高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角学案无答案新人教A版必修42

PAGE2．4.2　平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标　1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一　平面向量数量积的坐标表示设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量．思考1　i·i，j·j，i·j分别是多少？答案　i·i＝1×1×cos0＝1，j·j＝1×1×cos0＝1，i·j＝0.思考2　取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试将a，b用i，j表示，并计算a·b.答案　∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋y1y2.思考3　若a⊥b，则a，b坐标间有何关系？答案　a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.梳理　设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0知识点二　平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式思考1　若a＝(x，y)，试将向量的模|a|用坐标表示．答案　∵a＝xi＋yj，x，y∈R，∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xyi·j＋(yj)2＝x2i2＋2xyi·j＋y2j2.又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0，∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2，∴|a|＝eq\r(x2＋y2).思考2　若A(x1，y1)，B(x2，y2)，如何计算向量eq\o(AB,\s\up6(→))的模？答案　∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－x1，y2－y1)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).梳理　向量模长a＝(x，y)|a|＝eq\r(x2＋y2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的向量eq\o(AB,\s\up6(→))|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12)知识点三　平面向量夹角的坐标表示思考　设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，那么cosθ如何用坐标表示？答案　cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(　×　)2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.(　×　)3．若两个非零向量的夹角θ满足cosθ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．(　×　)提示　当两向量同向共线时，cosθ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角.类型一　数量积的坐标运算例1　(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于(　　)A．10B．－10C．3D．－3考点　平面向量数量积的坐标表示与应用题点　坐标形式下的数量积运算答案　B解析　a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.(2)如图所示，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，且eq\o(DF,\s\up6(→))＝2eq\o(FC,\s\up6(→))，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值是________．考点　平面向量数量积的坐标表示与应用题点　坐标形式下的数量积运算答案　eq\f(4,3)解析　以A为原点，AB所在直线为x轴、AD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB＝eq\r(2)，BC＝2，∴A(0,0)，B(eq\r(2)，0)，C(eq\r(2)，2)，D(0,2)，∵点E为BC的中点，∴E(eq\r(2)，1)，∵点F在边CD上，且eq\o(DF,\s\up6(→))＝2eq\o(FC,\s\up6(→))，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2),3)，2)).∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),3)，2))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝－eq\f(2,3)＋2＝eq\f(4,3).反思与感悟　数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系：①|a|2＝a·a；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形 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易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．跟踪训练1　向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a等于(　　)A．－1B．0C．1D．2考点　平面向量数量积的坐标表示与应用题点　坐标形式下的数量积运算答案　C解析　因为a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，则(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.类型二　平面向量的模例2　已知平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)．(1)求a－2b及其模的大小；(2)若c＝a－(a·b)b，求|c|.考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点　利用坐标求向量的模解　(1)∵a＝(3,5)，b＝(－2,1)，∴a－2b＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，∴|a－2b|＝eq\r(72＋32)＝eq\r(58).(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，∴c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝eq\r(12＋62)＝eq\r(37).反思与感悟　求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．跟踪训练2　已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，则|b|等于(　　)A.eq\r(5)B.eq\r(10)C．5D．25考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点　利用坐标求向量的模答案　C解析　∵a＝(2,1)，∴a2＝5，又|a＋b|＝5eq\r(2)，∴(a＋b)2＝50，即a2＋2a·b＋b2＝50，∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.