第2讲 不等式与线性规划专题一 集合与常用逻辑用语、不等式栏目索引高考真题体验1热点分类突破2高考押题精练3高考真题体验123答案解析412342.(2016·浙江改编)已知实数a，b，c，下列判断正确的是________.①若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100；②若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100；③若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2＜100；④若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2＜100.解析1234√解析 ①中，设a＝b＝10，c＝－110，则|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|＝0≤1，a2＋b2＋c2>100.②中，设a＝10，b＝－100，c＝0，则|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|＝0≤1，a2＋b2＋c2>100.③中，设a＝100，b＝－100，c＝0，则|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|＝0≤1，a2＋b2＋c2>100.∴④对.12343.(2016·上海)设x∈R，则不等式|x－3|<1的解集为______.解析 －1
0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集.2.简单分式不等式的解法热点分类突破3.指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解.例1 (1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)0，得x0≤0；当x0>0时，由log2x0>0，得x0>1，所以x0的取值范围是(－∞，0]∪(1，＋∞).(－∞，0]∪(1，＋∞)(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化；(2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集；(3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.思维升华跟踪演练1 (1)已知m，n为实数，若关于x的不等式x2＋mx＋n<0的解集为(－1,3)，则m＋n的值为______.解析 由题意得：－1,3为方程x2＋mx＋n＝0的两根，因此－1＋3＝－m，－1×3＝n⇒m＝－2，n＝－3，m＋n＝－5.－5(2)不等式＜4的解集为________.(－1,2)解析 ∵＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1
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示的可行域，如图中阴影部分(包括边界)所示.解析∴y＝f(t)在(0,1]上是减函数.∴(a＋b)min＝f(1)＝4＋1＋3＝8.热点三 简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.解析 可行域为△ABC及其内部，其中A(1,1)，B(0,2)，C(－1,0)，当直线z＝3x＋y过点A时取最大值4.解析答案4解析 直线kx－y＋1＝0过点(0,1)，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线kx－y＋1＝0垂直于y轴(如图(1))或与直线x＋y＝0垂直(如图(2))时才符合题意.思维升华解析答案(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围.(2)一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.思维升华解析答案解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图阴影部分所示，由图知当目标函数z＝4x＋y经过点B(2,0)时z取得最大值，最大值为4×2＋0＝8；当目标函数z＝4x＋y经过点O(0,0)时z取得最小值，最小值为4×0＋0＝0，所以z＝4x＋y的取值范围是[0,8].[0,8]返回[－1,1]答案解析返回解析 由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则x＋2y≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x＋2y＝－5的上方，则实数a的取值范围为[－1,1].1234押题依据 基本不等式在历年高考中的地位都很重要，已成为高考的重点和热点，用基本不等式求函数(和式或积式)的最值问题，有时与解析几何、数列等知识相结合.押题依据高考押题精练解析 因为点A(a，b)在第一象限，且在直线x＋2y＝1上，所以a>0，b>0，且a＋2b＝1，解析答案1.若点A(a，b)在第一象限，且在直线x＋2y＝1上，则ab的最大值为____.1234解析押题依据 不等式的解法作为数学解题的一个基本工具，在高考中是必考内容.往往与函数的单调性相结合，最后转化成一元一次不等式或一元二次不等式.押题依据答案1234∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立，1234押题依据 线性规划的实质是数形结合思想的应用，利用线性规划的方法求一些线性目标函数的最值是近几年高考的热点.押题依据答案解析1234解析 由题意可得不等式组所表示的可行域为如图中阴影部分所示的四边形ABCD及其内部.1234解析押题依据 “恒成立”问题是函数和不等式交汇处的重要题型，可综合考查不等式的性质，函数的值域等知识，是高考的热点.押题依据返回答案1234返回
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