2020年高考数学试题分类汇编 解析几何

PAGE解析几何安徽理（2）双曲线的实轴长是（A）2(B)(C)4(D)4C【命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 意图】本题考查双曲线的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】可变形为，则，，.故选C.(5)在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为[来源:学#科#网]（A）2(B)(C)（D)(5)D【命题意图】本题考查极坐标的知识及极坐标与直角坐标的相互转化，考查两点间距离.【解析】极坐标化为直角坐标为，即.圆的极坐标方程可化为，化为直角坐标方程为，即，所以圆心坐标为（1,0），则由两点间距离公式.故选D.（15）在平面直角坐标系中，如果与都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：与都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线（15)①③④⑤【命题意图】本题考查直线方程，考查逻辑推理能力.难度较大.【解析】令满足①，故①正确；若，过整点（－1,0），所以②错误；设是过原点的直线，若此直线过两个整点，则有，，两式相减得，则点也在直线上，通过这种方法可以得到直线经过无穷多个整点，通过上下平移得对于也成立，所以③正确；④正确；直线恰过一个整点，⑤正确.（21）（本小题满分13分）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程。（21）（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学素养.解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设①再设解得②，将①式代入②式，消去，得③，又点B在抛物线上，所以，再将③式代入，得故所求点P的轨迹方程为安徽文(3)双曲线的实轴长是（A）2(B)(C)4(D)4（3）C【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】可变形为，则，，.故选C.(4)若直线过圆的圆心,则a的值为（A）1(B)1(C)3(D)3（4）B【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，属容易题.【解析】圆的方程可变形为，所以圆心为（－1,2），代入直线得.（17）（本小题满分13分）设直线（I）证明与相交；（II）证明与的交点在椭圆（17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力.证明：（I）反证法，假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得此与k1为实数的事实相矛盾.从而相交.（II）（方法一）由方程组，解得交点P的坐标为，而此即表明交点（方法二）交点P的坐标满足，，整理后，得所以交点P在椭圆北京理3.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是A.B.C.D.【解析】：，圆心直角坐标为（0,-1），极坐标为，选B。8.设A（0，0），B（4，0），C（，4），D（t，4）（），记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整数点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N（t）的值域为CA．{9，10，11}B．{9，10，12}C．{9，11，12}D．{10，11，12}14.曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则的面积不大于.其中，所有正确结论的序号是____________.②③19.已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（2）将表示为m的函数，并求的最大值。（19）解：（Ⅰ）由已知得所以所以椭圆G的焦点坐标为，离心率为（Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=－1时，同理可得当时，设切线l的方程为由；设A、B两点的坐标分别为，则；又由l与圆所以由于当时，因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.北京文8．已知点A（0,2），B（2,0）．若点C在函数y=x的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为AA．4B．3C．2D．119．（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为I的直线与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.（I）求椭圆G的方程；（II）求的面积.（19）解：（Ⅰ）由已知得解得，又所以椭圆G的方程为（Ⅱ）设直线l的方程为由得设A、B的坐标分别为AB中点为E，则；因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。此时方程①为解得所以所以|AB|=.此时，点P（—3，2）到直线AB：的距离所以△PAB的面积S=福建理7．设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满足=4:3:2，则曲线r的离心率等于A．B．或2C．2D．17．（本小题满分13分）已知直线l：y=x+m，m∈R。（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（II）若直线l关于x轴对称的直线为，问直线与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。