辽宁省普兰店市第一中学2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）

PAGE2020学年度上学期期中考试高三数学（理科）第Ⅰ卷（选择 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个正确答案）1.已知集合，，则下图中阴影部分所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的集合为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】求解二次不等式可得：，则，由Venn图可知图中阴影部分为：.本题选择D选项.2.在等差数列中，前项和满足，则（）A.7B.9C.14D.18【答案】B【解析】，所以，选B.3.若扇形的面积，半径为，则扇形的圆心角为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】根据扇形的面积公式求出扇形的弧长，然后可求出扇形的圆心角．【详解】设扇形的弧长为，半径为，则．由题意得，∴，∴该扇形的圆心角．故选B．【点睛】本题考查扇形面积、弧长的有关运算，解题时注意公式中各量间的关系，并能对公式作出适当的变形，属于基础题．4.（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，故选：A5.已知，，，则实数的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】.所以.故选B.点睛：比较大小的一般方法有：作差，作商，利用函数单调性，借助中间量比较大小.6.已知向量，，则向量的夹角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出向量，再根据向量的数量积求出夹角的余弦值．【详解】∵，∴．设向量的夹角为，则．故选C．【点睛】本题考查向量的线性运算和向量夹角的求法，解题的关键是求出向量的坐标，然后根据数量积的定义求解，注意计算的准确性，属于基础题．7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（）A.96里B.48里C.192里D.24里【答案】B【解析】记每天走的路程里数为，易知是公比的等比数列，由题意知，故选A.8.下列命题错误的是A.命题“若则”与命题“若，则”互为逆否命题B.命题“R,”的否定是“,”C.且，都有D.“若，则”的逆命题为真【答案】D【解析】【分析】对给出的四个选项分别进行判断可得结果．【详解】对于选项A，由逆否命题的定义可得，命题“若则”的逆否命题为“若，则”，所以A正确．对于选项B，由含量词的命题的否定可得，命题“R,”的否定是“,”，所以B正确．对于选项C，当且时，由基本不等式可得．所以C正确．对于选项D，命题“若，则”当时不成立，所以D不正确．故选D．【点睛】由于类似问题考查的内容较多，解题的关键是根据每个命题对应的知识解决，要求对相关知识要有一个整体性的掌握，本题考查综合运用知识解决问题的能力．9.函数的极值点所在的区间为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出导函数，然后运用函数零点存在性定理进行验证可得所求区间．【详解】∵，∴，且函数单调递增．又，∴函数在区间内存在唯一的零点，即函数的极值点在区间内．故选A．【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用，解答本题时要弄清函数的极值点即为导函数的零点，同时还应注意只有在导函数零点左右两侧的函数值变号时，该零点才为极值点，否则导函数的零点就不是极值点．10.已知，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可得：，则：.本题选择C选项.11.已知的三个内角所对的边长分别是，且，若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则的解析式为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由，利用正弦定理得：，整理得：，利用余弦定理：，则，，将图象向右平移个单位长度单位，得到，故选D.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形图象的平移变换，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.12.符号表示不超过的最大整数，如，定义函数．给出下列四个结论：①函数的定义域是R，值域为[0,1]；②方程有无数个解;③函数是增函数．其中正确结论的序号有（）A.①③B.③C.②D.②③【答案】C【解析】若，则，不符合题意，故①错误.由于，故函数不是增函数，③错误.，故选.【点睛】本题主要考查新定义函数性质的判断.是一个常见的新定义的形式，按照新定义，符号表示不超过的最大整数，由此可以得到函数的性质.又定义函数，当时，表示的小数部分.由于①③是错误的，利用排除法，可以选出选项.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.在△ABC中，，，且，则△ABC的面积为_______．【答案】【解析】【分析】由得到，然后根据三角形的面积公式可得所求．【详解】∵，∴，且为锐角．又，∴．∴．故答案为．【点睛】本题考查三角形面积的计算，解题时需要分清需要的条件，然后逐步求解即可，考查分析和计算能力．14.曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是__________.【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与两坐标轴的交点，最后可得所求三角形的面积．【详解】∵，∴，∴．∴所求切线方程为，即．令得；令得．∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积是．故答案为．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查计算能力和转化能力，属于简单题．15.已知向量，满足，，，则__________．【答案】【解析】【分析】由可得，然后根据数量积的运算律可得．