类型三　平面向量的夹角问题例3　(2020·山东枣庄八中月考)已知点A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)，O(0,0)，若|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(13)，α∈(0，π)，则eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为(　　)A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,6)考点　平面向量夹角的坐标表示与应用题点　求坐标形式下的向量的夹角答案　D解析　因为|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))|2＝(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))2＝eq\o(OA,\s\up6(→))2＋2eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))2＝9＋6cosα＋1＝13，所以cosα＝eq\f(1,2)，因为α∈(0，π)，所以α＝eq\f(π,3)，所以Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，所以cos〈eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(OB,\s\up6(→))·\o(OC,\s\up6(→)),|\o(OB,\s\up6(→))||\o(OC,\s\up6(→))|)＝eq\f(3×\f(\r(3),2),3×1)＝eq\f(\r(3),2)，因为0≤〈eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉≤π，所以〈eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,6)，所以eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))的夹角为eq\f(π,6)，故选D.反思与感悟　利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤(1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积．(2)利用|a|＝eq\r(x2＋y2)求两向量的模．(3)代入夹角公式求cosθ，并根据θ的范围确定θ的值．跟踪训练3　已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．考点　平面向量夹角的坐标表示与应用题点　已知坐标形式下的向量夹角求参数解　∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，∴|a|＝eq\r(2)，|b|＝eq\r(1＋λ2)，a·b＝λ－1.又∵a，b的夹角α为钝角，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－1<0，,\r(2)·\r(1＋λ2)≠1－λ，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ<1，,λ2＋2λ＋1≠0.))∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．类型四　平面向量的垂直问题例4　在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用题点　已知向量垂直求参数解　∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1，k－3)．若∠A＝90°，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－eq\f(2,3)；若∠B＝90°，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝eq\f(11,3)；若∠C＝90°，则eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝eq\f(3±\r(13),2).故所求k的值为－eq\f(2,3)或eq\f(11,3)或eq\f(3±\r(13),2).反思与感悟　利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．跟踪训练4　已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，若向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为(　　)A.eq\f(1,7)B．－eq\f(1,7)C.eq\f(1,6)D．－eq\f(1,6)考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用题点　已知向量垂直求参数答案　B解析　由向量λa＋b与a－2b垂直，得(λa＋b)·(a－2b)＝0.因为a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－eq\f(1,7).1．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为(　　)A.eq\f(63,65)B.eq\r(65)C.eq\f(\r(13),5)D.eq\r(13)考点　平面向量夹角的坐标表示与应用题点　求坐标形式下的向量的夹角答案　A解析　|a|＝eq\r(32＋42)＝5，|b|＝eq\r(52＋122)＝13.a·b＝3×5＋4×12＝63.设a，b夹角为θ，所以cosθ＝eq\f(63,5×13)＝eq\f(63,65).2．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于(　　)A．3B．－3C.eq\f(5,3)D．－eq\f(5,3)考点　平面向量数量积的坐标表示与应用题点　已知数量积求参数答案　A解析　a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.3．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于(　　)A．－4B．－3C．－2D．－1考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用题点　已知向量垂直求参数答案　B解析　因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.4．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝3eq\r(5)，则b等于(　　)A．(－3,6)B．(3，－6)C．(6，－3)D．(－6,3)考点　平面向量数量积的坐标表示与应用题点　已知数量积求向量的坐标答案　A解析　由题意设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b|＝eq\r(λ2＋－2λ2)＝eq\r(5)|λ|＝3eq\r(5)，又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6)．5．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．(1)求a与b的夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用题点　已知向量垂直求参数解　(1)∵a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝eq\r(42＋32)＝5，|b|＝eq\r(－12＋22)＝eq\r(5)，∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2,5\r(5))＝eq\f(2\r(5),25).(2)∵a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7,8)，(a－λb)⊥(2a＋b)，∴(a－λb)·(2a＋b)＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝eq\f(52,9).1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.一、选择题1．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，则a与b的夹角为(　　)A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,3)D.eq\f(π,2)考点　平面向量夹角的坐标表示与应用题点　求坐标形式下的向量的夹角答案　B解析　∵|a|＝eq\r(10)，|b|＝eq\r(5)，a·b＝5.∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(5,\r(10)×\r(5))＝eq\f(\r(2),2).