17．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想。满分13分。解法一：（I）依题意，点P的坐标为（0，m）因为，所以，解得m=2，即点P的坐标为（0，2）从而圆的半径故所求圆的方程为（II）因为直线的方程为所以直线的方程为由,（1）当时，直线与抛物线C相切（2）当，那时，直线与抛物线C不相切。综上，当m=1时，直线与抛物线C相切；当时，直线与抛物线C不相切。解法二：（I）设所求圆的半径为r，则圆的方程可设为依题意，所求圆与直线相切于点P（0，m），则解得所以所求圆的方程为（II）同解法一。21.（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为．（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；（II）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．（2）选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想。满分7分。解：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，所以点P在直线上，（II）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，从而点Q到直线的距离为，由此得，当时，d取得最小值，且最小值为福建文11．设圆锥曲线的两个焦点分别为F1、F2，若曲线上存在点P满足|PF1|：|F1F2|：|PF2|＝4：3：2，则曲线的离心率等于AA.EQ\f(1,2)或EQ\f(3,2)B．EQ\f(2,3)或2C．EQ\f(1,2)或2D．EQ\f(2,3)或EQ\f(3,2)18.（本小题满分12分）如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A。（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。18．本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，满分12分。解：（I）由，（*）因为直线与抛物线C相切，所以解得b=-1。（II）由（I）可知，解得x=2，代入故点A（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，即所以圆A的方程为广东理14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为19.（本小题满分14分）设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.（1）求C的圆心轨迹L的方程.（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.19．（1）解：设C的圆心的坐标为，由题设条件知化简得L的方程为（2）解：过M，F的直线方程为，将其代入L的方程得解得因T1在线段MF外，T2在线段MF内，故，若P不在直线MF上，在中有故只在T1点取得最大值2。（2）设是定点，其中满足.过作的两条切线，切点分别为，与分别交于.线段上异于两端点的点集记为.证明：；21．解：（１），直线AB的方程为，即，，方程的判别式，两根或，，，又，，得，．（２）由知点在抛物线L的下方，①当时，作图可知，若，则，得；若，显然有点；．②当时，点在第二象限，作图可知，若，则，且；若，显然有点；．根据曲线的对称性可知，当时，，综上所述，（*）；由（１）知点M在直线EF上，方程的两根或，同理点M在直线上，方程的两根或，若，则不比、、小，，又，；又由（１）知，；，综合（*）式，得证．（３）联立，得交点，可知，过点作抛物线L的切线，设切点为，则，得，解得，又，即，，设，，，又，；，，．广东文8．设圆C与圆x2+（y-3）2=1外切，与直线y=0相切，则C的圆心轨迹为A．抛物线B．双曲线C．椭圆D．圆D21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，直线交轴于点A，设是上一点，M是线段OP的垂直平分线上一点，且满足∠MPO=∠AOP（1）当点P在上运动时，求点M的轨迹E的方程；（2）已知T（1，-1），设H是E上动点,求+的最小值，并给出此时点H的坐标；（3）过点T（1，-1）且不平行与y轴的直线l1与轨迹E有且只有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围。21．（本小题满分14分）解：（1）如图1，设MQ为线段OP的垂直平分线，交OP于点Q，因此即①另一种情况，见图2（即点M和A位于直线OP的同侧）。MQ为线段OP的垂直平分线，又因此M在轴上，此时，记M的坐标为为 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 的变化范围，设为上任意点由（即）得，故的轨迹方程为②综合①和②得，点M轨迹E的方程为（2）由（1）知，轨迹E的方程由下面E1和E2两部分组成（见图3）：；当时，过Ｔ作垂直于的直线，垂足为，交E1于。再过H作垂直于的直线，交因此，（抛物线的性质）。（该等号仅当重合（或H与D重合）时取得）。当时，则综合可得，|HO|+|HT|的最小值为3，且此时点H的坐标为（3）由图3知，直线的斜率不可能为零。设故的方程得：因判别式所以与E中的E1有且仅有两个不同的交点。又由E2和的方程可知，若与E2有交点，则此交点的坐标为有唯一交点，从而表三个不同的交点。因此，直线的取值范围是湖北理4.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为，则A.B.C.D.xyOFABCD【答案】C解析：根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为和，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形的个数记为，，所以选C.xy(y/)C/Ox/•P/14.