数列通项公式常用求法及构造法

数列通项公式的常用求法构造法求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为=A（其中A为常数）形式，根据等差数列的定义知是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出的通项公式，再根据与，从而求出的通项公式。例1在数列中，=，（），求数列通项公式.解析：由得，an+1an=3an+1-3an=0，两边同除以an+1an得，，设bn=，则bn+1-bn=，根据等差数列的定义知，数列｛bn｝是首项b1=2，公差d=的等差数列，根据等差数列的通项公式得bn=2＋（n-1）=n＋∴数列通项公式为an=例2在数列｛an｝中，Sn是其前n项和，且Sn≠0，a1=1，an=(n≥2)，求Sn与an。解析：当n≥2时，an=Sn-Sn-1代入an=得，Sn-Sn-1=，变形整理得Sn-Sn-1=SnSn-1？两边除以SnSn-1得，-=2，∴｛｝是首相为1，公差为2的等差数列∴=1+2（n-1）=2n-1,∴Sn=(n≥2),n=1也适合，∴Sn=(n≥1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-，n=1不满足此式，∴an={二、构造等比数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据等比数列的定义知是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出的通项公式，再根据与，从而求出的通项公式。例3在数列｛an｝中，a1=2，an=an-12(n≥2)，求数列｛an｝通项公式。解析：∵a1=2，an=an-12(n≥2)＞0，两边同时取对数得，lgan=2lgan-1∴=2，根据等比数列的定义知，数列｛lgan｝是首相为lg2，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式得lgan=2n-1lg2=∴数列通项公式为an=评析：本例通过两边取对数，变形成形式，构造等比数列，先求出的通项公式，从而求出的通项公式。例4在数列｛an｝中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求数列｛an｝通项公式。解析：设an+1+A（n+1）+B=4（an+An+B），（A、B为待定系数），展开得an+1=4an+3An+3B-A，与已知比较系数得{∴{∴an+1+（n+1）+=4（an+n+），根据等比数列的定义知，数列｛an+n+｝是首项为，公比为q=3的等比数列，∴an+n+=×3n-1∴数列通项公式为an=×3n-1-n-例5在数列｛an｝中，a1=1，an+1an=4n，求数列｛an｝通项公式。解析：∵an+1an=4n∴anan-1=4n-1两式相除得=4，∴a1，a3，a5……与a2，a4，a6……是首相分别为a1，a2，公比都是4的等比数列，又∵a1=1，an+1an=4n，∴a2=4∴an={三、等差等比混合构造法数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出例6．设数列满足求解：原条件变形为两边同乘以得.∵∴四、辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。例7.在数列中，，，，求。解析：在两边减去，得∴是以为首项，以为公比的等比数列，∴，由累加法得==…===练习1、在数列｛an｝中，a1=1，an+1=3an+2n（n∈N*），求数列｛an｝通项公式。解：由an+1=3an+2n（n∈N*）得，an+1+2n+1=3（an+2n）（n∈N*），设bn=an+2n则bn+1=3bn，∴=3，根据等比数列的定义知，数列｛bn｝是首相b1=3，公比为q=3的等比数列，根据等比数列的通项公式得bn=3n，即an+2n=3n，∴数列通项公式为an=3n-2n注意：2n+1-2n=2n2、在数列中，，，求数列的通项公式。解：、由得，，根据等差数列的定义知，数列是首项为3，公差为3的等差数列，所以，所以3、已知数列满足，，求解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，4.数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a－2），而a－2=1－2=－1，∴数列{a－2}是以为公比，－1为首项的等比数列∴a－2=－（）∴a=2－（）5.数列中，，求数列的通项公式。解：由得设比较系数得，解得或若取，则有∴是以为公比，以为首项的等比数列∴由逐差法可得===6.设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项an.解：，∴，∵，∴.即是以2为公差的等差数列，且.∴7.设是首项为1的正项数列，且，（n∈N*），求数列的通项公式an.解：由题设得.∵，，∴.∴8.数列中，，前n项的和，求.解：，∴∴9.设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，，设，则是以2为公比的等比数列，.，，，∴ 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。递推式一般为：；（1）通过分解常数，可转化为特殊数列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a+k=p（a+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=，从而得等比数列{a+k}。（2）通过分解系数，可转化为特殊数列的形式求解。这种方法适用于型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列：设，比较系数得，可解得。3、构造法构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，联想出一种适当的辅助模型，进行命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式.（1）构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.（2）构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.（3）构造商式与积式构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简（4）构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.补充一般方法：一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式解：设数列公差为∵成等比数列，∴，即，得∵，∴……………………①∵∴…………②由①②得：，∴二、累加法求形如an-an-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n—1得到n—1个式子累加求得通项。例2．已知数列{an}中，a1=1，对任意自然数n都有，求．解：由已知得，，……，，，以上式子累加，利用得-==，三、累乘法对形如的数列的通项，可用累乘法，即令n=2，3，…n—1得到n—1个式子累乘求得通项。例3．已知数列中，，前项和与的关系是，求通项公式．解：由得两式相减得：，，将上面n—1个等式相乘得：四、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例4．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式；解：由当时，有……，经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．五、“归纳—猜想—证明”法直接求解或变形都比较困难时，先求出数列的前面几项，猜测出通项，然后用数学归纳法证明的方法就是“归纳—猜想—证明”法．例5．若数列满足：计算a2，a3，a4的值，由此归纳出an的公式，并证明你的结论．解：∵a2=2a1+3×2°=2×1+3×2°，a3=2（2×1+3×2°）+3×21=22×1+2×3×21，a4=2（22×1+2×3×21）+3×22=23×1+3×3×22；猜想an=2n－1+（n－1）×3×2n－2=2n－2（3n－1）；用数学归纳法证明：1°当n=1时，a1=2－1×=1，结论正确；2°假设n=k时，ak=2k－2（3k－1）正确，∴当n=k+1时，=结论正确；由1°、2°知对n∈N*有点评：利用“归纳—猜想—证明”法时要小心猜测，切莫猜错，否则前功尽弃；用数学归纳法证明时要注意格式完整，一定要使用归纳假设．