含参绝对值不等式有解

含参绝对值不等式有解含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题湖南祁东育贤中学周友良 421600 湖南省祁东县洪桥镇一中徐秋蓉例。若不等式| －4|+|3－ |0时，先求不等式| －4|+|3－ |1 2 当31 3 当 ≤3时，原不等式化为4－ +3－ 1 综合①②③可知，当 >1时，原不等式有解，从而当01时，| －4|+|3－ || －4|+|3－ |≥| －4+3－ |=1 ∴当 >1时，| －4|+|3－ | 恒成立，求的取值范围。思维点拨：要使| +1|－| －...

含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题湖南祁东育贤中学周友良 421600 湖南省祁东县洪桥镇一中徐秋蓉例。若不等式| －4|+|3－ |< 的解集为空集，求的取值范围。［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式| + |≤| |+| |，便把问题简化。［解题］解法一 (1)当 ≤0时，不等式的解集是空集。 (2)当 >0时，先求不等式| －4|+|3－ |< 有解时的取值范围。令－4=0得 =4，令3－ =0得 =3 1 当 ≥4时，原不等式化为－4+ －3< ，即2 －7< 解不等式组，∴ >1 2 当3< <4时，原不等式化为4－ + －3< 得 >1 3 当 ≤3时，原不等式化为4－ +3－ < 即7－2 < 解不等式，∴ >1 综合①②③可知，当 >1时，原不等式有解，从而当0< ≤1时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求取值范围是 ≤1 解法二由| －4|+|3－ |的最小值为1得当 >1时，| －4|+|3－ |< 有解从而当 ≤1时，原不等式解集为空集。解法三： ∵ >| －4|+|3－ |≥| －4+3－ |=1 ∴当 >1时，| －4|+|3－ |< 有解从而当 ≤1时，原不等式解集为空集。［收获］1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。 2）有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。有解；解集为空集；这两者互补。恒成立。请你试一试 1．对任意实数，若不等式| +1|－| －2|> 恒成立，求的取值范围。思维点拨：要使| +1|－| －2|> 对任意实数恒成立，只要| +1|－| －2|的最小值大于。因| +1|的几何意义为数轴上点到－1的距离，| －2|的几何意义为数轴上点到2的距离，| +1|－| －2|的几何意义为数轴上点到－1与2的距离的差，其最小值可求。此题也可把不等式的左边用零点分段的方法改写成分段函数，通过画出图象，观察的取值范围。解法一根据绝对值的几何意义，设数，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式即求|PA|－|PB|> 成立 ∵|AB|=3，即| +1|－| －2|≥－3 故当 <－3时，原不等式恒成立解法二令 =| +1|－| －2|，则要使| +1|－| －2|> 恒成立，从图象中可以看出，只要 <－3即可。故 <－3满足题意。 2．对任意实数x，不等式|x+1|+|x-2|>a恒成立，求实数a的取值范围。分析：经过分析转化，实质上就要求|x+1|+|x-2|的最小值，a应比最小值小。解：由绝对值不等式：|x+1|+|x-2| |(x+1)-(x-2)|=3，当且仅当(x+1)(x-2) 0, 即时取等号。故a<3 说明：转化思想在解中有很重要的作用，比如：恒成立问题、定义域为R等问题都可转化为求最大、最小值问题。（在这些问题里我们要给自己提问题，怎样把一般性的问题转化到某个特殊的值的问题，常问的问题是：要使……，只要……） 3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|1 （二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有： y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB| |PA|+|PB| 1 恒有y 1 数按题意只须a>1 A B P 0 3 4 x （三）令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其图象由f(x)1 y 3 2 1 0 3 4 x （四）考虑|z-4|+|z-3|1时，表示复平面上以3、4为焦点，长轴长为a的椭圆内部，当z为实数时，a>1原不等式有解 a>1即为所求（五）可利用零点分段法讨论. 将数轴可分为(-∞，3)，［3，4］，(4，+∞)三个区间. 当x<3时，得(4-x)+(3-x) . 有解条件为 <3 即a>1 当3≤x≤4时得(4-x)+(x-3)1 当x>4时，得(x-4)+(x-3)4 即a>1 以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1. 变题： 1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围 2、若不等式|x-4|-|x-3|a在R上恒成立，求a的取值范围评注： 1、此题运用了绝对值的定义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法。 4、构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法设0

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