如图，直角坐标系所在的平面为，直角坐标系（其中轴与轴重合）所在的平面为，.（Ⅰ）已知平面内有一点，则点在平面内的射影的坐标为；（Ⅱ）已知平面内的曲线的方程是，则曲线在平面内的xy(y/)C/Ox/•P/PH射影的方程是.【答案】,解析：（Ⅰ）设点在平面内的射影的坐标为，则点的纵坐标和纵坐标相同，所以，过点作，垂足为，连结，则，横坐标，所以点在平面内的射影的坐标为；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，所以代入曲线的方程，得，所以射影的方程填.20.（本小题满分14分）平面内与两定点，连续的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上、两点所成的曲线可以是圆、椭圆成双曲线.（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值得关系；（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，设、是的两个焦点。试问：在撒谎个，是否存在点，使得△的面积。若存在，求的值；若不存在，请说明理由。20．本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等基础知识，同时考查推理运算的能力，以及分类与整合和数形结合的思想。（满分14分）解：（I）设动点为M，其坐标为，当时，由条件可得即，又的坐标满足故依题意，曲线C的方程为当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为，C是圆心在原点的圆；当时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；当时，曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线。（II）由（I）知，当m=-1时，C1的方程为当时，C2的两个焦点分别为对于给定的，C1上存在点使得的充要条件是②①由①得由②得当或时，存在点N，使S=|m|a2；当或时，不存在满足条件的点N，当时，由，可得令，则由，从而，于是由，可得综上可得：当时，在C1上，存在点N，使得当时，在C1上，存在点N，使得当时，在C1上，不存在满足条件的点N。湖北文4．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为，则CA．B．C．D．14．过点（—1,—2）的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的斜率为__________。1或湖南理9.在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（为参数）在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为。答案：2解析：曲线，，由圆心到直线的距离，故与的交点个数为2.(本小题满分13分）如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长。（Ⅰ）求，的方程；（Ⅱ）设与轴的交点为M，过坐标原点O的直线与相交于点A,B,直线MA,MB分别与相交与D,E.（i）证明：；(ii)记△MAB,△MDE的面积分别是.问：是否存在直线,使得=?请说明理由。解析：（I）由题意知，从而，又，解得。故的方程分别为。（II）（i）由题意知，直线的斜率存在，设为，则直线的方程为.由得，设，则是上述方程的两个实根，于是。又点的坐标为，所以故，即。（ii）设直线的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点的坐标为,又直线的斜率为，同理可得点B的坐标为.于是由得，解得或，则点的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点的坐标为于是因此由题意知，解得或。又由点的坐标可知，，所以故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和。湖南文6．设双曲线的渐近线方程为则的值为（）A．4B．3C．2D．1答案：C解析：由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。9．在直角坐标系中，曲线的参数方程为．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为则与的交点个数为．答案：2解析：曲线，曲线，联立方程消得，易得，故有2个交点。15．已知圆直线（1）圆的圆心到直线的距离为．(2)圆上任意一点到直线的距离小于2的概率为．答案：5，解析：（1）由点到直线的距离公式可得；（2）由（1）可知圆心到直线的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，即与圆相交所得劣弧上，由半径为，圆心到直线的距离为3可知劣弧所对圆心角为，故所求概率为.21．已知平面内一动点到点F（1，0）的距离与点到轴的距离的等等于1．（I）求动点的轨迹的方程；（II）过点作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与轨迹相交于点，与轨迹相交于点，求的最小值．解析：（I）设动点的坐标为，由题意为化简得当、所以动点P的轨迹C的方程为（II）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为．由，得设则是上述方程的两个实根，于是．因为，所以的斜率为．设则同理可得：故当且仅当即时，取最小值16．江苏14.设集合,,若则实数m的取值范围是________.答案：.解析：当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B是在两条平行线之间，（2，0）在直线的上方，又因为此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有当时,只要,.