?第十五章复数(理)?2012高考调研?考纲要求?1．了解引进复数的必要性，理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示和几何意义．?2．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．?3．了解从自然数系到复数系扩充的基本思想．?考情分析?本章考查的题型以选择题或填空题为主，一般一套试卷中出一个小题，分值为4—5分．?复数的有关概念是复数运算、复数应用的基础，高考中重点考查的概念有虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等．在解答涉及这些概念的复数运算时，对这些概念的理解、掌握既是审题的关键，又是获得解题思路的源泉．?复数在高考题中一般为中、低档题，低档题居多，其
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难度与教材习题相当，试题活而不难，主要考查学生的计算能力和灵活运用知识的能力．?第六十三讲?复数的概念及复数代数形式的运算?回归课本?1.复数的概念?形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，a，b分别叫做它的实部和虚部．?2．复数的分类?复数a＋bi(a，b∈R)，当b＝0时，就是实数；当b≠0时，叫做虚数；当a＝0，b≠0时，叫做纯虚数．?3．复数的相等?如果两个复数a＋bi(a，b∈R)与c＋di(c，d∈R)的实部与虚部分别相等，就说这两个复数相等．?4．共轭复数?当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，则两个复数互为共轭复数．?5．复平面?建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．6．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)(以下不再说明)加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；除法：a＋bic＋di＝?a＋bi??c－di?c2＋d2(c＋di≠0)＝?ac＋bd?＋?bc－ad?ic2＋d2.7．求解计算时，要灵活利用i，ω的性质，或适当变形，创造条件，从而转化为关于i，ω的计算问题，并注意以下结论的灵活应用(1)(1±i)2＝±2i；(2)1＋i1－i＝i，1－i1＋i＝－i；(3)ωn＋ωn＋1＋ωn＋2＝0(n∈N)；(4)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)．?考点陪练?1.设a∈R，且(a＋i)2i为正实数，则a＝()?A．2B．1?C．0D．－1?答案：D解析：∵(a＋i)2i＝(a2＋2ai－1)i＝(a2－1)i－2a.又(a＋i)2i是正实数，故?????a2－1＝0，－2a>0，∴a＝－1.?2．下列说法正确的是()?A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等?B．在复平面内复数a＋bi对应的点为(b，a)?C．如果复数x＋yi是实数，则x＝0，y＝0?D．复数3＋i大于复数2＋i?解析：由复数相等的定义知，两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等，则它们的实部差与虚部差都为0.?答案：A?3．复数z＝－2(sin2010°－icos2010°)在复平面内对应的点z所在的象限是()?A．第一象限B．第二象限?C．第三象限D．第四象限?解析：z＝－2(sin2010°－icos2010°)＝－2sin2010°＋2icos2010°＝－2sin(360°×5＋210°)＋2icos(360°×5＋210°)＝－2sin210°＋2icos210°，210°角的终边在第三象限，∴－2sin210°>0,2cos210°<0.?∴复数z＝－2(sin2010°－icos210°)在复平面内对应的点z在第四象限．?答案：D?答案：D4.??????22?1－i?2010＝()A．21004B．2502C．1D．－2i解析：∵[22(1－i)]8＝??????[22?1－i?]24＝[12(－2i)]4＝(－i)4＝1∴[22(1－i)]2010＝{[22(1－i)]8}251·22(1－i)2＝－2i.?答案：B5．(2011·徐州模拟)若z＝12＋32i，且(x－z)4＝a0x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a2等于()A．－12＋32iB．－3＋33iC.12＋32iD．－3－33i解析：由T3＝C42x2(－z)2则a2＝C42(－z)2＝6×(－12－32i)2＝6×(－12＋32i)＝－3＋33i.?类型一复数的基本概念?解题准备：处理有关复数基本概念的问题，关键是掌握复数的相关概念，找准复数的实部与虚部(即实部和虚部必须是实数)，从定义出发解决问题．本例考查复数集的分类及复数的几何意义，由于本题所给的复数已经采用MATCH_