又∵a，b的夹角范围为[0，π]．∴a与b的夹角为eq\f(π,4).2．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是(　　)A．|a|＝|b|B．a·b＝0C．a∥bD．(a－b)⊥b考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用题点　向量垂直的坐标表示的综合应用答案　D解析　a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b.3．已知向量a＝(0，－2eq\r(3))，b＝(1，eq\r(3))，则向量a在b方向上的投影为(　　)A.eq\r(3)B．3C．－eq\r(3)D．－3考点　平面向量投影的坐标表示与应用题点　利用坐标求向量的投影答案　D解析　向量a在b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(－6,2)＝－3.故选D.4．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)A．1B.eq\r(2)C．2D．4考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点　利用坐标求向量的模答案　C解析　∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n2＝3，∴|a|＝eq\r(12＋n2)＝2.5．若a＝(2，－3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为(　　)A．(3,2)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(13),13)，\f(2\r(13),13)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(13),13)，\f(2\r(13),13)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(13),13)，－\f(2\r(13),13)))D．以上都不对考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用题点　向量垂直的坐标表示的综合应用答案　C解析　设与a垂直单位向量的坐标为(x，y)，∵(x，y)是单位向量的坐标形式，∴eq\r(x2＋y2)＝1，即x2＋y2＝1，①又∵(x，y)表示的向量垂直于a，∴2x－3y＝0，②由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3\r(13),13)，,y＝\f(2\r(13),13)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3\r(13),13)，,y＝－\f(2\r(13),13).))6．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k等于(　　)A．－1＋eq\r(3)B．－2C．－1±eq\r(3)D．1考点　平面向量夹角的坐标表示与应用题点　已知坐标形式下的向量夹角求参数答案　C解析　∵|ka－b|＝eq\r(k2＋k＋22)，|a＋b|＝eq\r(12＋－12)＝eq\r(2)，∴(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，又ka－b与a＋b的夹角为120°，∴cos120°＝eq\f(ka－b·a＋b,|ka－b||a＋b|)，即－eq\f(1,2)＝eq\f(－2,\r(2)×\r(k2＋k＋22))，化简并整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±eq\r(3).7．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,2)且eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，则点C的坐标是(　　)A．(2,6)B．(－2，－6)C．(2，－6)D．(－2,6)考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用题点　向量平行与垂直的坐标表示的综合应用答案　D解析　设C(x，y)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x＋2，y－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x，y－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，∵eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，∴2(x＋2)＝0，①∵eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴2x＋y－2＝0，②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝6，))∴C(－2,6)．二、填空题8．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝________.考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点　利用坐标求向量的模答案　8eq\r(2)解析　由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝eq\r(82＋－82)＝8eq\r(2).9．已知a＝(3，eq\r(3))，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝________.考点　平面向量数量积的坐标表示与应用题点　坐标形式下的数量积运算答案　1解析　a－2b＝(1，eq\r(3))，(a－2b)·b＝1×1＋eq\r(3)×0＝1.10．设m＝(a，b)，n＝(c，d)， 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 两向量m，n之间的一个运算“⊗”为m⊗n＝(ac－bd，ad＋bc)，若已知p＝(1,2)，p⊗q＝(－4，－3)，则q的坐标为________．考点　平面向量数量积的坐标表示与应用题点　已知数量积求向量的坐标答案　(－2,1)解析　设q＝(x，y)，则p⊗q＝(x－2y，y＋2x)＝(－4，－3)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝－4，,y＋2x＝－3，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1.))∴q＝(－2,1)．11．(2020·广东揭阳惠来一中、揭东一中联考)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,7)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(5,1)(O为坐标原点)，设M为直线y＝eq\f(1,2)x上的一点，那么eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的最小值是________．考点　平面向量数量积的坐标表示与应用题点　坐标形式下的数量积运算答案　－8解析　设Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)x))，则eq\o(MA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x，7－\f(1,2)x))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－x，1－\f(1,2)x))，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(1－x)(5－x)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7－\f(1,2)x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)x))＝eq\f(5,4)(x－4)2－8.所以当x＝4时，eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))取得最小值－8.三、解答题12．