【详解】∵，∴．又，，∴．∴，∴．故答案为．【点睛】解答本题时注意这一结论的运用，同时还应注意要进行合理的变形，考查计算能力，属于基础题．16.已知数列满足，则的最小值为_____．【答案】【解析】【分析】根据累加法求出数列的通项公式，然后得到的表达式，再根据表达式的特征求出最小值即可．【详解】∵，∴．∴，又满足上式，∴．∴．结合函数的单调性可得：当时，单调递减；当时，单调递增．又，∴的最小值为．故答案为．【点睛】解答本题时注意两点：（1）用累加法求数列的通项公式时，需注意是否要验证第一项的值是否满足通项公式，若满足，则写成一个式子的形式；若不满足，则需把通项公式写成分段函数的形式．（2）用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，若不满足等号成立的条件，则要利用函数的单调性求解．三、解答题（本大题共6小题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知是等比数列，，是等差数列，，（1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）分别求出等差数列和等比数列的公差和公比，然后可得两数列的通项公式；（2）由（1）得到数列的通项公式，再根据分组求和法求解即可得到结果．【详解】（1）设等比的公比为，由，得，解得，所以；设等差的公差为，由，得，解得，所以．（2）由（1）得．所以．所以数列的前项和．【点睛】（1）对于等差数列和等比数列的运算问题，可转化为其基本量即首项和公差（公比）来求解．（2）求数列的和时，需要根据通项公式的特征选择相应的求解方法，对于形如（、分别为等差、等比数列）的数列来讲，则采用分组求和法求解，借助等差（比）数列的求和公式可得结果．18.已知（1）求的最大值，以及该函数取最大值时的取值集合；（2）在△ABC中，分别是A,B,C所对的边长，且，求sinC。【答案】（1）的最大值为2，该函数取最大值时的取值集合为；（2）。【解析】【分析】（1）把函数化为，由此可得函数的最大值为2，且此时，求出后可得所求集合；（2）由得到，根据余弦定理得，再根据正弦定理得到．【详解】（1）由题意得，∴，当时等号成立，此时，解得．∴的最大值为2，该函数取最大值时的取值集合为．（2）由题意得，∴，∴，∴．∵,∴A为锐角，∴．由余弦定理可得，即，整理得，解得．由正弦定理得，∴．【点睛】（1）解决函数的有关问题时，要把看作一个整体，然后结合正弦函数的相关性质求解，解题时注意的符号对结果的影响．（2）利用余弦定理解题时，一种情形是直接得到所求的边，另一种情形是根据余弦定理得到以边为未知数的方程，解方程可得该边的取值，但解方程时要注意根的取舍．19.已知，若在x=1时有极值-1（1）求b,c(2)求的单调区间【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）求导函数，利用在时有极值，由建立方程，即可求的值；（2）求出，得增区间，得减区间.试题解析：（1），所以（2）所以20.已知数列{an}的前n项的和为Sn，且Sn=2n+n﹣1，其中n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足bn=2n（an﹣1），求数列{bn}的前n项和Tn．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用与间的关系求解可得通项公式；（2）由题意得，然后根据错位相减法求出Tn．【详解】（1）当n≥2时，，又当n=1时，，满足上式．∴数列的通项公式为．（2）由题可知，∴①，∴②，①②得：，∴．【点睛】（1）数列的通项an与前n项和Sn的关系是．当n＝1时，a1若适合，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示．（2）用错位相减法求数列的和时，由于涉及到复杂的运算，所以解题时要注意计算的合理性和准确性．21.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为，、b、c且满足.（1）求角的大小；（2）若边长，求△ABC面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由及正弦定理并结合三角变换可得，故得；（2）由余弦定理得，故得，所以，故得最大值．【详解】（1）由及正弦定理得，，即，整理得，∵，∴，∴，又，∴．（2）在△ABC中，由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立，∴．∴．∴△ABC面积的最大值为．【点睛】三角形的面积公式和余弦定理经常结合在一起考查，解题时注意公式的变形及整体代换的作用，如．应用基本不等式时要注意等号成立的条件是否满足．22.已知函数.（1）当时，求在区间上的最值；（2）讨论函数的单调性；（3）当时，有恒成立，求的取值范围.【答案】（1），；（2）见解析；（3）。【解析】【分析】（1）求出函数在区间上的极值和端点值，比较后可得最值；（2）根据的不同取值进行分类讨论，得到导函数的符号后可得函数的单调性；（3）当时，求出函数的最小值为，故问题转化为当时恒成立，整理得到关于的不等式，解不等式可得所求范围．【详解】（1）当时，，∴．∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴当时，函数取得极小值，也为最小值，且最小值为．又，，∴．所以函数在区间上的最小值为，最大值为．（2）由题意得，．①当，即时，恒成立，∴在上单调递减．②当时，恒成立，∴在上单调递增．③当时，，由得，或（舍去），∴在上单调递减，在上单调递增．综上可得，当，在上单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递减．（3）由（2）可得，当时，，若不等式恒成立，则只需，即，整理得，解得，∴，又，∴．∴实数的取值范围为．【点睛】（1）涉及含参数的单调性或单调区间的问题，一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．（2）解决关于恒成立问题时，一般转化为求函数最值的问题处理．对于含有多个变量的恒成立问题，则可采取逐步消去变量的方法求解，此时需要分清谁是主变量谁是次变量，一般情况下，知道谁的范围谁就是主变量，求谁的范围谁就是参数．