辽宁省沈阳市2020届高三数学教学质量监测试题（一）理（含解析）

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（一）理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则如图所示阴影区域表示的集合为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析】先求出，阴影区域表示的集合为，由此能求出结果．【详解】全集3，5，，集合，，3，，如图所示阴影区域表示的集合为：．故选：B．【点睛】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是中等题．2.在复平面内，复数对应的点位于（）.A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，复数对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.设函数，则（）.A.-1B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】函数，，故．故选：A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.设命题..则（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题，即可直接写出结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题.的否定为：，.故选C【点睛】本题主要考查含有一个量词的命题的否定，只需改写量词和结论即可，属于基础题型.5.在等比数列中，，，则（）.A.4B.-4C.±4D.5【答案】A【解析】【分析】直接由等比数列的性质结合已知即可求得．【详解】数列为等比数列，且，，，则，等比数列中间隔两项的符号相同，．故选：A．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6.函数的图象大致为（）.A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先由函数解析式，判断函数奇偶性，排除A,B；再由特殊值验证，排除D，进而可得出结果.【详解】因为，所以，因此为偶函数，所以排除选项A,B，又，所以排除D.故选C【点睛】本题主要考查函数图像的识别，一般先考虑函数奇偶性，再特殊值验证，属于常考题型.7.某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”、“e”、“k”三个字母组成并且“k”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为　　A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用列举法求出满足题意的字母组合有四种，拼写正确的组合只有一种，由此即可确定所求概率．【详解】满足题意的字母组合有四种，分别是eka，ake，eak，aek，拼写正确的组合只有一种eak，所以概率为．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．8.若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）.A.B.C.或D.【答案】A【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线，然后结合点到直线距离公式和离心率的定义求解双曲线的离心率即可.【详解】由已知，双曲线的渐进线方程为，又点到渐近线的距离为，，即，又，故，整理可得：，，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中等题．9.设函数，则下列结论正确的是（）.A.函数的递减区间为B.函数的图象可由的图象向左平移得到；C.函数的图象的一条对称轴方程为；D.若，则的取值范围是【答案】D【解析】【分析】根据正弦型函数的解析式，分别考查函数的单调区间、函数的平移变换、函数的对称轴和函数的值域，然后看所给的选项是否正确，从而得出结论．【详解】对于函数，令，解得，所以函数的递减区间为，故选项A错误；由于，所以函数的图象是由的图象向右平移得到的，故选项B错误；令，解得所以函数的图象的对称轴方程为，故选项C错误；由于，所以，当时，，当时，，的取值范围是，故选项D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点、距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点、的距离为3，动点满足，则点的轨迹围成区域的面积为（）.A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，首先确定圆的方程，然后确定其面积即可.【详解】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则设，依题意有，，化简整理得，，即，则圆的面积为．故选：D．【点睛】本题考查轨迹方程求解、圆的面积的求解等知识，属于中等题．11.如图，四棱锥的底面为矩形，矩形的四个顶点，，，在球的同一个大圆上，且球的表面积为，点在球面上，则四棱锥体积的最大值为（）A.8B.C.16D.【答案】D【解析】【分析】首先求得球的半径，然后分别确定底面积的最大值和高的最大值来求解体积的最大值即可.【详解】因为球O的表面积是，所以，解得．如图，四棱锥底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，设矩形的长宽为x，y，则，当且仅当时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时点P在球面上，当底面ABCD时，，即，则四棱锥体积的最大值为．故选：D．【点睛】本题考查四棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将不等式进行恒等变形，则原问题转化为函数单调性的问题，据此求解a的取值范围即可．【详解】，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，因为时，，所以只需在上递减，即，恒成立，即时，恒成立，，所以，故选：A．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．二、填空题.把答案填在答题卡上.13.已知向量，，且与垂直，则的值为______.【答案】【解析】【分析】根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．【详解】；；．故答案为：．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．14.已知等差数列前项和为，若，，，则_______.【答案】1010【解析】【分析】由题意首先求得数列的公差，然后结合通项公式确定m的值即可.【详解】根据题意，设等差数列公差为d，则，又由，，则，，则，解可得；故答案为：1010．【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于中等题．15.抛物线上一点到其焦点的距离为，则点到坐标原点的距离为______.