黑龙江省哈尔滨师范大学青冈实验中学校2020学年高一数学4月月考试题 理

PAGE哈师大青冈实验中学2020学年度月份考试高一学年数学试题本试卷满分为150分，考试时间为120分钟第一卷（选择题60分）一．选择题：每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．1..eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))化简后等于(　　)A．3eq\o(AB,\s\up6(→))　　　　　　B.eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(BA,\s\up6(→))D.eq\o(CA,\s\up6(→))2.设点A(1,2),B(3,5)，将向量eq\o(AB,\s\up6(→))向上平移一个单位后又向右平移一个单位后得到eq\o(A′B′,\s\up6(→))为(　　)A．(1,2)B．(2,3)C．(3,4)D．(4,7)3．在△ABC中，若a＝4，b＝3，cosA＝eq\f(1,3)，则B＝(　　)A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(2π,3)4．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)A．6B．5C．4D．35.在△ABC中，，则三角形最小的内角是（）A．60°B．45°C．30°D．以上都不对6.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝eq\f(π,3)，则△ABC的面积为(　　)A.3B.eq\f(9\r(3),2)C.eq\f(3\r(3),2)D.3eq\r(3)7．已知A，B是圆心为C，半径为eq\r(5)的圆上两点，且|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝eq\r(5)，则eq\o(AC,\s\up15(→))·eq\o(CB,\s\up15(→))等于(　　)A．－eq\f(5,2)B.eq\f(5,2)C．0D.eq\f(5\r(3),2)8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(AD,\s\up15(→))＝2eq\o(DB,\s\up15(→))，eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up15(→))＋λeq\o(CB,\s\up15(→))，则λ＝(　　)A．－eq\f(1,3)B．－eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(2,3)9．在△ABC中，sin(A－B)＋sinC＝eq\f(3,2)，BC＝eq\r(3)AC，则∠B＝(　　)A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,6)或eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)10．已知向量eq\o(OA,\s\up15(→))＝(2,2)，eq\o(OB,\s\up15(→))＝(4,1)，在x轴上求一点P，使eq\o(AP,\s\up15(→))·eq\o(BP,\s\up15(→))有最小值，则点P的坐标为(　　)A．(3,0)B．(2,0)C．(-3,0)D．(4,0)11．已知△ABC，若对任意m∈R，|eq\o(BC,\s\up6(→))－meq\o(BA,\s\up6(→))|≥|eq\o(CA,\s\up6(→))|恒成立，则△ABC必定为(　　)A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不确定12．在平面直角坐标系中，若O为坐标原点，则A，B，C三点在同一直线上的等价条件为存在唯一的实数λ，使得eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))成立，此时称实数λ为“向量eq\o(OC,\s\up6(→))关于eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))的终点共线分解系数”．若已知P1(3，1)，P2(－1，3)，且向量eq\o(OP3,\s\up6(→))与向量a＝(1，1)垂直，则“向量eq\o(OP3,\s\up6(→))关于eq\o(OP1,\s\up6(→))和eq\o(OP2,\s\up6(→))的终点共线分解系数”为(　　)A．－3B．3C．1D．－1第二卷（非选择题共90分）二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.14．如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若eq\o(AD,\s\up15(→))＝xeq\o(AB,\s\up15(→))＋yeq\o(AC,\s\up15(→))，则x+y＝__________15.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别为a，b，c，A为锐角，lgb＋lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,c)))＝lgsinA＝－lgeq\r(2)，则△ABC形状为16.半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）17．（本小题满分10分）在△ABC中，BC＝eq\r(5)，AC＝3，sinC＝2sinA.(1)求AB的值；(2)求sinA的值．18.（本小题满分12分）已知|a|＝1，a·b＝eq\f(1,2)，(a－b)·(a＋b)＝eq\f(1,2)，求：(1)a与b的夹角；(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．19.已知：、、是同一平面内的三个向量，其中＝（1，2）⑴若||，且，求的坐标；⑵若||=且与垂直，求与的夹角θ.20.（本小题满分12分）如图4，在平面四边形中，,（1）求的值；（2）求的长21、（本小题满分12分）中，角、、所对应的边分别为、、，若.求角；（Ⅱ）设的最大值.22．（本小题满分12分）已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(C,2)，sin\f(C,2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(C,2)，－sin\f(C,2)))，且m与n的夹角为eq\f(π,3).(1)求角C的值；(2)已知c＝3，△ABC的面积S＝eq\f(4\r(3),3)，求a＋b的值．哈师大青冈实验中学2020学年度月份考试高一学年数学试题答案1----12BBADBCADCACD13.100eq\r(6)　14.1+eq\r(3)15.等腰直角三角形.16．－eq\f(1,2)17.解：(1)在△ABC中，根据正弦定理，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA).于是AB＝eq\f(sinC,sinA)BC＝2BC＝2eq\r(5).(2)在△ABC中，根据余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(2\r(5),5).于是sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(\r(5),5).18．解　(1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝1－|b|2＝eq\f(1,2)，∴|b|2＝eq\f(1,2)，∴|b|＝eq\f(\r(2),2)，设a与b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2),1×\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2).∴θ＝45°.(2)∵|a|＝1，|b|＝eq\f(\r(2),2)，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).∴|a－b|＝eq\f(\r(2),2)，又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋2×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).∴|a＋b|＝eq\f(\r(10),2)，设a－b与a＋b的夹角为α，则cosα＝eq\f(a－b·a＋b,|a－b|·|a＋b|)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(2),2)×\f(\r(10),2))＝eq\f(\r(5),5).即a－b与a＋b的夹角的余弦值为eq\f(\r(5),5).19．解：⑴设由∴　或∴⑵……（※）代入（※）中,20.【解析】如图，设(1)在中，由余弦定理，得于是由题设知，解得(舍去)在中，由正弦定理，得于是，(2)由题设知，，于是由（1）知，而,所以在中，，所以.21、解：(1)由，得，即，由余弦定理，得，∴；（II）=2sinB+cos2B.=2sinB+1－2sin2B=－2sin2B+2sinB+1，B∈（0，）令t=sinB，则t∈.则=－2t2+2t+1=－2(t－)2+,t∈.∴t=时，取得最大值22.解：(1)∵m·n＝|m||n|coseq\f(π,3)，|m|＝|n|＝1.∴coseq\f(C,2)·coseq\f(C,2)＋sineq\f(C,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－sin\f(C,2)))＝coseq\f(π,3)，即cosC＝coseq\f(π,3)，又∵C∈(0，π)，∴C＝eq\f(π,3).(2)由c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2－ab＝9.①由S△ABC＝eq\f(1,2)absinC，得ab＝eq\f(16,3).②由①②得，(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝9＋3ab＝25.∵a，b∈R＋，∴a＋b＝5.