山东省2020届高考数学 权威预测 空间向量及其应用新人教版

PAGE2020届山东新课标高考数学权威预测---空间向量及其应用一．【课标要求】（1）空间向量及其运算①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示；③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。（2）空间向量的应用①理解直线的方向向量与平面的法向量；②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；[来源:学。科。网Z。X。X。K]③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用二．【命题走向】本讲 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离预测2020年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度三．【要点精讲】1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 ：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。2．向量运算和运算率加法交换律：加法结合律：数乘分配律：说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝[来源:学.科.网Z.X.X.K]注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠0），则有＝，其中是唯一确定的实数。②判断定理：若存在唯一实数，使＝（≠0），则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）。⑵对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为||，当>0时与同向，当<0时与反向的所有向量⑶若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式。推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式①其中向量叫做直线l的方向向量在l上取，则①式可化为②当时，点P是线段AB的中点，则③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。注意：⑴表示式(﹡)、(﹡﹡)既是表示式①,②的基础，也是常用的直线参数方程的表示形式；⑵推论的用途：解决三点共线问题。⑶结合三角形法则记忆方程。4．向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥。注意：向量∥与直线a∥的联系与区别。共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量定理如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使①注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面。[来源:学科网]推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使④或对空间任一定点O，有⑤在平面MAB内，点P对应的实数对（x,y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式又∵代入⑤，整理得⑥由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件5．空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使[来源:Z*xx*k.Com]说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使6．数量积（1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角∠AOB叫做向量与的夹角，记作ABO（1）OAB（2）ABO（3）说明：⑴规定0≤≤,因而=；⑵如果=，则称与互相垂直，记作⊥；ABO（4）⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，图（3）中∠AOB=，图（4）中∠AOB=,从而有==.（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。（3）向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。ABl即=，向量:（4）性质与运算率⑴。⑴⑵⊥=0⑵=⑶⑶四．【典例解析】题型1：空间向量的概念及性质例1．有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（）①②①③②③①②③解析：对于①“如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系一定共线”；所以①错误。②③正确。点评：该题通过给出命题的形式考察了空间向量能成为一组基的条件，为此我们要掌握好空间不共面与不共线的区别与联系例2．下列命题正确的是（）若与共线，与共线，则与共线；向量共面就是它们所在的直线共面；零向量没有确定的方向；若，则存在唯一的实数使得；解析：A中向量为零向量时要注意，B中向量的共线、共面与直线的共线、共面不一样，D中需保证不为零向量答案C。点评：零向量是一个特殊的向量，时刻想着零向量这一特殊情况对解决问题有很大用处。像零向量与任何向量共线等性质，要兼顾题型2：空间向量的基本运算例3．如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（）解析：显然；答案为A。点评：类比平面向量表达平面位置关系过程，掌握好空间向量的用途。用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力例4．已知：且不共面.若∥,求的值.解：∥,,且即又不共面,点评：空间向量在运算时，注意到如何实施空间向量共线定理。题型3：空间向量的坐标[来源:学科网]例5．（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（　　）A.：||=：||　　　　　　　　　　　　B.a1·b1=a2·b2=a3·b3C.a1b1+a2b2+a3b3=0　　　　　　　　　　　　D.存在非零实数k，使=k（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（　　）A.－3或1　　　　　B.3或－1　　　　　C.－3　　　　　D.1（3）下列各组向量共面的是（　　）A.