PAGE黑龙江省大庆中学2020学年高二数学上学期期中试题理考试范围：必修1，2，3，4，5选修2-1；考试时间：120分钟；试卷总分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）已知集合，，则（）设命题，则为（）如果，那么下列不等式中错误的是（）下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是（）两人的各科成绩如茎叶图所示，则下列说法不正确的是（）甲、乙两人的各科平均分相同甲的中位数是，乙的中位数是甲的众数是，乙的众数为甲各科成绩比乙各科成绩稳定已知，，，若，则（）某同学根据一组，样本数据，求出线性回归方程=x+和相关系数，下列说法正确的是（）与是函数关系与是函数关系只能大于越接近，两个变量相关关系越弱已知，，则（）如图，在三棱锥中，底面为正三角形，侧棱垂直于底面，．若是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）设，，是与的等比中项，则的最小值是（）已知圆：和点，若圆上存在两点使得，则实数的取值范围是（）已知双曲线的左、右顶点分别为，，为双曲线左支上一点，为等腰三角形且其外接圆的半径为，则该双曲线的离心率为（）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）点是抛物线：上一点，若到的焦点的距离为，则______________.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是______________.．如图，设△的内角所对的边分别为，，且.若点是△外一点，，，则四边形面积的最大值为_________.．过球面上，，三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且，则球的体积为______________.三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18、19、20、21、22每题12分，共70分）为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100)六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）已知数列是等差数列，满足，，数列是公比为3的等比数列，且．（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和．已知点满足,设点的轨迹是曲线．（1）求曲线的方程．（2）直线过焦点与曲线交于两点，，，求直线的方程.．如图，在中，边，，且点在线段上，（1）若，求线段的长；（2）若，，求的面积.如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，点是的中点.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角为，求二面角的大小.已知椭圆：经过点，离心率为. （1）求椭圆的标准方程；（2）过坐标原点作直线交椭圆于、两点，过椭圆右焦点作的平行线交椭圆于、两点.①是否存在常数，满足？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由；②若的面积为，的面积为，且，求的最大值.2020----2020学年度上学期期末考试高二年级理科数学参考答案一、选择题题号123456789101112答案CDCBCDBBADBC二、填空题13．14．15．16．三、解答题17．解：(1)因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为.补全的频率分布直方图如图所示．(2)众数：75，中位数：因为抽取学生的平均分约为45×0.1＋55×0.156＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)，所以可估计这次考试的平均分为71分．18．解：（1）设等差数列的公差为d．由，，得，解得．所以．即的通项公式为：，．由于是公比为3的等比数列，且，所以．从而．（Ⅱ）由（Ⅰ）．数列的前n项和．19．（1）由已知得点M的轨迹是以点为焦点的抛物线∴∴所以曲线的方程为（2）20．（I）由可得由,可得,在三角形ADB中,由正弦定理可得,所以.（II）由得，所以，因为，所以，在中，由余弦定理得，即，可得或（舍去），所以.21．（1）连接交于，连接，由题意可知，，，又在平面外，平面，所以平面.以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，，则，，，，，，设平面的法向量，由，得，取，又由直线与平面所成的角为，得，解得，同理可得平面的法向量，由向量的夹角公式，可得，又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.22．（1）得到，结合得到，将点代入椭圆方程中，解得所以椭圆方程为：（2）①当OP直线斜率不存在时当OP直线斜率存在时，设OP直线方程为，结合椭圆方程，代入得到，设设AB的直线方程为，代入椭圆方程，计算出，结合，代入可得②分析图可知，所求面积之和实则为，故设直线AB的方程为，则其中d为圆心O到直线AB的距离，则则将直线方程代入椭圆方程，得到解得，代入中，得到，令，得到，则当时，该函数取到最大值，代入中，得到。
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