山东省2020届高三数学 第三章3.2《空间向量在立体几何中的应用》单元测试18 理 新人教B版选修2-1

PAGE山东省新人教B版2020届高三单元测试18选修2-1第三章3.2《空间向量在立体几何中的应用》说明：本 试卷 云南省高中会考试卷哪里下载南京英语小升初试卷下载电路下试卷下载上海试卷下载口算试卷下载 分第一卷和第二卷两部分，第一卷74分，第二卷76分，共150分；答题时间120分钟．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）．1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（）A．60°B．90°C．105°D．75°图2．如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝，则BE1与DF1所成角的余弦值是（）A．B．图C．D．3．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B．C．D．4．正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（）A．B．C．D．AA1DCBB1C1图5．已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．点到平面的距离（）A．B．C．D．6．在棱长为的正方体中，则平面与平面间的距离（）A．B．C．D．7．在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（）A．B．C．D．8．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G．则与平面ABD所成角的余弦值（）A．B．C．D．9．正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且，则二面角的大小（）A．B．C．D．10．正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，．则三棱锥的体积V（）A．B．C．D．二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题6分，共24分）．11．在正方体中，为的中点，则异面直线和间的距离．12．在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离．13．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离．14．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共76分）．15．（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小16．（12分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC．17．（12分）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．（1）若AE⊥PD，E为垂足，求证：BE⊥PD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值．18．（12分）已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点．（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的BDEF的距离；（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角．19．（14分）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E为棱AB的中点，求：（Ⅰ）D1E与平面BC1D所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大小；（Ⅲ）异面直线B1D1与BC1之间的距离．20．（14分）如图5：正方体ABCD-A1B1C1D1，过线段BD1上一点P（P平面ACB1）作垂直于D1B的平面分别交过D1的三条棱于E、F、G．(1)求证：平面EFG∥平面ACB1，并判断三角形类型；(2)若正方体棱长为a，求△EFG的最大面积，并求此时EF与B1C的距离．参考答案一、1．B；2．A；3．A；4．C；分析：建立如图所示的直角坐标系，则ABCDOS图，，，，．，．令向量，且，则，，，，．异面直线和之间的距离为：．5．A；分析：为正方形，，又平面平面，面，是平面的一个法向量，设点到平面的距离为，则===．6．B；分析：建立如图所示的直角坐标系，ABCDA1B1C1D1E图设平面的一个法向量，则，即，，平面与平面间的距离7．D；8．B；解以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，设，则，，，∴，，，，∵点E在平面ABD上的射影是的重心G，∴平面ABD，∴，解得．∴，，∵平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量．由∴与平面ABD所成的角的余弦值为．评析因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求出的线面角应满足．9．A；取BC的中点O，连AO．由题意平面平面，，∴平面，以O为原点，建立如图6所示空间直角坐标系，则，，，，∴，，，由题意平面ABD，∴为平面ABD的法向量．设平面的法向量为，则，∴，∴，即．∴不妨设，由，得．故所求二面角的大小为．评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找——证——求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神．（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取时，会算得，从而所求二面角为，但依题意只为．因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角．所以在计算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”．10．