当时,只要,当时,一定符合又因为,.本题主要考查集合概念,子集及其集合运算、线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点到直线的距离,圆的方程,直线与圆的位置关系、含参分类讨论、解不等式，及其综合能力.本题属难题.NMPAxyBC18.（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.（1）当直线PA平分线段MN时，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB.答案：（1）由题意知M(-2,0),N(0,),M、N的中点坐标为(-1,),直线PA平分线段MN时，即直线PA经过M、N的中点,又直线PA经过原点,所以.（2）直线,由得，，AC方程：即：所以点P到直线AB的距离（3）法一：由题意设，A、C、B三点共线，又因为点P、B在椭圆上，，两式相减得：.法二：设,A、C、B三点共线，又因为点A、B在椭圆上,,两式相减得：,,法三：由得，直线代入得到，解得，解析：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质，直线的斜率及其方程，点到直线距离公式、直线的垂直关系的判断.另外还考查了解方程组，共线问题、点在曲线上,字母运算的运算求解能力,考查推理论证能力.(1)(2)是容易题；（3）是考察学生灵活运用、数学综合能力是难题.C．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，求过椭圆（为参数）的右焦点，且与直线（为参数）平行的直线的普通方程．C．选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查椭圆与直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力，满分10分。解：由题设知，椭圆的长半轴长，短半轴长，从而，所以右焦点为（4，0），将已知直线的参数方程化为普通方程：故所求直线的斜率为，因此其方程为江西理9.若曲线：与曲线：有4个不同的交点，则实数的取值范围是A.B.C.D.【答案】B【解析】曲线：，图像为圆心为（1,0），半径为1的圆；曲线：，或者，直线恒过定点，即曲线图像为轴与恒过定点的两条直线。作图分析：Oxy1，，又直线（或直线）、轴与圆共有四个不同的交点，结合图形可知MN10.如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是ABCD【答案】A【解析】由运动过程可知，小圆圆心始终在以原点为圆心M0.5为半径的圆上运动。当小圆运动到两圆相切于OAP点时，则小圆与大圆的切点P转过的弧长PA长度F等于弧PM，过小圆圆心B作MP垂线BF，BB设转动角度为∠AOP=β，则大圆弧长PA=1×β，PN小圆弧长PM=0.5×∠MBP，所以∠MBP=2β，则∠MBF=β，则∠MBF=∠FBP=∠POA，所以BF∥OA，则MP平行y轴。又∠PMB=∠BNO，所以ON∥MP，所以ON∥y轴，则N点在y轴上，又BF为△PMO中位线，∴BF∥OM，则OM∥OA，所以M点在x轴上。故最终运动轨迹如A图所示。14.若椭圆的焦点在轴上，过点作圆的切线，切点分别为，，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是.【答案】【解析】作图可知一个切点为（1,0），所以椭圆.分析可知直线为圆与以为圆心，为半径的圆的公共弦.由与相减得直线方程为：.令，解得，∴，又，∴，故所求椭圆方程为：15（1）.（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为.【答案】【解析】对方程左右两边同时乘以得，将，，代入得方程为：20.（本小题满分13分）是双曲线：上一点，，分别是双曲线的左、右顶点，直线，的斜率之积为.（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于、两点，为坐标原点，为双曲线上一点，满足，求的值.【解析】（1）点是双曲线：上，有，由题意又有，可得，则（2）联立，得，设，则，设，，即又为双曲线上一点，即，有化简得：又，在双曲线上，所以，由（1）式又有得：，解出，或江西文10．如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系X轴上方，其“底端”落在源点O处，一顶点及中心M在Y轴的正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成今使“凸轮”沿X轴正向滚动有进，在滚动过程中，“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为答案：A根据中心M的位置，可以知道中心并非是出于最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M的位置会先变高，当C到底时，M最高，排除CD选项，而对于最高点，当M最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B,选A。若双曲线的离心率e=2，则m=____.答案：48.解析：根据双曲线方程：知，，并在双曲线中有：，离心率e==2=,m=4819.(本小题满分12分）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且．（1）求该抛物线的方程；（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．解析：（1）直线AB的方程是所以：，由抛物线定义得：，所以p=4，抛物线方程为：、由p=4，化简得，从而,从而A:(1,),B(4,)设=，又，即8（4），即，解得辽宁理3．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，，则线段AB的中点到y轴的距离为CA．