PAGE2020学年第二学期期末高二联考数学理科试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合，，则A．B．C．D．2.复数的实部为A．B．C．D．3.的展开式中的系数为A．B．C．D．4.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的
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面积为A．B．C．D．5若实数满足条件，则的最小值为A.B.C.D.6.在等比数列中，，公比为，前项和为，若数列也是等比数列，则等于A．B．C．D．7．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A．B．C．D．8．函数的部分图象可能是A．B．C．D．9.抛物线的焦点为，点，为抛物线上一点，且不在直线上，则周长的最小值为A.B.C.D.10．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高和底面边长均为，则该球的体积为A.B.C.D.11．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A．B．C．D．12．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A．B．C．D．第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线在点处的切线方程为__________．14．已知向量，，．若，则__________．15．学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是或作品获得一等奖”乙说：“作品获得一等奖”丙说：“两项作品未获得一等奖”丁说：“是作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是___________．16．如图在中，，，点是外一点，,则平面四边形面积的最大值是___________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字
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、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）记为等差数列的前项和，已知，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）求，并求的最小值．18．（本小题满分12分）在如图所示的六面体中，面是边长为的正方形，面是直角梯形，，，.（Ⅰ）求证：//平面；（Ⅱ）若二面角为，求直线和平面所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)为迎接月日的“全民健身日”，某大学学生会从全体男生中随机抽取名男生参加米中长跑测试，经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图（小数点前一位数字为茎，小数点的后一位数字为叶），如图，若跑步时间不高于秒，则称为“好体能”.（Ⅰ）写出这组数据的众数和中位数；（Ⅱ）要从这人中随机选取人，求至少有人是“好体能”的概率；（Ⅲ）以这人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据，若从该校男生（人数众多）任取人，记表示抽到“好体能”学生的人数，求的分布列及数学期望.（20）（本小题满分12分）设椭圆的右顶点为A，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，.（I）求椭圆的方程；（II）设直线与椭圆交于两点，与直线交于点M，且点P，M均在第四象限.若的面积是面积的2倍，求k的值.21．已知函数．（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）已知，求证．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆的极坐标方程为.（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）设点的直角坐标为，直线与圆的交点为,求的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知关于的不等式（Ⅰ）当时，求不等式解集；（Ⅱ）若不等式有解，求的范围.2020学年第二学期期末高二联考数学理科答案选择题CADDBCBBCAAD填空题17（I）设的公差为d，由题意得．………………………………………………………………3分由得d=2．所以的通项公式为．…………………………………………………………………………………6分（II）由（1）得．………………………………………………………………………9分所以当n=4时，取得最小值，最小值为−16．………………………………………………………………………12分18证明：（I）连接相交于点，取的中点为,连接.是正方形，是的中点，,又因为,所以且，所以四边形是平行四边形，…………………………………………………………………………………3分，又因为平面,平面平面…………………………………………………………………5分（II）是正方形，是直角梯形，，,平面,同理可得平面.又平面，所以平面平面,又因为二面角为，所以,,,由余弦定理得,所以,又因为平面，,所以平面，…………………………………………………7分以为坐标原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则,……………………………………8分所以,设平面的一个法向量为，则即令，则，所以………………………………………………………11分设直线和平面所成角为，则………………………………………12分19解：（I）这组数据的众数和中位数分别是；………………………………………………………………3分（II）设求至少有人是“好体能”的事件为A,则事件A包含得基本事件个数为;总的基本事件个数为，…………………………………………7分（Ⅲ）的可能取值为由于该校男生人数众多，故近似服从二项分布…………………………………………………………9分，,,的分布列为故的数学期望………………………………………………………………………12分20（I）解：设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得由,从而.所以，椭圆的方程为.…………………………………………………………………………5分（II）解：设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，点的坐标为由的面积是面积的2倍，可得，从而，即.……………………………………………………………………………6分易知直线的方程为，由方程组消去y，可得.由方程组消去，可得.…………………………………………………………9分由，可得，两边平方，整理得，解得，或.当时，，不合题意，舍去；当时，，，符合题意.所以，的值为.………………………………………………………………………………12分21解：（I）因为，…………………………………………………………2分当时；当时，则在单调递增，在单调递减.所以的最大值为.…………………………………………………………………5分（II）由得，，………7分则，又因为，有，构造函数………………………………………9分则，当时，，可得在单调递增，有，……………………………………………………11分所以有．………………………………………12分22解：（I）由题意可知圆的直角坐标系方程为，所以圆心的极坐标为.……………………………………………4分（II）因为圆的直角坐标系方程为，直线方程为，得到所以.………………………………………10分23解：（I）当时，则所以即不等式解集为.………………………………………………5分（II）令，由题意可知；又因为所以，即.…………………………………………10分
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