垂径定理能力提升1.如图,在5×5正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是( )A.点PB.点QC.点RD.点M2.如图,圆心在y轴的负半轴上,半径为5的☉B与y轴的正半轴交于点A(0,1),过点P(0,-7)的直线与☉B相交于C,D两点,则弦CD的长所有可能的整数值有( )A.1个B.2个C.3个D.4个(第1题图)(第2题图)3.(2015山东东营中考)如图,水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB为0.8m,则排水管内水的深度为 m. 4.如图,若☉O的半径为13cm,点P是弦AB上一动点,且到圆心的最短距离为5cm,则弦AB的长为 . 5.如图,在☉O中,AB,AC是互相垂直且相等的两条弦,OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E,若AC=2cm,则☉O的半径为 . (第4题图)(第5题图)6.在半径为5cm的圆内有两条平行弦,一条弦长为8cm,另一条弦长为6cm,则两弦距离为 . 7.(2014江苏南通中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.点M在☉O上,MD恰好经过圆心O,连接MB.(1)若CD=16,BE=4,求☉O的直径;(2)若∠M=∠D,求∠D的度数.创新应用8.某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2m,拱顶高出水面2.4m.现有一艘宽3m、船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗?参考答案1.B 连接BC,分别作AB,BC的垂直平分线(图略),两条垂直平分线相交于点Q,所以这条圆弧所在圆的圆心是点Q,故选B.2.C 半径为5的☉B与y轴的正半轴交于点A(0,1),可知OB=4,所以点B(0,-4).由P(0,-7),得BP=3.当弦CD⊥AB时,弦CD最短.连接BC,由勾股定理,得CP==4,由垂径定理,得CD=2CP=8.当弦CD是☉B的直径时,CD=10.所以8≤CD≤10,所以CD的整数值为8,9,10共三个.3.0.8 设圆心为O,作OC⊥AB于点C,由垂径定理,得BC=AB=0.4.连接OB,则OB=0.5.在Rt△OBC中,由勾股定理,得OC==0.3,则排水管内水的深度为0.3+0.5=0.8(m).4.24cm 点P到圆心的最短距离是5cm,即OP⊥AB时,OP=5cm,根据垂径定理,得AB=2=24(cm).5.cm 由垂径定理,得AE=CE=AD=BD=1cm,从而可推得四边形ADOE为正方形,∴OD=AD=1cm.再由勾股定理,得半径OA=cm.6.1cm或7cm (1)当两弦在圆心的同侧时,如图①,我们可以作OM⊥AB于点M,交CD于点N.在Rt△OBM中,OM==4(cm),在Rt△ODN中,ON==3(cm),所以MN=OM-ON=1(cm),即当两弦在圆心的同侧时,两弦距离为1cm.(2)当两弦在圆心的两侧时,如图②,这时两弦距离为7cm.7.解:(1)∵AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,CD=16,∴DE=CD=8.∵BE=4,∴OE=OB-BE=OD-4.在Rt△OED中,OE2+ED2=OD2,∴(OD-4)2+82=OD2,解得OD=10.∴☉O的直径是20.(2)∵弦CD⊥AB,∴∠OED=90°,∴∠EOD+∠D=90°.∵∠M=∠D,∠EOD=2∠M,∴∠EOD+∠D=2∠M+∠D=90°,∴∠D=30°.8.解:如图,用
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示桥拱,所在圆的圆心为O,半径为Rm,经过圆心O作弦AB的垂线OD,D为垂足,与相交于点C.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高.由题设得AB=7.2m,CD=2.4m,HN=MN=1.5m.AD=AB=×7.2=3.6(m),OD=OC-DC=(R-2.4)(m).在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2,即R2=3.62+(R-2.4)2.解得R=3.9,OD=R-2.4=3.9-2.4=1.5(m).在Rt△ONH中,由勾股定理,得OH=,即OH==3.6(m).DH=OH-OD=3.6-1.5=2.1(m).∵2.1>2,∴此货船能顺利通过这座拱桥.
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