=(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)B.=(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)C.=(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)D.=(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；（2）A　点拨：由题知或；（3）A　点拨：由共面向量基本定理可得点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考察共线、垂直时参数的取值情况例6．已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，=，=，∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）.(1)cos==－，∴和的夹角为－。(2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。则k=－或k=2。点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（+）(k－2)=k22－k·－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。[来源:学。科。网]题型4：数量积例7（2020江西卷文）如图，在四面体中，截面是正方形，则在下列命题中，错误的为..∥截面..异面直线与所成的角为答案：C【解析】由∥，∥，⊥可得⊥，故正确；由∥可得∥截面，故正确；异面直线与所成的角等于与所成的角，故正确；综上是错误的，故选.点评：本题考查平面向量的数量积及运算律例8．（1）设向量与的夹角为，，，则　　　　　．.解：设向量与的夹角为且∴，则=.（2）设空间两个不同的单位向量=(x1，y1，0)，=(x2，y2，0)与向量=(1，1，1)的夹角都等于。(1)求x1+y1和x1y1的值；(2)求<，>的大小(其中0＜<，>＜π。解析（2）解：(1)∵||=||=1，∴x+y=1，∴x=y=1.又∵与的夹角为，∴·=||||cos==.又∵·=x1+y1，∴x1+y1=。[来源:学.科.网]另外x+y=(x1+y1)2-2x1y1=1，∴2x1y1=()2－1=.∴x1y1=。(2)cos<，>==x1x2+y1y2，由(1)知，x1+y1=，x1y1=.∴x1，y1是方程x2－x+=0的解.∴或同理可得或∵≠，∴或∴cos<，>=·+·=+=.∵0≤<，>≤π，∴<，>=。评述：本题考查向量数量积的运算法则题型5：空间向量的应用例9．（1）已知a、b、c为正数，且a+b+c=1，求证：++≤4。（2）已知F1=i+2j+3k，F2=-2i+3j-k，F3=3i-4j+5k，若F1，F2，F3共同作用于同一物体上，使物体从点M1（1，-2，1）移到点M2(3，1，2)，求物体合力做的功。解析：（1）设=(，，)，=(1，1，1)，则||=4，||=.∵·≤||·||，∴·=++≤||·||=4.当==时，即a=b=c=时，取“=”号。（2）解：W=F·s=(F1+F2+F3)·=14。点评：若=(x，y，z)，=(a，b，c)，则由·≤||·||，得(ax+by+cz)2≤(a2+b2+c2)(x2+y2+z2).此式又称为柯西不等式(n=3)。本题考查||·||≥·的应用，解题时要先根据题设条件构造向量，，然后结合数量积性质进行运算。空间向量的数量积对应做功问题例10．如图,直三棱柱中,求证:证明：同理[来源:Zxxk.Com]又设为中点,则又点评：从上述例子可以看出,利用空间向量来解决位置关系问题，要用到空间多边形法则，向量的运算，数量积以及平行,相等和垂直的条件1.过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为（）（A）4（B）3（C）2（D）1解析：取△ABC为正三角形易得＝3．选B．评析：本题考查向量的有关知识，如果按常规方法就比较难处理，但是用特殊值的思想就比较容易处理，考查学生灵活处理问题的能力．2.如图，设P、Q为△ABC内的两点，且，＝＋，则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为A．B．C．D．如下图，设，，则．由平行四边形法则，知NP∥AB，所以＝，同理可得．故，选B．3.是平面内不共线两向量，已知，若三点共线，则的值是A．2B．C．D．A，又A、B、D三点共线，则.即，∴，故选.【总结点评】本题主要考查共线向量的定义和平面向量基本定理的运用.要求我们熟记公式，掌握常见变形技巧与方法.4、已知平面向量=(，1)，=()．（1）求；（2）设，（其中），若，试求 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 关系式并解不等式．（1）；（2）由得，，所以；变形得：，解得．5.已知a＝（，），b＝（，），a与b之间有关系式|ka+b|=|a-kb|，其中k＞0．　　（1）用k表示a、b；　　（2）求a·b的最小值，并求此时，a与b的夹角的大小．由已知．∵　，∴　．∴　．∵　k＞0，　∴　．　　此时　∴　．　∴　＝60°．6..已知,,,。（1）求；（2）设∠BAC＝θ，且已知cos(θ+x)＝，，求sinx解：（1）由已知[来源:学科网ZXXK]∴∵∴CD⊥AB，在Rt△BCD中BC2=BD2+CD2,又CD2=AC2－AD2,所以BC2=BD2+AC2－AD2=49，……4分所以……6分（2）在△ABC中，∴……8分而如果，则∴……10分五．【思维总结】本讲内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O和一个单位正交基底｛i，j，k｝建立坐标系，对于O点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变。如向量的数量积a·b=|a|·|b|cos在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为，对于中点公式要熟记对本讲内容的考查主要分以下三类：1．以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质[来源:学。科。网Z。X。X。K]此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。2．向量在空间中的应用在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质。在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针。本讲考题大多数是课本的变式题，即源于课本。因此，掌握双基、精通课本是本章关键