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【优化方案】2020高中数学 第1章1.1.7知能优化训练 新人教B版必修2

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【优化方案】2020高中数学 第1章1.1.7知能优化训练 新人教B版必修2PAGE1.已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3,体对角线的长为2eq\r(14),则这个长方体的体积是(  )A.6            B.12C.24D.48答案:D2.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是(  )A.16πB.20πC.24πD.32π解析:选C.由V=Sh,得S=4,即正四棱柱底面边长为2.因为该正四棱柱的对角线即为球的直径,所以球的表面积S′=4πR2=4π(eq\f(D,2))2=D2π=(22+22+42)π=24π...

【优化方案】2020高中数学 第1章1.1.7知能优化训练 新人教B版必修2
PAGE1.已知长方体过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3,体对角线的长为2eq\r(14),则这个长方体的体积是(  )A.6            B.12C.24D.48答案:D2.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是(  )A.16πB.20πC.24πD.32π解析:选C.由V=Sh,得S=4,即正四棱柱底面边长为2.因为该正四棱柱的对角线即为球的直径,所以球的表面积S′=4πR2=4π(eq\f(D,2))2=D2π=(22+22+42)π=24π,故选C.3.若圆锥的母线长是8,底面周长为6π,则其体积是(  )A.9eq\r(55)πB.9eq\r(55)C.3eq\r(55)πD.3eq\r(55)答案:C4.若圆柱的侧面积为18,底面周长为6π,则其体积是________.答案:275.正四棱台的两底面边长分别为1cm和2cm,它的侧面积是3eq\r(5)cm2,那么它的体积是________cm3.解析:设正四棱台的斜高为h′,由侧面积公式S正棱台侧=eq\f(1,2)(c+c′)h′=eq\f(1,2)(1×4+2×4)h′=3eq\r(5),解得h′=eq\f(\r(5),2).再根据两底中心的连线与上、下底边的一半及斜高组成的直角梯形,可以求出高h=1,那么V正棱台=eq\f(1,3)(S上+S下+eq\r(S上·S下))h=eq\f(7,3).答案:eq\f(7,3)1.两个球的体积之和为12π,它们的大圆周长之和为6π,则两球的半径之差为(  )A.1B.2C.3D.4解析:选A.可设出两球的半径r1,r2,则有eq\f(4,3)π(req\o\al(3,1)+req\o\al(3,2))=12π,即req\o\al(3,1)+req\o\al(3,2)=9.又∵2π(r1+r2)=6π,∴r1+r2=3.由req\o\al(3,1)+req\o\al(3,2)=(r1+r2)[(r1+r2)2-3r1r2],可得r1r2=2,从而|r1-r2|=eq\r(r1+r22-4r1r2)=1.2.一圆锥的底面半径为4,在距圆锥顶点高线的eq\f(1,4)处,用平行于底面的平面截圆锥得到一个圆台,得到圆台是原来圆锥的体积的(  )A.eq\f(63,64)B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,64)解析:选A.∵在距圆锥顶点高线的eq\f(1,4)处,用平行于底面的平面截圆锥,圆锥底面半径为4,∴截面圆半径为1.设截去的底面半径为1的小圆锥的高为h,体积为V1,底面半径为4的圆锥的高为4h,体积为V2,则eq\f(V圆台,V2)=eq\f(V2-V1,V2)=eq\f(\f(1,3)π×42×4h-\f(1,3)π×12×h,\f(1,3)π×42×4h)=eq\f(63,64).3.把直径分别为6cm,8cm,10cm的三个铁球熔成一个大铁球,则这个大铁球的半径为(  )A.3cmB.6cmC.8cmD.12cm解析:选B.设大铁球的半径为R,则有eq\f(4,3)πR3=eq\f(4,3)π·(eq\f(6,2))3+eq\f(4,3)π·(eq\f(8,2))3+eq\f(4,3)π·(eq\f(10,2))3,解得R=6.4.如图,在△ABC中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°,若将△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的旋转体的体积是(  )A.eq\f(9π,2)B.eq\f(7π,2)C.eq\f(5π,2)D.eq\f(3π,2)解析:选D.如图,该旋转体的体积是以AD为半径,CD和BD为高的两个圆锥的体积之差,因为∠ABC=120°,所以∠ABD=60°.又因为AB=2,所以DB=1,AD=eq\r(3).所以V=eq\f(1,3)π·AD2·CD-eq\f(1,3)π·AD2·BD=eq\f(1,3)π·AD2·(CD-BD)=eq\f(3π,2).5.已知高为3的直棱柱ABC-A′B′C′的底面是边长为1的正三角形,则三棱锥B′-ABC的体积为(  )A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(\r(3),4)解析:选D.