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2eq\r(5)，且c与a方向相反，求c的坐标；(2)若|b|＝eq\f(\r(5),2)，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用题点　向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解　(1)设c＝(x，y)，由c∥a及|c|＝2eq\r(5)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1·y－2·x＝0，,x2＋y2＝20，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－4，))因为c与a方向相反，所以c＝(－2，－4)．(2)因为(a＋2b)⊥(2a－b)，所以(a＋2b)·(2a－b)＝0，即2a2＋3a·b－2b2＝0，所以2|a|2＋3a·b－2|b|2＝0，所以2×5＋3a·b－2×eq\f(5,4)＝0，所以a·b＝－eq\f(5,2).所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－1.又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.13．平面内有向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,7)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(5,1)，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点．(1)当eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))取最小值时，求eq\o(OQ,\s\up6(→))的坐标；(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB的值．考点　向量平行与垂直的坐标表示的应用题点　向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解　(1)设eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(x，y)，∵Q在直线OP上，∴向量eq\o(OQ,\s\up6(→))与eq\o(OP,\s\up6(→))共线．又eq\o(OP,\s\up6(→))＝(2,1)，∴x－2y＝0，∴x＝2y，∴eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(2y，y)．又eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(1－2y,7－y)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(5－2y,1－y)，∴eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.故当y＝2时，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))有最小值－8，此时eq\o(OQ,\s\up6(→))＝(4,2)．(2)由(1)知eq\o(QA,\s\up6(→))＝(－3,5)，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(1，－1)，eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝－8，|eq\o(QA,\s\up6(→))|＝eq\r(34)，|eq\o(QB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，∴cos∠AQB＝eq\f(\o(QA,\s\up6(→))·\o(QB,\s\up6(→)),|\o(QA,\s\up6(→))|·|\o(QB,\s\up6(→))|)＝eq\f(－8,\r(34)×\r(2))＝－eq\f(4\r(17),17).四、探究与拓展14．已知向量a＝(1,1)，b＝(1，m)，其中m为实数，则当a与b的夹角在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,12)))内变动时，实数m的取值范围是(　　)A．(0,1)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\r(3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))∪(1，eq\r(3))D．(1，eq\r(3))考点　平面向量夹角的坐标表示与应用题点　已知坐标形式下的向量夹角求参数答案　C解析　如图，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，则A(1,1)．作eq\o(OB1,\s\up6(→))，eq\o(OB2,\s\up6(→))，使∠AOB1＝∠AOB2＝eq\f(π,12)，则∠B1Ox＝eq\f(π,4)－eq\f(π,12)＝eq\f(π,6)，∠B2Ox＝eq\f(π,4)＋eq\f(π,12)＝eq\f(π,3)，故B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，B2(1，eq\r(3))．又a与b的夹角不为0，故m≠1.由图可知实数m的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))∪(1，eq\r(3))．15．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4,0)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2,2eq\r(3))，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))(λ2≠λ)．(1)求eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))及eq\o(OA,\s\up6(→))在eq\o(OB,\s\up6(→))上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))时，求λ的值；(3)求|eq\o(OC,\s\up6(→))|的最小值．考点　平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点　平面向量模的坐标表示的应用解　(1)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝8，设eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OB,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OB,\s\up6(→))|)＝eq\f(8,4×4)＝eq\f(1,2)，∴eq\o(OA,\s\up6(→))在eq\o(OB,\s\up6(→))上的投影为|eq\o(OA,\s\up6(→))|cosθ＝4×eq\f(1,2)＝2.(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,2eq\r(3))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))－(1－λ)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(λ－1)eq\o(AB,\s\up6(→))，又因为eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))有公共点B，所以A，B，C三点共线．当eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|eq\o(OC,\s\up6(→))|2＝(1－λ)2eq\o(OA,\s\up6(→))2＋2λ(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(OB,\s\up6(→))2＝16λ2－16λ＋16＝16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ－\f(1,2)))2＋12，∴当λ＝eq\f(1,2)时，|eq\o(OC,\s\up6(→))|取最小值2eq\r(3).