B．1C．D．13．已知点（2，3）在双曲线C：上，C的焦距为4，则它的离心率为．220．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D．（I）设，求与的比值；（II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由．20．解：（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设设直线，分别与C1，C2的方程联立，求得………………4分当表示A，B的纵坐标，可知………………6分（II）t=0时的l不符合题意.时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即解得因为所以当时，不存在直线l，使得BO//AN；当时，存在直线l使得BO//AN.………………12分23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．23．解：（I）C1是圆，C2是椭圆.当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.（II）C1，C2的普通方程分别为当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，四边形A1A2B2B1为梯形.故四边形A1A2B2B1的面积为…………10分辽宁文13．已知圆C经过A（5，1），B（1，3）两点，圆心在x轴上，则C的方程为___________．全国Ⅰ理（7）设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，L与C交于A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为B（A）（B）（C）2（D）3（9）曲线，直线及轴所围成的图形的面积为C（A）（B）4（C）（D）6（14）在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线L交C于两点，且的周长为16，那么的方程为。（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上，M点满足，，M点的轨迹为曲线C。（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。(20）解：(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以=（-x,-1-y）,=(0,-3-y),=(x,-2).再由题意可知（+）• =0,即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.所以曲线C的方程式为y=x-2.(Ⅱ)设P(x,y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x,所以的斜率为x因此直线的方程为，即。则O点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数），M为上的动点，P点满足，点P的轨迹为曲线．（I）求的方程；（II）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为A，与的异于极点的交点为B，求|AB|．（23）解：（I）设P(x,y),则由条件知M().由于M点在C1上，所以即从而的参数方程为（为参数）（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为。射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为。所以.全国Ⅰ文（4）椭圆的离心率为D（A）（B）（C）（D）（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上．（I）求圆C的方程；（II）若圆C与直线交于A，B两点，且求a的值．(20）解：（Ⅰ）曲线与y轴的交点为（0，1），与x轴的交点为（故可设C的圆心为（3，t），则有解得t=1.则圆C的半径为所以圆C的方程为（Ⅱ）设A（），B（），其坐标满足方程组：消去y，得到方程由已知可得，判别式因此，从而①由于OA⊥OB，可得又所以②；由①，②得，满足故山东理8.已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(A)(B)(C)(D)【答案】A【解析】由圆C:得:,因为双曲线的右焦点为圆C的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线均和圆C相切,所以,即,又因为c=3,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为,故选A.22.（本小题满分14分）已知动直线与椭圆C:交于P、Q两不同点，且△OPQ的面积=,其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明和均为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求的最大值；（Ⅲ）椭圆C上是否存在点D,E,G，使得?若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由.【解析】22．（I）解：（1）当直线的斜率不存在时，P，Q两点关于x轴对称，所以因为在椭圆上，因此①又因为所以②；由①、②得此时（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为由题意知m，将其代入，得，其中即…………（*）又所以因为点O到直线的距离为所以，又整理得且符合（*）式，此时综上所述，结论成立。（II）解法一：（1）当直线的斜率存在时，由（I）知因此（2）当直线的斜率存在时，由（I）知所以所以，当且仅当时，等号成立.综合（1）（2）得|OM|·|PQ|的最大值为解法二：因为所以即当且仅当时等号成立。