初中二次函数知识点总结

二次函数 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 一、二次函数概念： 1、二次函数的概念：一般地，形如 （ 是常数， ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 ，而 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2、二次函数 的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是2． ⑵ 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1、二次函数基本形式： 的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 2、 的性质： 上加下减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 轴 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 3、 的性质：左加右减。 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 4、 的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 X=h 时， 随 的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 有最小值 ． 向下 X=h 时， 随 的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 有最大值 ． 三、二次函数图象的平移 1、平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 ，确定其顶点坐标 ； ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到 处，具体平移方法如下： 2、平移规律 在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移”。概括成八个字“左加右减，上加下减”。 方法二： ⑴ 沿 轴平移:向上（下）平移 个单位， 变成 （或 ） ⑵ 沿x轴平移：向左（右）平移 个单位， 变成 （或 ） 四、二次函数 与 的比较 从解析式上看， 与 是两种不同的 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 达形式，后者通过配方可以得到前者，即 ，其中 ． 五、二次函数 图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数 化为顶点式 ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。一般我们选取的五点为：顶点、与 轴的交点 、以及 关于对称轴对称的点 、与 轴的交点 ， （若与 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）。 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点。 二次函数 的性质 1、当 时，抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 。 当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；当 时， 有最小值 。 2、当 时，抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 。 当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小；当 时， 有最大值 。 七、二次函数解析式的表示方法 1、一般式： （ ， ， 为常数， ）； 2、顶点式： （ ， ， 为常数， ）； 3、两根式： （ ， ， 是抛物线与 轴两交点的横坐标）。 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 轴有交点。 即 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示。二次函数解析式的这三种形式可以互化。 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1、二次项系数 二次函数 中， 作为二次项系数，显然 ． ⑴ 当 时，抛物线开口向上， 的值越大，开口越小，反之 的值越小，开口越大； ⑵ 当 时，抛物线开口向下， 的值越小，开口越小，反之 的值越大，开口越大． 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 起来， 决定了抛物线开口的大小和方向， 的正负决定开口方向， 的大小决定开口的大小． 一次项系数 在二次项系数 确定的前提下， 决定了抛物线的对称轴。 ⑴ 在 的前提下， 当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴左侧； 当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴； 当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的右侧． ⑵ 在 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当 时， ，即抛物线的对称轴在 轴右侧； 当 时， ，即抛物线的对称轴就是 轴； 当 时， ，即抛物线对称轴在 轴的左侧． 总结起来，在 确定的前提下， 决定了抛物线对称轴的位置． 的符号的判定：对称轴 在 轴左边则 ，在 轴的右侧则 ，概括的说就是“左同右异”。 3、常数项 ⑴ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴上方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当 时，抛物线与 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 轴交点的纵坐标为 ； ⑶ 当 时，抛物线与 轴的交点在 轴下方，即抛物线与 轴交点的纵坐标为负。 总结起来， 决定了抛物线与 轴交点的位置。 总之，只要 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的。 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1、已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2、已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3、已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4、已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1、关于 轴对称 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 2、关于 轴对称 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 关于 轴对称后，得到的解析式是 ； 3、关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是 ； 关于原点对称后，得到的解析式是 ； 4、关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 关于顶点对称后，得到的解析式是 ； 关于顶点对称后，得到的解析式是 ． 5、关于点 对称 关于点 对称后，得到的解析式是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式。 十、二次函数与一元二次方程 1、二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）： 一元二次方程 是二次函数 当函数值 时的特殊情况。 图象与 轴的交点个数： ① 当 时，图象与 轴交于两点 EMBED Equation.DSMT4 ，其中的 是一元二次方程 的两根．这两点间的距离 。 ② 当 时，图象与 轴只有一个交点； ③ 当 时，图象与 轴没有交点. 1）当 时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有 ； 2）当 时，图象落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 。 2、抛物线 的图象与 轴一定相交，交点坐标为 ， ； 3、二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数 中 ， ， 的符号，或由二次函数中 ， ， 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标； 抛物线与 轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 抛物线与 轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 抛物线与 轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 本身就是所含字母 的二次函数；下面以 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 图像参考： 十一、函数的应用 二次函数应用 二次函数考查重点与常见题型 1、考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以 为自变量的二次函数 的图像经过原点， 则 的值是 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 的图像大致是（ ） A B C D 3、考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 ，求这条抛物线的解析式。 4、考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 已知抛物线 （a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－ eq \f(3,2) 确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5、考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 例1 （1）二次函数 的图像如图1，则点 在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：①a、b同号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (1) (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键。 例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1O；③4a+cO，其中正确结论的个数为( ) A 1个 B. 2个 C. 3个 D．4个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 例3.已知：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D．