带电粒子在磁场中运动解题方法及经典例题

带电粒子在磁场中运动一、不计重力的带电粒子在匀强磁场中的运动1．匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线运动．2．匀速圆周运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周运动．质量为m、电荷量为q的带电粒子以初速度v垂直进入匀强磁场B中做匀速圆周运动，其角速度为ω，轨道半径为R，运动的周期为T，推导半径和周期 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ：推导过程：运动时间t=3．对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握如下几点．(1)粒子圆轨迹的圆心的拟定的常规措施①若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置及通过某一位置时的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的垂线，同步作两位置连线的中垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－2所示．②若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向，可在两位置上分别作两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－3所示．③若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向及圆轨迹的半径R，可在该位置上作速度的垂线，垂线上距该位置R处的点为圆轨迹的圆心(运用左手定则判断圆心在已知位置的哪一侧)，如图4－4所示．图4－2　　　　图4－3　　　　　图4－4例1、一种质量为m电荷量为q的带电粒子从x轴上的P（，0）点以速度v，沿与x正方向成60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中，并正好垂直于y轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度B和射出点的坐标。（坐标为（0，））例2、电子自静止开始经M、N板间（两板间的电压为U）的电场加速后从A点垂直于磁场边界射入宽度为d的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置P偏离入射方向的距离为L，如图2所示，求：（1）对的画出电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图；（2）匀强磁场的磁感应强度.（已知电子的质量为m，电量为e）(2)运用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只懂得射入和射出时的速度的方向和射入时的位置，而不懂得射出点的位置，应当运用角的平分线和半径的交点拟定圆心。例3、如图19-19所示,一带电质点,质量为m,电量为q,以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域.为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出,可在合适的地方加一种垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场.若此磁场仅分布在一种圆形区域内,试求这圆形磁场区域的最小半径.重力忽视不计.解析：质点在磁场中作半径为R的圆周运动,根据题意,质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的圆上的1/4圆周,这段圆弧应与入射方向的速度、出射方向的速度相切.过a点作平行于x轴的直线,过b点作平行于y轴的直线,则与这两直线均相距R的O′点就是圆周的圆心.质点在磁场区域中的轨道就是以O′为圆心、R为半径的圆(图中虚线圆)上的圆弧MN,M点和N点应在所求圆形磁场区域的边界上.在通过M、N两点的不同的圆周中,最小的一种是以MN连线为直径的圆周.因此本题所求的圆形磁场区域的最小半径为所求磁场区域如图中实线圆所示. 变式：一质量为m、带电量为+q的粒子以速度v从O点沿y轴正方向射入磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从B处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同步进入场强为E、方向沿与x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了B点正下方的C点。如图示4所示，不计重力，试求：（1）圆形匀强磁场区域的最小面积；（2）C点到B点的距离h。解析：（1）反向延长vb交y轴于O2点，作∠BO2O的角平分线交x轴于O1，O1即为圆运动轨道的圆心，OO1即为圆运动轨道的半径，其半径为①画出圆运动的轨迹（图5虚线圆）交BO2于A点，最小的圆形磁场区域是以OA为直径的圆，如图5阴影所示。设最小的磁场区域半径为r,则②③运用①②③解得（2）B到C受电场力作用，做类平抛运动沿初速方向：④沿电场方向：⑤运用④⑤消去t解得.(4)圆周运动中有关对称的规律①从磁场的直边界射入的粒子，若再从此边界射出，则速度方向与边界的夹角相等例4如图3所示，直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同步从同一点O以与MN成30°角的同样速度v射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？ s=2r=②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子必沿径向射出．例5．[带电粒子在有界匀强磁场中运动的分析]如图所示，半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一种带电粒子(不计重力)从A点以速度v0垂直于磁场方向射入磁场中，并从B点射出，若∠AOB＝120°，则该带电粒子在磁场中运动的时间为(　　)A.eq\f(2πr,3v0)B.eq\f(2\r(3)πr,3v0)C.eq\f(πr,3v0)D.eq\f(\r(3)πr,3v0)答案　DOAv0Bv变式：.