由题意,得VB′-ABC=eq\f(1,3)VABC-A′B′C′=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×1×1×3=eq\f(\r(3),4).6.如图所示,圆锥的高为h,圆锥内水面的高为h1,且h1=eq\f(1,3)h.若将圆锥倒置,水面高为h2,则h2等于(  )A.eq\f(2,3)hB.eq\f(19,27)hC.eq\f(\r(3,19),3)hD.eq\f(\r(3,6),3)h解析:选C.V圆台=eq\f(1,3)·eq\f(1,3)h[π(2r)2+eq\r(π2r2·π3r2)+π(3r)2]=eq\f(19,9)πhr2.圆锥倒置时,水形成了圆锥.设圆锥底面半径为x,则eq\f(x,3r)=eq\f(h2,h),于是x=eq\f(3rh2,h),则V圆锥=eq\f(1,3)π(eq\f(3rh2,h))2h2=eq\f(3πr2h\o\al(3,2),h2).所以eq\f(19,9)πhr2=eq\f(3πr2h\o\al(3,2),h2)⇒h2=eq\f(\r(3,19),3)h.7.半径为r的球放置于倒置的等边圆锥容器内,再将水注入容器内到水与球面相切为止,取出球后水面的高度是________.解析:设球未取出时PC=b,球取出后,水面高PH=x,如图所示,因为AC=eq\r(3)r,PC=3r,所以以AB为底面直径的圆锥形容器的容积V圆锥=eq\f(1,3)πAC2·PC=eq\f(1,3)π(eq\r(3)r)2·3r=3πr3,V球=eq\f(4,3)πr3.球取出后水面下降到EF,水的体积V水=eq\f(1,3)πEH2·PH=eq\f(1,3)π(PHtan30°)2·PH=eq\f(1,9)πx3,而V水=V圆锥-V球,即eq\f(1,9)πx3=3πr3-eq\f(4,3)πr3.所以x=eq\r(3,15)r.故球取出后水面的高为eq\r(3,15)r.答案:eq\r(3,15)r8.正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5∶2∶8,体积为14cm3,则棱台的高为________.解析:如图所示,设正四棱台AC′的上底面边长为2a,则斜高EE′和下底面边长分别为5a、8a.高OO′=eq\r(5a2-4a-a2)=4a.又∵eq\f(1,3)×4a×(64a2+4a2+eq\r(4a2×64a2))=14,∴a=eq\f(1,2),即高为2cm.答案:2cm9.(2020年高考湖北卷)圆柱形容器内盛有高度为8cm的水,若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图所示),则球的半径是________cm.解析:设球的半径为r,则由3V球+V水=V柱,得6r·πr2=8πr2+3×eq\f(4,3)πr3,解得r=4.答案:410.圆台上底的面积为16πcm2,下底半径为6cm,母线长为10cm,那么,圆台的侧面积和体积各是多少?解:首先,圆台的上底的半径为4cm,于是S圆台侧=π(r+r′)l=100π(cm2).其次,如图,圆台的高h=BC=eq\r(BD2-OD-AB2)=eq\r(102-6-42)=4eq\r(6)(cm),所以V圆台=eq\f(1,3)h(S+eq\r(SS′)+S′)=eq\f(1,3)×4eq\r(6)×(16π+eq\r(16π×36π)+36π)=eq\f(304\r(6)π,3)(cm3).11.如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,用截面截下一个棱锥C-A′DD′,求棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比.解:已知长方体可看成直四棱柱ADD′A′-BCC′B′,设它的底面ADD′A′的面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh,因为棱锥C-A′DD′的底面面积为eq\f(S,2),高是h,所以棱锥C-A′DD′的体积VC-A′DD′=eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×Sh=eq\f(1,6)Sh,余下的体积是Sh-eq\f(1,6)Sh=eq\f(5,6)Sh.所以棱锥C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.12.如图,三棱锥A-BCD的两条棱AB=CD=6,其余各棱长均为5,求三棱锥的内切球的体积.解:如图,取CD的中点E,连接AE,BE.∵AC=AD,BC=BD,∴CD⊥AE,CD⊥BE,∴CE和DE是三棱锥C-ABE和D-ABE的高.∵AD=5,DE=3,∴AE=BE=4,∴S△ABE=3eq\r(7).∴VA-BCD=VC-ABE+VD-ABE=eq\f(1,3)·S△ABE·CD=6eq\r(7).∵该三棱锥的四个面全等,面积均为12,设内切球半径为r,∴VA-BCD=eq\f(1,3)(S△ABC+S△BCD+S△ACD+S△ABD)·r=eq\f(1,3)·48·r=16r,∴r=eq\f(3,8)eq\r(7),∴V球=eq\f(4,3)πr3=eq\f(63\r(7),128)π.即三棱锥的内切球的体积为eq\f(63\r(7),128)π.
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分类:高中数学
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