; ⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式; ⑶如何对已经表示出来的向量进行运算,才能获得需要的结论?2.通法
分析
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:利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢?⑴利用定义a·b=|a||b|cos<a,b>或cos<a,b>=,可求两个向量的数量积或夹角问题;⑵利用性质a⊥ba·b=0可以解决线段或直线的垂直问题; ⑶利用性质a·a=|a|2,可以解决线段的长或两点间的距离问题.二、例题讲解1.出示例1:已知空间四边形OABC中,,.求证:.证明:==-.∵,,∴,, ,.∴,.∴=,=0.∴2.出示例2:如图,已知线段AB在平面α内,线段,线段BD⊥AB,线段,,如果AB=a,AC=BD=b,求C、D间的距离.解:由,可知.由可知,<>=,∴==+++2(++)==. ∴.3.出示例3:如图,M、N分别是棱长为1的正方体的棱、的中点.求异面直线MN与所成的角.解:∵=,=,∴=·=(+++). ∵,,,∴,,, ∴==.…求得cos<>,∴<>=.4.小结:利用向量解几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示式,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算去计算或证明.三、巩固练习