如图所示，一种质量为m、电量为q的正离子，从A点正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞2次后仍从A点射出，求正离子在磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。二、特殊措施1、旋转圆法 　　在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大小相似的带电粒子时，带电粒子的运动轨迹是环绕发射点旋转的半径相似的动态圆（如图7），用这一规律可迅速拟定粒子的运动轨迹。  　　例1．如图8所示，S为电子源，它在纸面360°度范畴内发射速度大小为v0，质量为m，电量为q的电子（q<0），MN是一块足够大的竖直挡板，与S的水平距离为L，挡板左侧布满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为mv0/qL，求挡板被电子击中的范畴为多大？  　　解析：由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹为绕S点旋转的动态圆，且动态圆的每一种圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9所示，最高点为动态圆与MN的相切时的交点P，最低点为动态圆与MN相割，且SQ为直径时Q为最低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由洛仑兹力提供向心力，由    得： 　　SQ为直径，则：SQ=2L，SO=L，由几何关系得： 　　P为切点，因此OP＝L，因此粒子能击中的范畴为。 　　例2．（全国新课程卷）如图10所示，在0≤x≤A．0≤y≤范畴内有垂直于xy平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一种粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子，它们的速度大小相似，速度方向均在xy平面内，与y轴正方向的夹角分布在0～90°范畴内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到a之间，从发射粒子到粒子所有离开磁场经历的时间正好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的： 　　（1）速度大小；（2）速度方向与y轴正方向夹角正弦。  　　解析：设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得：，解得：。 　　从O点以半径R（＜R＜a）作“动态圆”，如图11所示，由图不难看出，在磁场中运动时间最长的粒子，其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切。设该粒子在磁场中的运动时间为t，依题意，因此∠OCA＝。 　　设最后离开磁场的粒子的发射方向与y轴正方向的夹角为α，由几何关系得： 　　，，再加上， 　　解得：，，变式、如图，在0≤x≤eq\r(3)a区域内存在与xy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B.在t＝0时刻，一位于坐标原点的粒子源在xy平面内发射出大量同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相似，方向与y轴正方向的夹角分布在0°～180°范畴内．已知沿y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场边界上P(eq\r(3)a，a)点离开磁场．求：(1)粒子在磁场中做圆周运动的半径R及粒子的比荷q/m；(2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与y轴正方向夹角的取值范畴；(3)从粒子发射到所有粒子离开磁场合用的时间．tm=2t0 2、缩放圆法　　带电粒子以大小不同，方向相似的速度垂直射入匀强磁场中，作圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图12），运用缩放的动态圆，可以摸索出临界点的轨迹，使问题得到解决。 　例3．如图13所示，匀强磁场中磁感应强度为B，宽度为d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为θ，已知电子的质量为m，电量为e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范畴。  　　解析：如图14所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子正好不能从另一侧射出，当速率不小于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为v0，带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关系得：r+rcosθ=d       ① 　　电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力：，因此：     ② 　　联立①②解得：，因此电子从另一侧射出的条件是速度不小于。 　　 　　例4．如图，一足够长的矩形区域abcd内布满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边中点O射入与Od边夹角为30°，大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m,电量为q，ad边长为L，ab边足够长，粒子重力忽视不计。求： 　　（1）试求粒子能从ab边上射出磁场的v0的大小范畴； 　　（2）粒子在磁场中运动的最长时间和在这种状况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范畴。 　　解析：（1）画出从O点射入磁场的粒子运动轨迹的动态圆，可以从ab边射出的粒子的临界轨迹如图23所示，轨迹与dc边相切时，射到ab边上的A点，此时轨迹圆心为O1，则轨道半径r1=L，由得最大速度。（注：两条半径与它们所夹的一条边构成等边三角形） 　　轨迹与ab边相切时，射到ab边上的B点，此时轨迹圆心为O2，则轨道半径r2=L/3，由得最小速度。 　　因此粒子可以从ab边射出的速度范畴为：