PAGE曲线和方程知识要点精析知识网络曲线和方程曲线的方程方程的曲线求曲线和方程曲线的交点概念判定步骤方法骤重点内容精析1．“曲线”与“方程”这两个概念的主要区别与联系⑴曲线的方程”这一概念中，主要的词是“方程”，方程前面的三个字“曲线的”，是用来限制“方程”的含义的，说明这类方程不能是随意的方程(例如不能是x＋y＋z=0这样的平面方程)，而只能是
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示“曲线”的方程，因此，“曲线的方程”这个概念反映的是图形所满足的数量关系．反过来，“方程的曲线”这一概念中，主要的词是“曲线”，曲线前面三个字“方程的”，用来限制“曲线”的含义，说明这类曲线只能是有“方程”的曲线(有的曲线没有方程，例如对于某一天气温变化曲线，通常列不出方程)，因此，“方程的曲线”这个概念反映的是数量关系所表示的图形．⑵“曲线”与“方程”是研究的同一对象(即点的轨迹)的两种表现形式，曲线是轨迹的几何形式，方程是轨迹的代数形式．它们在表现和研究轨迹的性质时，各有所长．几何形式具有直观、形象的优点，代数形式具有便于运算的特性因而具有操作程序化的长处．“曲线”与“方程”之间的实质是一一对应关系，即作为曲线C上的点集P={M|P(M)}和方程=0之间的一一对应关系，由曲线与方程的这一对应关系，既可以通过方程研究曲线的性质，又可以深刻认识方程的几何背景，具体解题时最好将二者结合起来，这就是所谓的“数形结合”．几何结论代数结论几何问题代数问题直角坐标系转化代数方程转化曲线与方程的联系，可通过下表理解得更加清楚：按某种规律运动(几何意义)点M曲线C坐标(x，y)方程(x，y)x、y的制约条件(代数意义)⑶“曲线和方程”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可，它是判断方程=0是不是曲线C的方程的依据．例如，方程y=x不能叫做到两坐标轴距离相等的轨迹的方程，到两坐标轴距离相等的轨迹(曲线)也不能叫做方程y=x的曲线．用集合观点解释“曲线和方程”的定义：设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x，y)|=0}，若M(x，y)有：①MP(x，y)Q，即PQ时；②(x，y)QMP，即QP时，当且仅当PQ且QP，即P=Q时，才称方程=0为曲线C的方程；曲线C为方程=0的曲线(图形)．2．建立坐标系所遵循的一般原则坐标系建立适当，可使运算过程简单，所得的方程也比较简单，否则会大大增加运算的繁难程度．在实际解题过程中，应充分利用图形的几何特性．如中心对称图形，可利用它的对称中心作为坐标原点；轴对称图形，可以利用它的对称轴作为坐标轴，使横、纵坐标互为相反数；条件中若有直角，可考虑两直角边作为坐标轴等等；原点取在某一定点，坐标轴选在某定直线段所在直线或图形的对称轴；设出各点的坐标，使用字母要尽可能的少．3．求曲线方程的步骤求曲线方程，一般有五个步骤，这五个步骤和列方程解应用题的步骤完全类似．⑴依据已知几何条件建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；⑵列出适合条件p的点M的集合P={M|P(M)}；(此步根据情况可以省略)⑶用坐标表示条件P(M)，列出方程=0；⑷化方程=0为最简形式；⑸
证明
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化简后的方程为所求曲线的方程，即验证以⑷中方程的解为坐标的点都在曲线上．简记为建系、列式、代换、化简、证明．这五步构成一个整体，每一步都有其特点和重要性．第一步在具体问题中有两种情况：⑴题设中给定坐标系；⑵题设中没有确定坐标系，必须选取适当的坐标系；第二步应仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意一点M有关的等量关系，列出几何等式；第三步在将几何条件转化为代数方程的过程中，常用到一些基本公式；第四步在化简过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“丢解”和“增根”；对第五步“证明”，从理论上讲是必要的，但实际处理上常被省略掉．如遇到特殊情况可适当予以说明，例如据审查，某些点虽然其坐标适合方程，但不在曲线上，那么可通过限制方程中x，y的取值范围予以剔除．求曲线方程时，一般步骤⑵和⑸可以省略．求曲线方程主要有以下四种方法⑴条件直译法：如果动点运动的规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单、明确、易于表达，就可以把这些关系直译成含“x、y”的等式，把此种方法称为“直译”．⑵代入法：有时动点所满足的几何条件不易求出，它随另一动点的运动而运动，称之为相关点．如果相关点满足的条件简单、明确，就可以用动点坐标把相关点的坐标表示出来，再用条件直译法把相关点的轨迹表示出来，就得到原动点的轨迹方程．⑶几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形，发现动点运动规律．⑷参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间的关系，如果借助中间参数，使x、y之间的关系建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这便可得到动点的轨迹方程．5．关于曲线的交点问题由曲线方程定义知，两条曲线交点的坐标即两个曲线方程组成的方程组的实数解，也就是说两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．如果曲线C，C的方程分别为=0，，点P的坐标为(x，y)，则P是C，C的交点．关于曲线的交点问题，通常有下列两种类型：一是判定两曲线是否存在交点；二是求解交点及和交点有关的问题，在解决这些问题时，除要用到方程组及相关知识外，有时还须综合运用各种曲线自身所具有的某些几何性质．特别提示1．求曲线的方程与求曲线的轨迹的区别求曲线的方程与求曲线的轨迹主要区别是，若是求曲线的轨迹则不仅要求出方程，而且还需要说明和讨论所求轨迹是什么的图形，在何处即图形的形状、位置、大小都需要说明、讨论清楚．2．求曲线方程时应注意的问题在求曲线方程时经常出现的问题是产生多解或漏解现象，为此，解题时应注意以下三点：①注意动点应满足的某些隐含条件；②注意方程变形是否同解；③注意图形可能的不同位置或字母系数取不同值时的讨论．3．求两条曲线交点的坐标，只需解两条曲线的方程组即可；要想得知两条曲线有无交点，或有几个交点，则只需判断方程组有无实数解，或有几个实数解；直线与二次曲线的交点，一般通过联立方程得到关于x或y的一元二次方程，通过其判别式来判断：当△＞0时，有两个交点，当△=0时，有一个交点，当△＜0时，无交点．4．在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上还要注意：⑴选择适当的坐标系，因为坐标系如果选择得恰当，可使解题过程简化，减少运算量；⑵要注意给出曲线图形的范围，要在限定范围的基础上求曲线方程．如果只求出曲线方程，而没有根据题目要求，确定出x、y的取值范围，最后求得的结论是不一定正确的．
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