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_1714165971897_0的代数形式，因此容易确定其实部与虚部．若不然，则应先化为代数形式后再依据概念求解．?[分析]复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时z∈R；当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；当a＜0，b＞0时，z对应的点位于复平面的第二象限；复数z对应的点的坐标是直线方程的解，这个点就在这条直线上．【典例1】已知m∈R，复数z＝m?m－2?m－1＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．[解析](1)由m2＋2m－3＝0且m－1≠0，得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.(2)由?????m?m－2?m－1＝0m2＋2m－3≠0解得m＝0或m＝2∴当m＝0或m＝2时，z为纯虚数．(3)由?????m?m－2?m－1＜0m2＋2m－3＞0解得m＜－3或1＜m＜2，故当m＜－3或1＜m＜2时，z对应的点位于复平面的第二象限．?[点评]复数分类的充要性的掌握是解此类题的关键．复数与复平面上的点是一一对应的，这为形与数之间的相互转化，为解决形或数问题提供了一条重要思路．要完整理解复数为纯虚数的等价条件，切不可忘记复数z＝a＋bi(a、b∈R)为纯虚数的一个必要条件是b≠0，计算中分母不为零也不可忽视．(4)由m?m－2?m－1＋(m2＋2m－3)＋3＝0，得m?m2＋2m－4?m－1＝0，解得m＝0或m＝－1±5.∴当m＝0或m＝－1±5时，点z在直线x＋y＋3＝0上．探究1：复数z＝(m＋1)＋(2m＋1)i(m∈R)．(1)若z＋2z为实数，则z＝________.(2)若|z－mi|<1，则m的取值范围是________．(3)若z对应点在第一象限，则m的取值范围是______________．(4)若z＋3i＝x＋(x＋1)i(x∈R)，则x＝________.(5)若z＋3i>x，则x的取值范围是________．(6)复数z不可能在第________象限．?[分析]依题意观察到复数z符合a＋bi的形式，且a，b∈R，故可利用复数的有关概念解题．[解析](1)z＋2z＝m＋1＋(2m＋1)i＋2[(m＋1)－(2m＋1)i]＝3(m＋1)－(2m＋1)i为实数?2m＋1＝0?m＝－12，此时z＝12.(2)|z－mi|<1?|(m＋1)＋(2m＋1)i－mi|<1?|(m＋1)＋(m＋1)i|<1??m＋1?2＋?m＋1?2<1?(m＋1)2<12?|m＋1|<22?－22
02m＋1>0?m>－12即m的取值范围是(－12，＋∞)．(4)z＋3i＝x＋(x＋1)i(x∈R)?(m＋1)＋(2m＋4)i＝x＋(x＋1)i??????m＋1＝x2m＋4＝x＋1??????x＝－1m＝－2所以x＝－1.(5)z＋3i＝(m＋1)＋(2m＋4)i>x所以x与(m＋1)＋(2m＋4)i都是实数所以2m＋4＝0，m＝－2所以－2＋1>x，即x<－1所以x的取值范围是(－∞，－1)．(6)z＝(m＋1)＋(2m＋1)iz对应点所在象限由m＋1与2m＋1的符号共同确定，而m<－1与m>－12即m＋1<0与2m＋1>0不可能同时成立，所以z对应点不可能在第二象限．?[点评](1)理解并掌握概念、基本方法是关键，特别若z1>z2，则z1，z2∈R.?(2)应用复数的相关知识，将之转化为解关于m的方程或不等式．任何对z的限定，都要从实部和虚部两方面考虑．[答案](1)12(2)??????－2＋22，2－22(3)??????－12，＋∞(4)－1(5)(－∞，－1)(6)二?类型二复数的相等?解题准备：复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法之一，其转化的依据就是复数相等的充要条件．基本思路是：设出复数的代数形式z＝x＋yi(x、y∈R)，由复数相等可以得到两个实数等式所组成的方程组，从而可以确定两个独立的基本量，应注意很好地体会转化思想的应用．【典例2】设存在复数z同时满足下列条件：(1)复数z在复平面内对应的点位于第二象限；(2)zz－＋2iz＝8＋ai(a∈R)．试求a的取值范围．[解析]设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z－＝x－yi.由(1)知x<0，y>0.