(3，2) 答案：C 例4、如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形移动，直到AB与CD重合．设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2． （1）写出y与x的关系式； （2）当x=2，3.5时，y分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、对称轴. 例5、已知抛物线y= x2+x- ． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴． （2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长． 【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系． 例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于 ， 两点 ，交y轴负半轴于C点，且满足3AO=OB． (1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点M，使锐角∠MCO>∠ACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明理由． (1)解：如图∵抛物线交x轴于点A(x1，0)，B(x2，O)， 则x1·x2=3<0，又∵x1O，x1∠ACO． 例7、 “已知函数 的图象经过点A（c，－2）， ,求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 （1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能，请说明理由。 （2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 [解答] （1）根据 的图象经过点A（c，－2），图象的对称轴是x=3，得 解得 所以所求二次函数解析式为 图象如图所示。 （2）在解析式中令y=0，得 ，解得 所以可以填“抛物线与x轴的一个交点的坐标是（3+ ”或“抛物线与x轴的一个交点的坐标是 。令x=3代入解析式，得 所以抛物线 的顶点坐标为 所以也可以填抛物线的顶点坐标为 等等。 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例1已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积． 解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4）， 易知CN=4-x，EM=4-y，且有， 即， ∴， S= xy=（ 2≤x≤4） 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值是随x的增大而增大， 对2≤x≤4来说，当x=4时，S有最大值，S最大=。 例2 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表： x（元） 15 20 30 … y（件） 25 20 10 … 若日销售量y是销售价x的一次函数． （1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式； （2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则 解得k=-1，b=40， 即一次函数表达式为y=-x+40． （2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元 w=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225． 产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元． 二次函数对应练习试题 一、选择题 1. 二次函数 的顶点坐标是( ) A.(2,－11) B.（－2，7） C.（2，11） D. （2，－3） 2. 把抛物线 向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3.函数 和 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) 4.已知二次函数 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b同号;②当 和 时,函数值相等;③ ④当 时, 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个 5.已知二次函数 的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于 的一元二次方程 的两个根分别是 （　　　） Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3　 6. 已知二次函数 的图象如图所示，则点 在（　 ） A．第一象限　　　B．第二象限 C．第三象限　　 D．第四象限 7.方程 的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个 8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、填空题 9．二次函数 的对称轴是 ，则 _______。 10．已知抛物线y=-2（x+3）²+5，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是_______。 11．一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当 ＜0时，函数值 随自变量 的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是 （只写一个即可）。 12．抛物线 的顶点为C，已知直线 过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为 。 13. 二次函数 的图象是由 的图象向左平移1个单位,再向下平移2个单位得到的,则b= ,c= 。 14．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，在线段AB上离中心M处5米的地方，桥的高度是　　 (π取3.14).　　　　 三、解答题： 15.已知二次函数图象的对称轴是 ,图象经过(1,-6),且与 轴的交点为(0, ). (1)求这个二次函数的解析式; (2)当x为何值时,这个函数的函数值为0? (3)当x在什么范围内变化时,这个函数的函数值 随x的增大而增大? 16.某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式 （0 材料 关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料 （这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该建材店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）． （1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量； （2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）； （3）该建材店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？ （4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由． 练习试题答案 一，选择题、 1．A 2．C 3．A 4．B 5．D 6．B 7．C 8．C 二、填空题、 9． 10． ＜-3 11．如 等（答案不唯一） 12．1 13．-8 7 14．15 三、解答题 15．(1)设抛物线的解析式为 ,由题意可得 解得 所以 (2) 或-5 (2) 16．（1）由已知得， ，解得 当 时不合题意，舍去。所以当爆竹点燃后1秒离地15米．（2）由题意得， ＝ ，可知顶点的横坐标 ，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至108秒这段时间内，爆竹在上升． 17．（1）直线 与坐标轴的交点A（3，0），B（0，－3）．则 解得 所以此抛物线解析式为 ．（2）抛物线的顶点D（1，－4），与 轴的另一个交点C（－1，0）.设P ，则 .化简得 当 ＞0时， 得 ∴P（4，5）或P（－2，5） 当 ＜0时， 即 ，此方程无解．综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）或（－2，5）． 18．（1） =60（吨）．（2），化简得： ．（3） ． 红星经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元． （4）我认为，小静说的不对． 理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，而对于月销售额 EMBED Equation.3 来说， 当x为160元时，月销售额W最大．∴当x为210元时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对． 方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元； 而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000， ∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．∴小静说的不对． � � 第15题图 � EMBED \* MERGEFORMAT ��� 1 _1234568017.unknown _1234568145.unknown _1234568209.unknown _1234568241.unknown _1234568273.unknown _1234568289.unknown _1234568305.unknown _1234568313.unknown _1234568317.unknown _1234568321.unknown _1234568323.unknown _1234568325.unknown _1234568326.unknown _1234568324.unknown _1234568322.unknown _1234568319.unknown _1234568320.unknown _1234568318.unknown _1234568315.unknown _1234568316.unknown _1234568314.unknown _1234568309.unknown _1234568311.unknown _1234568312.unknown _1234568310.unknown _1234568307.unknown _1234568308.unknown _1234568306.unknown _1234568297.unknown _1234568301.unknown _1234568303.unknown _1234568304.unknown _1234568302.unknown _1234568299.unknown _1234568300.unknown _1234568298.unknown _1234568293.unknown _1234568295.unknown _1234568296.unknown _1234568294.unknown 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