因此|OM|·|PQ|的最大值为（III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得证明：假设存在，由（I）得因此D，E，G只能在这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，与矛盾，所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G.山东文（9）设M(，)为抛物线C：上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则的取值范围是（A）(0，2)（B）[0，2]（C）(2，+∞)（D）[2，+∞)C（15）已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为.（22）（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知椭圆.如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，射线交椭圆于点，交直线于点.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若∙，（i）求证：直线过定点；（ii）试问点，能否关于轴对称？若能，求出此时的外接圆方程；若不能，请说明理由.（I）解：设直线，由题意，由方程组得，由题意，所以设，由韦达定理得所以由于E为线段AB的中点，因此此时所以OE所在直线方程为又由题设知D（-3，m），令x=-3，得，即mk=1，所以当且仅当m=k=1时上式等号成立，此时由得因此当时，取最小值2。（II）（i）由（I）知OD所在直线的方程为将其代入椭圆C的方程，并由解得，又，由距离公式及得由因此，直线的方程为所以，直线（ii）由（i）得，若B，G关于x轴对称，则代入即，解得（舍去）或所以k=1，此时关于x轴对称。又由（I）得所以A（0，1）。由于的外接圆的圆心在x轴上，可设的外接圆的圆心为（d，0），因此故的外接圆的半径为，所以的外接圆方程为陕西理2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（）（A）（B）（C）（D）【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键．【解】选B由准线方程得,且抛物线的开口向右（或焦点在轴的正半轴），所以．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为．【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．【解】曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．【答案】317．（本小题满分12分）如图，设Ｐ是圆上的动点，点Ｄ是Ｐ在轴上投影，Ｍ为PD上一点，且．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度．【分析】（1）动点M通过点P与已知圆相联系，所以把点P的坐标用点M的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算．【解】（1）设点M的坐标是，P的坐标是，因为点Ｄ是Ｐ在轴上投影，Ｍ为PD上一点，且，所以，且，∵P在圆上，∴，整理得，即C的方程是．（2）过点（3，0）且斜率为的直线方程是，设此直线与C的交点为，，将直线方程代入C的方程得：，化简得，∴，，所以线段AB的长度是：，即所截线段的长度是．陕西文C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线：（为参数）和曲线：上，则的最小值为．【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．【解】曲线的方程是，曲线的方程是，两圆外离，所以的最小值为．【答案】117.（本小题满分12分）设椭圆:过点（0，4），离心率为．（1）求的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被所截线段的中点坐标．【分析】（1）由椭圆过已知点和椭圆离心率可以列出方程组，解方程组即可，也可以分步求解；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；然后利用中点坐标公式求解．【解】（1）将点（0，4）代入的方程得, ∴b=4,又得，即， ∴，∴的方程为（2）过点且斜率为的直线方程为，设直线与Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，将直线方程代入Ｃ的方程，得，即，解得，，AB的中点坐标，，即所截线段的中点坐标为．注：用韦达定理正确求得结果，同样给分．上海理3.设m是常数，若点F(0,5)是双曲线的一个焦点，则m=.5.在极坐标系中，直线与直线的夹角大小为.（结果用反三角函数值表示）23.（本大题满分18分，第1小题满分4分，第二小题满分6分，第3小题满分8分）已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作（1）求点到线段的距离；（2）设是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积；（3）写出到两条线段距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组.对于下列三种情形，只需选做一种，满分分别是①2分，②6分，③8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分.①.②.③.23、解：⑴设是线段上一点，则，当时，。⑵设线段的端点分别为，以直线为轴，的中点为原点建立直角坐标系，则，点集由如下曲线围成，其面积为。⑶①选择，②选择。③选择。上海文5．