C；解以D为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，则，，，，∴，，，图10∴，∴，所以，设平面的方程为：，将点代入得，∴，∴平面的方程为：，其法向量为，∴点到平面的距离，∴即为所求．评析（1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式　计算得到．（2）法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等．二、11．分析：设正方体棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设和公垂线段上的向量为，则，即，，，又，，所以异面直线和间的距离为．12．分析：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．AEA1DCBB1C1D1F图则．，；设面的法向量为，则有：，，，又，所以点到截面的距离为=．13．1；解：如图建立空间直角坐标系，＝（1，1，0），＝（0，，1），＝（1，0，1）zxBA1yFEB1C1D1DCA设平面DBEF的法向量为＝（x，y，z），则有：即x＋y＝0y＋z＝0令x＝1,y=－1,z=,取＝（1，－1，），则A1到平面DBEF的距离EzxD1yAC1B1A1BDC14．解：如图建立空间直角坐标系，＝（0，1，0），＝（－1，0，1），＝（0，，1）设平面ABC1D1的法向量为＝（x，y，z）,由可解得＝（1，0，1）设直线AE与平面ABC1D1所成的角为θ，则，三、15．zyxD1A1DB1C1CBA解：如图建立空间直角坐标系，＝（－1，1，0），＝（0，1，－1）设、分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，由可解得＝（1，1，1）易知＝（0，0，1），所以，＝FyEMxzD1C1B1A1CDBA所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos或－arccos．注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小．16．证明：如图建立空间直角坐标系，则＝（－1，1，0），＝（－1，0，－1）＝（1，0，1），＝（0，－1，－1）　　　设，，（、、，且均不为0）设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，由可得即解得：＝（1，1，－1）由可得即解得＝（－1，1，－1），所以＝－，∥，所以平面A1EF∥平面B1MC．注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用⊥来证明．17．（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD．（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）．∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD与底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°．于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a．过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，由AE=a，∠EAF=60°，得AF=，EF=a，∴E（0，a）于是，={－a，a，0}设与的夹角为θ，则由cosθ=AE与CD所成角的余弦值为．评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段．18．解：（1）略．（2）如图，建立空间直角坐标系D—xyz,则知B（1，1，0），设得则令．设点A1在平面BDFE上的射影为H，连结A1D，知A1D是平面BDFE的斜线段．即点A1到平面BDFE的距离为1．A1B1C1D1ABCDExyz（3）由（2）知，A1H=1，又A1D=，则△A1HD为等腰直角三角形，19．解：建立坐标系如图，则、，，，，，，，，，．（Ⅰ）不难证明为平面BC1D的法向量，∵∴D1E与平面BC1D所成的角的大小为（即）．（Ⅱ）、分别为平面BC1D、BC1C的法向量，∵，∴二面角D－BC1－C的大小为．（Ⅲ）∵B1D1∥平面BC1D，∴B1D1与BC1之间的距离为．20．(证明（1）用纯粹的几何方法要辗转证明EF∥AC，EG∥B1C，FG∥AB1来证明，而我们借用向量法使问题代数化，运算简洁，思路简单明了．)(1)分析：要证平面EFG平面ACB1，由题设知只要证BD1垂直平面ACB1即可．证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图5，不妨设正方体棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（xE，0，a），F（0，yF，a），G（0，0，zG）．∴=（－a，－a，a），=（0，a，a），（－xE，yF，0），=（－a，a，0），=（－a，0，－a），∵·=(－a，－a，a)·(0，a，a)=0，∴⊥，同理⊥，而与不共线且相交于点A，∴⊥平面ACB1，又已知⊥平面EFG，∴平面EFG∥平面ACB1；又因为⊥平面EFG，所以⊥，则·=0，即(－a，－a，a)·(－xE，yF，0)=0，化简得xE－yF=0；同理xE－zG=0,yF－zG=0，易得==，∴△EFG为正三角形．(2)解：因为△EFG是正三角形，显然当△EFG与△A1C1D重合时，△EFG的边最长，其面积也最大，此时，=A1C1=·a，∴==·sin600=(·a)2·=·a2．此时EF与B1C的距离即为A1C1与B1C的距离，由于两异面直线所在平面平行，所求距离转化为求点B1到平面A1C1D的距离，记A1C1与B1D1交于点O1，作O1H∥D1B并交BB1于点H，则O1H⊥平面A1C1D，垂足为O1，则O1(，，a)，H(a，a，)，而作为平面A1C1D的法向量，所以异面直线EF与B1C的距离设为d是d===·a．(证明（2）时一般要找到求这两平面距离的两点，如图5*，而这两点为K与J，在立体图形中较难确定，且较难想到通过作辅助线DO1，OB1来得到，加上在如此复杂的空间图形中容易思维混乱，但只要借助平面法向量求线段的射影长度的思想，结合题设，使思路清晰明了，最终使问题的解决明朗化；把握这种思想，不管是空间线线距离，线面距离，面面距离问题，一般我们都能转化成点线或点面距离，再借助平面法向量很好地解决了．)