【答案】【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，据此确定M纵坐标，最后由两点之间距离公式求解点M到坐标原点的距离即可.【详解】由题意知，焦点坐标为，准线方程为，由到焦点距离等于到准线距离，得，则，，可得，故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．16.在正方体中，下面结论中正确的是________.（写出所有正确命题的序号）.①平面：②平面：③异面直线与成60°角；④与底面所成角的正切值是.【答案】【解析】【分析】由线面平行的判定定理可知①正确；由线面垂直的判定定理可知②正确，平移直线可求得③中异面直线所称的角，由几何关系可确定与底面ABCD所成角的正切值.【详解】逐一考查所给的命题：在中，，平面，平面，平面，故正确；在中，平面，，又，平面，，同理，平面，故正确；在中，，为等边三角形，则异面直线AC与成角，故正确；在中，为与平面ABCD所成的角，，故错误．故答案：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题：解答应写出文字说明， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或演算步骤，解答过程书写在答题卡的对应位置.17.在中，角，，的对边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，试判断的形状并给出证明.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)由题意结合余弦定理求解角A的大小即可；(2)结合两角和差正余弦公式和(1)中的结论确定ABC的形状即可.【详解】根据题意，由可知，根据余弦定理可知，，又角A为的内角，所以；为等边三角形由三角形内角和公式得，，故根据已知条件，可得，整理得所以，又，所以，又由知，所以为等边三角形【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形内角和公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦定理等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.为调查某款订餐软件的商家的服务情况，统计了10次订餐“送达时间”，得到茎叶图如下：（时间：分钟）（1）请计算“送达时间”的平均数与方差：（2）根据茎叶图填写下表：送达时间35分组以内（包括35分钟）超过35分钟频数AB频率CD在答题卡上写出，，，的值；（3）在（2）的情况下，以频率代替概率.现有3个客户应用此软件订餐，求出在35分钟以内（包括35分钟）收到餐品的人数的分布列，并求出数学期望.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】(1)由题意结合茎叶图计算均值和方差即可；(2)由茎叶图确定A，B，C，D的值即可；(3)由题意结合二项分布的概率公式和期望公式求解分布列和期望即可.【详解】“送达时间”的平均数：分钟，方差为：.由茎叶图得：，，，由已知人数X的可能取值为：0，1，2，3，，，，X0123PX服从二项分布，．【点睛】本题主要考查茎叶图及其应用，二项分布的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图,矩形和梯形所在平面互相垂直，，,,，，.（1）求证：//平面；（2）当的长为何值时，二面角的大小为.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，由平面向量的法向量证明线面平行即可；(2)分别求得半平面的法向量，由二面角的余弦值公式得到关于AB长度的方程，解方程即可确定AB的长.【详解】面面BEFC，面ABCD，且，面BEFC．以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系．设，则0，，，0，，，4，，0，，，，，所以，，又所以平面CDF．即为平面CDF的法向量又，，又平面CDF所以平面设与平面AEF垂直，则，，由，得，解得又因为平面BEFC，，所以，得到．所以当时，二面角的大小为【点睛】本题主要考查空间向量证明线面平行的方法，空间向量处理二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.（1）求椭圆的方程；（2）点为椭圆上一动点，连接，.设的角平分线交椭圆的长轴于点，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由题意分别确定a,b的值求解椭圆方程即可；(2)利用角平分线到两边距离相等，结合椭圆方程分类讨论求解实数m的取值范围即可.【详解】1由于，将代入椭圆方程，得，由题意知，即．又，，．故椭圆C的方程为；2设，当时，当时，直线的斜率不存在，易知或．若，则直线的方程为．由题意得，，．若，同理可得．当时，设直线，的方程分别为，由题意知，，，且，，即．，且，．整理得，，故且．综合可得．当时，同理可得．综上所述，m的取值范围是．【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆中角平分线的处理方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知函数，.（1）当时，求函数图象在点处的切线方程：（2）若函数有两个极值点高，，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)首先由导函数确定切线的斜率，然后求解切线方程即可；(2)由题意结合韦达定理将原问题转化为一元函数的问题，然后利用导函数求解其取值范围即可.【详解】当时，，其导数，所以，即切线斜率为2，又切点为，所以切线的方程为函数的定义域为，，因为，为函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等实根，由根与系数的关系知，又已知，所以，，将式代入得，令，，，令，解得，当时，，在递减；当时，，在递增；所以，，，即的取值范围是【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的直角坐标方程：（2）动点，分别在曲线，上运动，求，间的最短距离.【答案】（1）．（2）.【解析】【分析】(1)将极坐标方程化为直角坐标方程即可；(2)首先设出点的参数方程形式坐标，然后结合点到直线距离公式和三角函数的性质求解最值即可.【详解】由，可得：化为．由已知得曲线的普通方程：，点Q为曲线上动点，令点，．设点Q到曲线的距离为d，所以，其中，即两点P，Q之间的最短距离为．【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23.选修4-5：不等式选讲设，且，记的最小值为.（1）求的值，并写出此时，的值；（2）解关于的不等式：.【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】(1)由题意结合均值不等式的结论求解M的值和满足题意时的a,b值即可；(2)结合(1)的结果分类讨论求解绝对值不等式即可.【详解】因为，所以，根据均值不等式有，当且仅当，即时取等号，所以M的值为当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；综上所述原不等式解集为．【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．