若直线过点（3，4），且（1，2）是它的一个法向量，则直线得方程为22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分）已知椭圆（常数），是曲线上的动点，是曲线上的右顶点，定点的坐标为（1）若与重合，求曲线的焦点坐标；（2）若，求的最大值与最小值；（3）若的最小值为，求实数的取值范围.22、解：⑴，椭圆方程为，∴左、右焦点坐标为。⑵，椭圆方程为，设，则∴时；时。⑶设动点，则∵当时，取最小值，且，∴且解得。四川理10.在抛物线上取横坐标为、的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为（A）（B）（C）（D）答案：A解析：令抛物线上横坐标为、的点为、，则，由，故切点为，切线方程为，该直线又和圆相切，则，解得或（舍去），则抛物线为，定点坐标为，选A．14．双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么P到左准线的距离是_____．答案：16解析：离心率，设P到右准线的距离是d，则，则，则P到左准线的距离等于．21．（本小题共l2分）椭圆有两顶点A(－1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．（Ⅰ）当时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证：为定值．本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．解：（Ⅰ）因椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为，由已知得，，所以，则椭圆方程为．直线l垂直于x轴时与题意不符．设直线l的方程为，联立得，设，，则，，，．由已知得，解得，所以直线l的方程为或．（Ⅱ）直线l垂直于x轴时与题意不符．设直线l的方程为（且），所以P点的坐标为．设，，由（Ⅰ）知，，直线AC的方程为：，直线BD的方程为：，方法一：联立方程设，解得，不妨设，则，因此Q点的坐标为，又，∴．故为定值．方法二：联立方程消去y得，因为，所以与异号．又，∴与异号，与同号，∴，解得．因此Q点的坐标为，又，∴．故为定值．四川文3．圆的圆心坐标是（A）(2，3)（B）(－2，3)（C）(－2，－3)（D）(2，－3)答案：D解析：圆方程化为，圆心(2，－3)，选D．21．（本小题共l2分）过点C(0，1)的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值．本小题主要考查直线、椭圆的标准方程及基本性质等基本知识，考查平面解析几何的思想方法及推理运算能力．解：（Ⅰ）由已知得，解得，所以椭圆方程为．椭圆的右焦点为，此时直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，代入直线的方程得，所以，故．（Ⅱ）当直线与轴垂直时与题意不符．设直线的方程为．代入椭圆方程得．解得，代入直线的方程得，所以D点的坐标为．又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得因此，又．所以．故为定值．天津理5．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（　　）．　　Ａ．　　　　　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　　　　　Ｄ．【解】解法1．由题设可得双曲线方程满足，即．于是．又抛物线的准线方程为，因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则　　　　　　　，于是．所以双曲线的方程．故选Ｂ．解法2．因为抛物线的准线方程为，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则．由此排除Ａ，Ｃ．又双曲线的一条渐近线方程是，则，由此又排除Ｄ，故选Ｂ．13．已知圆的圆心是直线（为参数）与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程为　　　　　　　　　．【解】．把直线（为参数）化为普通方程为，与轴的交点为．于是圆心的坐标为；因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离即为半径，因此．所以圆的方程为．20．（本小题满分分）已知椭圆的离心率．连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且．求的值．【解】（Ⅰ）由得，再由得．因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，所以，则，解方程组得．所以椭圆的方程．（Ⅱ）解法1．由（Ⅰ）得.设点的坐标为，由题意直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为。于是两点的坐标满足方程组由方程组消去并整理得，因为是方程的一个根，则由韦达定理有：，所以，从而。设线段的中点为，则的坐标为．下面分情况讨论：(1)当时，点的坐标为，线段的垂直平分线为轴．于是，，由得．(2)当时，线段的垂直平分线方程为　　　　．令得，由，，．整理得．．所以．综上，或．解法2．若轴，则,;若直线的中垂线斜率存在,设，则直线中垂线方程：．　　令，则，　　因为在椭圆上，则，　　因此．　　．　　整理得，解得，（舍）．　　，所以．　　于是．综上，或．天津文13．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为　　　　　．【解】．由题设可得双曲线方程满足，即．于是．又抛物线的焦点为，则．与，于是．所以双曲线的方程．14．．已知圆的圆心是直线与轴的交点，且圆与直线相切，则圆的方程为　　　　　　　　　．【解】．直线与轴的交点为．于是圆心的坐标为；因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离即为半径，因此．所以圆的方程为．21．（本小题满分分）已知椭圆的离心率．