又zz－＋2iz＝8＋ai(a∈R)，故(x＋yi)(x－yi)＋2i(x＋yi)＝8＋ai，即(x2＋y2－2y)＋2xi＝8＋ai，∴?????x2＋y2－2y＝8，2x＝a，即4(y－1)2＝36－a2，∵y>0，∴4(y－1)2≥0，∴36－a2≥0，即a2≤36，－6≤a≤6，又2x＝a，而x<0，∴a<0，∴－6≤a<0，∴a的取值范围为[－6,0)．?[分析]由复数定义，设出复数的代数形式，根据模和复数与复平面上点的对应关系，列出实数方程，化虚为实?解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，?又|z|＝5，∴x2＋y2＝25，①?∵(3＋4i)z＝(3＋4i)(x＋yi)＝(3x－4y)＋(4x＋3y)i?在复平面上对应的点在第二、四象限角平分线上，?∴它的实部与虚部互为相反数，?∴3x－4y＋4x＋3y＝0.?化简得y＝7x，探究2：设复数z满足|z|＝5，且(3＋4i)z在复平面上对应的点在第二、第四象限的角平分线上，|2z－m|＝52(m∈R)，求z和m.代入①得x＝±22，∴?????x＝22y＝722或?????x＝－22y＝－722，∴z＝±??????22＋722i.当z＝22＋722i时，|2z－m|＝|1＋7i－m|＝52，即(1－m)2＋72＝50，∴m＝0或m＝2.当z＝－??????22＋722i时，?点评：应用复数的定义及几何意义，转化为解实数方程或不等式．任何对复数的限制，都是通过复数的实部和虚部来表现的．同理可得m＝0或m＝－2.∴z＝22＋722i，m＝0或m＝2；或z＝－??????22＋722i，m＝0或m＝－2.?类型三复数的运算?解题准备：复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但注意要把i的幂写成最简单的形式，在运算过程中，要熟悉i的特点及熟练应用运算技巧．【典例3】计算：(1)?1＋i?4?1－3i?5；(2)－23＋i1＋23i＋??????21－i1996；(3)求(1－3i)10的展开式中的所有奇数项的和．[分析]对于以上3题，若按复数乘除法和乘方法直接计算，则显得十分繁琐．若能结合题目特点联想结论(1±i)2＝±2i和ω的性质，对于(2)题注意到－23＋i＝(1＋23i)i，对于(3)题利用二项式定理展开，则不难找出简便解法．[解析](1)原式＝?1＋i?425·??????1－3i25＝[?1＋i?2]2－25?－12＋32i?5＝?2i?2－25ω5＝－4－25ω2＝2－3(－12＋32i)＝－116＋316i(其中ω＝－12＋32i)．(2)原式＝i?1＋23i?1＋23i＋[??????21－i2]998＝i＋??????2－2i998＝i＋i998＝i＋i4×249＋2＝i＋i2＝－1＋i.(3)∵(1－3i)10＝1－C1013i＋C102(3i)2－C103(3i)3＋…∴(1－3i)10的展开式中奇数项之和为复数(1－3i)10的实部．又(1－3i)10＝??????－2??????－12＋32i10＝210ω10＝210ω＝210(－12＋32i)＝－29＋293i.∴(1－3i)10的展开式中各奇数项的和为－29.[点评]代数形式的复数运算，基本思路是应用运算法则，但如果能通过对表达式的结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质，ω＝－12＋32i的性质及1±i的幂的性质等，可有效地简化运算，提高速度．?分析：(1)采用代入法求出ω；?(2)代入化简后，通过复数相等，把复数问题转化为实数问题来解．探究3：已知z＝1＋i.(1)设ω＝z2＋3z－4，求ω；(2)如果z2＋az＋bz2－z＋1＝1－i，求实数a，b的值．解析：(1)∵z＝1＋i，∴ω＝z2＋3z－4＝(1＋i)2＋3(1＋i)－4＝－1－i.(2)∵z2＋az＋bz2－z＋1＝?1＋i?2＋a?1＋i?＋b?1＋i?2－?1＋i?＋1?点评：通过复数相等的定义，把虚数问题转化为实数问题，是解决复数问题的重要数学思想，代入化简时，注意复数的运算技巧．＝?a＋b?＋?a＋2?ii＝(a＋2)－(a＋b)i＝1－i，∴?????a＋2＝1－?a＋b?＝－1，∴?????a＝－1b＝2?分析：根据共轭复数的定义求解．?快解：依题意，f2008(z)应是对复数z＝2008－2009i求了2008次共轭复数，一个复数求两次共轭复数仍是它本身，求了2008次还应是它本身，故f2008(z)＝2008－2009i.?答案：2008－2009i快速解题技法1.已知复数z＝2008－2009i，f1(z)＝z－，fn(z)＝fn－1(z)，则f2008(z)＝________.2．已知z∈C，且|z－(2＋2i)|＝2.求|z|的最值．快解：由已知可得，复数z对应点的轨迹为点M(2,2)为圆心，以r＝2为半径的圆(如图)．连结OM交圆于A，B两点，易得|OM|＝22.故|OA|＝|OM|－r＝2，|OB|＝|OM|＋r＝32.故|z|的最大值为32，最小值为2.
浙公网安备 33021202002483