连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点．已知点的坐标为．(ⅰ)若,求直线的倾斜角;(ⅱ)点在线段的垂直平分线上，且．求的值．【解】（Ⅰ）由得，再由得．因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，所以，则，解方程组得．所以椭圆的方程．（Ⅱ）(ⅰ)由（Ⅰ）得.设点的坐标为，由题意直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程为。于是两点的坐标满足方程组由方程组消去并整理得，因为是方程的一个根，则由韦达定理有，所以，从而．，由，得，整理得　，，所以．所以直线的倾斜角为或．(ⅱ)线段的中点为，则的坐标为．下面分情况讨论：(1)当时，点的坐标为，线段的垂直平分线为轴．于是，，由得．(2)当时，线段的垂直平分线方程为．令得由，，．整理得．．所以．综上，或．浙江理8．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则A．B．C．D．C17．设分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，若;则点的坐标是．21．（本题满分15分）已知抛物线:＝，圆:的圆心为点M（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程21．本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。（I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：所以圆心M（0，4）到准线的距离是（II）解：设，则题意得，设过点P的圆C2的切线方程为，即①则即，设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以，将①代入由于是此方程的根，故，所以由，得，解得即点P的坐标为，所以直线的方程为浙江文（9）已知椭圆（a＞b＞0）与双曲线有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于两点．若C1恰好将线段三等分，则A．a2=B．a2=13C．b2=D．b2=2C（12）若直线与直线互相垂直，则实数=_____________________1（22）（本小题满分15分）如图，设P是抛物线：上的动点。过点做圆的两条切线，交直线：于两点。（Ⅰ）求的圆心到抛物线准线的距离。（Ⅱ）是否存在点，使线段被抛物线在点处得切线平分，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。（22）本题主要考查抛物线几何性质，直线与抛物线、直线与圆的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力。满分15分。（Ⅰ）解：因为抛物线C1的准线方程为：所以圆心M到抛物线C1准线的距离为：（Ⅱ）解：设点P的坐标为，抛物线C1在点P处的切线交直线于点D。再设A，B，D的横坐标分别为过点的抛物线C1的切线方程为：（1）当时，过点P（1，1）与圆C2的切线PA为：可得当时，过点P（—1，1）与圆C2的切线PA为：可得，所以设切线PA，PB的斜率为，则（2）（3）将分别代入（1），（2），（3）得从而又，即同理，所以是方程的两个不相等的根，从而因为，所以从而，进而得综上所述，存在点P满足题意，点P的坐标为重庆理（8）在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为B（A）（B）(C)(D)（15）设圆C位于抛物线与直线3所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆C的半径能取到的最大值为__________（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，(Ⅱ)小问8分.）如题（20）图，椭圆的中心为原点，离心率，一条准线的方程为.（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；(Ⅱ)设动点满足：，其中是椭圆上的点，直线与的斜率之积为，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由20．（本题12分）解：（I）由解得，故椭圆的标准方程为（II）设，则由得因为点M，N在椭圆上，所以，故设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知因此所以所以P点是椭圆上的点，设该椭圆的左、右焦点为F1，F2，则由椭圆的定义|PF1|+|PF2|为定值，又因，因此两焦点的坐标为重庆文9．设双曲线的左准线与两条渐近线交于两点，左焦点在以为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为BA．B．C．D．，13．过原点的直线与圆相交所得弦的长为2，则该直线的方程为21.如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=，一条准线的方程是（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点P满足：，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为，问：是否存在定点F，使得与点P到直线l：的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。题（21）图解：（I）由解得，故椭圆的标准方程为（II）设，则由得因为点M，N在椭圆上，所以，故设分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知因此所以所以P点是椭圆上的点，该椭圆的右焦点为，离心率是该椭圆的右准线，故根据椭圆的第二定义，存在定点，使得|PF|与P点到直线l的距离之比为定值。